Πώς αντιμετωπίζω προσθέσεις και αφαιρεσεις μεσα στα ημίτονα/ συνημίτονα/ εφαπτομένες;

[BlackPenBluePen]

βλέπω εδώ πέρα ημ(ω+θ) και συν(ω-θ)+εφ(π+ω).
Πώς αντιμετωπίζω προσθέσεις και αφαιρεσεις μεσα στα ημιτονα/συνημιτονα/εφαπτωμενες;;

 

[γιαννης_00]

βλέπω εδώ πέρα ημ(ω+θ) και συν(ω-θ)+εφ(π+ω).
Πώς αντιμετωπίζω προσθέσεις και αφαιρεσεις μεσα στα ημιτονα/συνημιτονα/εφαπτωμενες;;

οτι χειροτερο...

για δες ..τριγωνομετρικες ταυτοτητες τις λενε

 

[BlackPenBluePen]

δεν εχουμε κανει τριγωνομετρικες ταυτότητες, μόλις μπήκαμε τριγωνομετρια, τι φαση... Ευχαριστώ παντως

 

[γιαννης_00]

δεν εχουμε κανει τριγωνομετρικες ταυτότητες, μόλις μπήκαμε τριγωνομετρια, τι φαση... Ευχαριστώ παντως

ε τοτε //μηπως ειστε στη φαση που καλειστε να τις αποδειξεται αυτες?
απ οτι καταλαβαινω ειστε ακομα στον ορισμο του τι ειναι ημ και συν
ε δε ξερω και τι κανεται ... ειμουν εκει που εισαι κανενα ''αιώνα'' πριν
ε τι να πω

 

[cment]

Τσέκαρε τις τριγωνομετρικές ταυτότητες εδω: https://www.matematiq.gr/trigwnometria/trigwnometrikes-taytothtes/

 

[Samael]

βλέπω εδώ πέρα ημ(ω+θ) και συν(ω-θ)+εφ(π+ω).
Πώς αντιμετωπίζω προσθέσεις και αφαιρεσεις μεσα στα ημιτονα/συνημιτονα/εφαπτωμενες;

Στο λύκειο συνήθως μαθαίνεις να προσθέτεις ιδιαίτερες περιπτώσεις γωνιών. Στην καλύτερη ίσως σε βάλουν να απομνημονεύσεις και καμιά ταυτότητα. Αντιεκπαιδευτικά και τα δύο κατά την γνώμη μου.

1. Ζωγράφισε έναν τριγωνομετρικό κύκλο(ακτίνα μήκους 1).
2. Επέλεξε ένα σημείο στην περιφέρεια του κύκλου.
3. Φέρε μια ευθεία που περνάει απο το κέντρο του κύκλου και το προηγούμενο σημείο.

Η γωνία μεταξύ της ευθείας και του οριζόντιου άξονα ας πούμε οτι είναι θ. Αυτή την γωνία μπορείς να την εκφράσεις όμως με άπειρους τρόπους ως το άθροισμα δύο άλλων γωνιών α και β. Η κρίσιμη παρατήρηση τώρα είναι οτι και οι γωνίες α και β αντιστοιχούν σε μήκη στον κατακόρυφο άξονα ημ(α) και ημ(β) αντίστοιχα. Οπότε είναι εύλογο να θεωρήσει κανείς οτι μπορεί να αποσυνθέσει το ευθύγραμμο τμήμα ημ(α+β) ως :

ημ(α+β) = Α(α,β)*ημ(α) + Β(α,β)*ημ(β) , όπου Α και Β συναρτήσεις που εξαρτώνται απο το α και β.

Αποδεικνύεται οτι :
Α(α,β) = Α(β) = συν(β)
Β(α,β) = Β(α) = συν(α)

Δυστυχώς η απόδειξη απαιτεί λίγη γεωμετρία. Εδώ μπορείς να βρεις μια σύντομη και απλή απόδειξη όμως :

Spoiler

Έχοντας τα προηγουμένα υπόψιν σου, όλα τα υπόλοιπα προκύπτουν. Οπότε δεν χρειάζεται να θυμάσαι τίποτα παραπάνω.

Ας πούμε μπορείς να δείξεις οτι :
ημ(θ+π/2) = ημ(θ)συν(π/2) + ημ(π/2)συν(θ) = συνθ

Απο την προηγούμενη μπορείς να δείξεις επίσης οτι :
συν(θ+π/2) = ημ(θ + π/2 + π/2) = ημ(θ + π) = ημ(θ)συν(π) + ημ(π)συν(θ) = -ημ(θ)

Άρα βρίσκεις και το άθροισμα γωνιών σε συνημίτονο :
συν(α+β) = ημ(α+β+π/2) = ημ(α+π/2)συν(β) + ημ(β)συν(α+π/2) = συν(α)συν(β) - ημ(α)ημ(β)

Θες να υπολογίσεις το ημίτονο ή το συνημίτονο του διπλάσιου μιας γωνίας ; Κανένα πρόβλημα :
ημ(2θ) = ημ(θ)συν(θ) + ημ(θ)συν(θ) = 2ημ(θ)συν(θ)
συν(2θ) = συν(θ)συν(θ) - ημ(θ)ημ(θ) = συν²(θ) - ημ²(θ)

Θες το άθροισμα εφαπτομένης ;
εφ(α+β) = ημ(α+β)/συν(α+β) = [ημ(α)συν(β) + ημ(β)συν(α)]/[συν(α)συν(β) - ημ(α)ημ(β)]

Διαιρείς αριθμητή και παρανομαστή με συν(α)συν(β) και παίρνεις :
εφ(α+β) = [εφ(α)+εφ(β)]/[1 - εφ(α)εφ(β)]

Θες τις διαφορές ; Με αντικατάσταση όπου β το -β παίρνεις και την διαφορά για το ημίτονο :
ημ(α-β) = ημ(α+(-β)) = ημ(α)συν(-β) + ημ(-β)συν(α) = ημ(α)συν(β) - ημ(β)συν(α)

Ενώ για το συνημίτονο :
συν(α-β) = συν(α+(-β)) = συν(α)συν(-β) - ημ(α)ημ(-β) = συν(α)συν(β) + ημ(α)ημ(β)

Θες άθροισμα ημιτόνων διαφορετικών γωνιών ;
Πρόσθεσε κατά μέλη τις ταυτότητες για το άθροισμα και την διαφορά γωνιών ημιτόνου :
ημ(α+β) + ημ(α-β) = ημ(α)συν(β) + ημ(β)συν(α) + ημ(α)συν(-β) + ημ(-β)συν(α) = 2ημ(α)συν(β)

Εαν πεις α+β = χ και α-β = y , τότε λύνοντας το σύστημα έχεις οτι :
α = x+y/2 και β = χ-y/2, άρα η προηγούμενη γράφεται :

ημ(χ) + ημ(y) = 2ημ[(χ+y)/2]ημ[(x-y)/2]

Άρα η ουσία είναι οτι, χρειάζεται να απομνημονεύσεις ένα πράγμα, το ημίτονο του αθροίσματος δύο γωνιών. Για το οποίο σου έδωσα και απόδειξη αλλά και μια διαισθητική εικόνα για να το θυμάσαι. Όλα τα υπόλοιπα προκύπτουν απο αυτό.

 

[eukleidhs1821]

Στο λύκειο συνήθως μαθαίνεις να προσθέτεις ιδιαίτερες περιπτώσεις γωνιών. Στην καλύτερη ίσως σε βάλουν να απομνημονεύσεις και καμιά ταυτότητα. Αντιεκπαιδευτικά και τα δύο κατά την γνώμη μου.

1. Ζωγράφισε έναν τριγωνομετρικό κύκλο(ακτίνα μήκους 1).
2. Επέλεξε ένα σημείο στην περιφέρεια του κύκλου.
3. Φέρε μια ευθεία που περνάει απο το κέντρο του κύκλου και το προηγούμενο σημείο.

View attachment 130951

Η γωνία μεταξύ της ευθείας και του οριζόντιου άξονα ας πούμε οτι είναι θ. Αυτή την γωνία μπορείς να την εκφράσεις όμως με άπειρους τρόπους ως το άθροισμα δύο άλλων γωνιών α και β. Η κρίσιμη παρατήρηση τώρα είναι οτι και οι γωνίες α και β αντιστοιχούν σε μήκη στον κατακόρυφο άξονα ημ(α) και ημ(β) αντίστοιχα. Οπότε είναι εύλογο να θεωρήσει κανείς οτι μπορεί να αποσυνθέσει το ευθύγραμμο τμήμα ημ(α+β) ως :

ημ(α+β) = Α(α,β)*ημ(α) + Β(α,β)*ημ(β) , όπου Α και Β συναρτήσεις που εξαρτώνται απο το α και β.

Αποδεικνύεται οτι :
Α(α,β) = Α(β) = συν(β)
Β(α,β) = Β(α) = συν(α)

Δυστυχώς η απόδειξη απαιτεί λίγη γεωμετρία. Εδώ μπορείς να βρεις μια σύντομη και απλή απόδειξη όμως :

Spoiler

View attachment 130950

Έχοντας τα προηγουμένα υπόψιν σου, όλα τα υπόλοιπα προκύπτουν. Οπότε δεν χρειάζεται να θυμάσαι τίποτα παραπάνω.

Ας πούμε μπορείς να δείξεις οτι :
ημ(θ+π/2) = ημ(θ)συν(π/2) + ημ(π/2)συν(θ) = συνθ

Απο την προηγούμενη μπορείς να δείξεις επίσης οτι :
συν(θ+π/2) = ημ(θ + π/2 + π/2) = ημ(θ + π) = ημ(θ)συν(π) + ημ(π)συν(θ) = -ημ(θ)

Άρα βρίσκεις και το άθροισμα γωνιών σε συνημίτονο :
συν(α+β) = ημ(α+β+π/2) = ημ(α+π/2)συν(β) + ημ(β)συν(α+π/2) = συν(α)συν(β) - ημ(α)ημ(β)

Θες να υπολογίσεις το ημίτονο ή το συνημίτονο του διπλάσιου μιας γωνίας ; Κανένα πρόβλημα :
ημ(2θ) = ημ(θ)συν(θ) + ημ(θ)συν(θ) = 2ημ(θ)συν(θ)
συν(2θ) = συν(θ)συν(θ) - ημ(θ)ημ(θ) = συν²(θ) - ημ²(θ)

Θες το άθροισμα εφαπτομένης ;
εφ(α+β) = ημ(α+β)/συν(α+β) = [ημ(α)συν(β) + ημ(β)συν(α)]/[συν(α)συν(β) - ημ(α)ημ(β)]

Διαιρείς αριθμητή και παρανομαστή με συν(α)συν(β) και παίρνεις :
εφ(α+β) = [εφ(α)+εφ(β)]/[1 - εφ(α)εφ(β)]

Θες τις διαφορές ; Με αντικατάσταση όπου β το -β παίρνεις και την διαφορά για το ημίτονο :
ημ(α-β) = ημ(α+(-β)) = ημ(α)συν(-β) + ημ(-β)συν(α) = ημ(α)συν(β) - ημ(β)συν(α)

Ενώ για το συνημίτονο :
συν(α-β) = συν(α+(-β)) = συν(α)συν(-β) - ημ(α)ημ(-β) = συν(α)συν(β) + ημ(α)ημ(β)

Θες άθροισμα ημιτόνων διαφορετικών γωνιών ;
Πρόσθεσε κατά μέλη τις ταυτότητες για το άθροισμα και την διαφορά γωνιών ημιτόνου :
ημ(α+β) + ημ(α-β) = ημ(α)συν(β) + ημ(β)συν(α) + ημ(α)συν(-β) + ημ(-β)συν(α) = 2ημ(α)συν(β)

Εαν πεις α+β = χ και α-β = y , τότε λύνοντας το σύστημα έχεις οτι :
α = x+y/2 και β = χ-y/2, άρα η προηγούμενη γράφεται :

ημ(χ) + ημ(y) = 2ημ[(χ+y)/2]ημ[(x-y)/2]

Άρα η ουσία είναι οτι, χρειάζεται να απομνημονεύσεις ένα πράγμα, το ημίτονο του αθροίσματος δύο γωνιών. Για το οποίο σου έδωσα και απόδειξη αλλά και μια διαισθητική εικόνα για να το θυμάσαι. Όλα τα υπόλοιπα προκύπτουν απο αυτό.

μπραβο ρε συ που κατσες και τα ψαξες τοσο αναλυτικα.αλλα νομιζω οτι με ελαχιστη εξασκηση δεν ειναι τυποι τοσο δυσκολοι να τους θυμαται καποις.μονο οι τελευταιοι με τα αθροισματα ημιτονων που βγαινουν ευκολα αν θυμασαι τους παραπανω τυπους

 

[Samael]

μπραβο ρε συ που κατσες και τα ψαξες τοσο αναλυτικα.αλλα νομιζω οτι με ελαχιστη εξασκηση δεν ειναι τυποι τοσο δυσκολοι να τους θυμαται καποις.μονο οι τελευταιοι με τα αθροισματα ημιτονων που βγαινουν ευκολα αν θυμασαι τους παραπανω τυπους

Πράγματι αλλά αργότερα προσθέτεις ένα σωρό άλλες τύπου sec,csc,sinh,cosh,tanh οπότε δεν συμφέρει να θυμάσαι απέξω πράγματα κατά την γνώμη μου. Όσα λιγότερα συγκρατείς στον εγκέφαλο τόσο το καλύτερο.

Τις πιο βασικές όπως είπες τις θυμάσαι, αλλά όσες δεν θυμάμαι απλά τσεκάρω κανά βιβλιαράκι, δεν τις κάνω derive κάθε φορά . Είναι χρήσιμο όμως πιστεύω να έχει κανείς υπόψιν του οτι απο μια σχέση προκύπτουν τόσες άλλες.

Υ.Γ.
ημ(χ) + ημ(y) = 2ημ[(χ+y)/2]συν[(x-y)/2] και όχι 2ημ[(χ+y)/2]ημ[(x-y)/2]

Το είχα λάθος αυτό .

 

[eukleidhs1821]

Πράγματι αλλά αργότερα προσθέτεις ένα σωρό άλλες τύπου sec,csc,sinh,cosh,tanh οπότε δεν συμφέρει να θυμάσαι απέξω πράγματα κατά την γνώμη μου. Όσα λιγότερα συγκρατείς στον εγκέφαλο τόσο το καλύτερο.

Τις πιο βασικές όπως είπες τις θυμάσαι, αλλά όσες δεν θυμάμαι απλά τσεκάρω κανά βιβλιαράκι, δεν τις κάνω derive κάθε φορά . Είναι χρήσιμο όμως πιστεύω να έχει κανείς υπόψιν του οτι απο μια σχέση προκύπτουν τόσες άλλες.

Υ.Γ.
ημ(χ) + ημ(y) = 2ημ[(χ+y)/2]συν[(x-y)/2] και όχι 2ημ[(χ+y)/2]ημ[(x-y)/2]

Το είχα λάθος αυτό .

Θυμαμαι οταν διαβαζα φυσικη για να δωσω πανελληνιες που ειχαμε διακροτηματα στην υλη και χρησιμευε καπου αυτος ο τυπος αλλα στην αλγεβρα δεν διδασκοταν!!Το θυμαμαι πολυ χαρακτηριστικα

 

[Samael]

Θυμαμαι οταν διαβαζα φυσικη για να δωσω πανελληνιες που ειχαμε διακροτηματα στην υλη και χρησιμευε καπου αυτος ο τυπος αλλα στην αλγεβρα δεν διδασκοταν!!Το θυμαμαι πολυ χαρακτηριστικα

Πράγματι το διακρότημα προκύπτει απο την σύνθεση ταλαντώσεων οι οποίες έχουν σχεδόν ίδιες συχνότητες. Για να γίνει η σύνθεση όμως χρειάζεται η πρόσθεση των δύο αρμονικών όρων : συν(ω1t), συν(ω2t). Οπότε χρειάζεται και η αντίστοιχη σχέση.

 

[Dias]

Θυμαμαι οταν διαβαζα φυσικη για να δωσω πανελληνιες που ειχαμε διακροτηματα στην υλη και χρησιμευε καπου αυτος ο τυπος αλλα στην αλγεβρα δεν διδασκοταν!!

1) Ο ίδιος μη διδασκόμενος τύπος χρησιμοποιείται επίσης για την απόδειξη στη συμβολή κυμάτων και στα στάσιμα κύματα.
2) Υπάρχουν και περιπτώσεις που στο λύκειο χρησιμοποιούνται στη Φυσική γνώσεις που στα Μαθηματικά θα διδαχθούν αργότερα. Π.χ. α) Στην αρχή της Α' λυκείου έμαθα στη Φυσική το νόμο των συνημιτόνων για τη σύνθεση δυνάμεων και πολύ αργότερα τον διδάχτηκα στα Μαθηματικά. β) Στην αρχή της Β' λυκείου χρειάζονταν οι λογάριθμοι (στη Φυσική για τη Θερμοδυναμική και στη Χημεία για το pH), ενώ στην Άλγεβρα ήταν το τελευταίο κεφάλαιο.
3) Αυτή η έλλειψη συντονισμού μεταξύ Μαθηματικών και Φυσικής είναι τραγική. Είχα στη Β΄ γυμνασίου μια θείτσα μαθηματικού. Μετά τις εξισώσεις πρώτου βαθμού, το βιβλίο είχε μια παράγραφο "Επίλυση τύπων". Μας είπε: "Αυτά είναι άχρηστες βλακείες" και την παρέλειψε!

 

[eukleidhs1821]

1) Ο ίδιος μη διδασκόμενος τύπος χρησιμοποιείται επίσης για την απόδειξη στη συμβολή κυμάτων και στα στάσιμα κύματα.
2) Υπάρχουν και περιπτώσεις που στο λύκειο χρησιμοποιούνται στη Φυσική γνώσεις που στα Μαθηματικά θα διδαχθούν αργότερα. Π.χ. α) Στην αρχή της Α' λυκείου έμαθα στη Φυσική το νόμο των συνημιτόνων για τη σύνθεση δυνάμεων και πολύ αργότερα τον διδάχτηκα στα Μαθηματικά. β) Στην αρχή της Β' λυκείου χρειάζονταν οι λογάριθμοι (στη Φυσική για τη Θερμοδυναμική και στη Χημεία για το pH), ενώ στην Άλγεβρα ήταν το τελευταίο κεφάλαιο.
3) Αυτή η έλλειψη συντονισμού μεταξύ Μαθηματικών και Φυσικής είναι τραγική. Είχα στη Β΄ γυμνασίου μια θείτσα μαθηματικού. Μετά τις εξισώσεις πρώτου βαθμού, το βιβλίο είχε μια παράγραφο "Επίλυση τύπων". Μας είπε: "Αυτά είναι άχρηστες βλακείες" και την παρέλειψε!

Σωστα και στη θερμοδυναμικη αυτο με τους λογαριθμους!PH στη γ λυκειου δε διδασκοταν?Νομο συνημιτονων εγω τον θυμαμαι στη τριτη γυμνασιου να τον μαθαινα αλλα μπορει να κανω και λαθος

 

[Dias]

Σωστα και στη θερμοδυναμικη αυτο με τους λογαριθμους!PH στη γ λυκειου δε διδασκοταν?Νομο συνημιτονων εγω τον θυμαμαι στη τριτη γυμνασιου να τον μαθαινα αλλα μπορει να κανω και λαθος

Ίσως για το pH να έχεις δίκιο, μετά από τόσους αιώνες μπορεί να η θυμάμαι καλά. (Τώρα γιατί το λέμε πε-χα και όχι πι-εϊτς σαν τους Άγγλους δεν το ψάχνω). Τώρα για τα Μαθηματικά, στο Γυμνάσιο σχεδόν δεν κάναμε Μαθηματικά. Μια θείτσα καθηγήτρια είχαμε που όλο έλειπε, οπότε από ύλη δεν βγάζαμε σχεδόν τίποτα.

​

 

[Scandal]

Το pH της χημείας μας το δίδασκαν από το γυμνάσιο, το θυμάμαι πολύ καλά.

 

[Micro]

Το pH της χημείας μας το δίδασκαν από το γυμνάσιο, το θυμάμαι πολύ καλά.

γινεται μια μικρή μόνο θεωρητική αναφορά αν θυμάμαι καλα , της κλιμακας 0-14 , πότε είναι οξινο/βασικο/ουδετερο κτλ . Ασκησεις και τον κανονικό ορισμό τον κάνουμε γ λυκειου

 

[eukleidhs1821]

Το pH της χημείας μας το δίδασκαν από το γυμνάσιο, το θυμάμαι πολύ καλά.

Nαι,αλλα δεν μαθαινες τον ορισμο!-logσυγκεντωσηοξονιων κατι τετοιο