Θέματα Εφαρμοσμένων Μαθηματικών για Μηχανικούς

Civilara · 16 Νοεμβρίου 2014

Σε αυτό το θέμα θα γίνεται ανάλυση θεμάτων μαθηματικών που έχουν εφαρμογές στις επιστήμες των μηχανικών. Σκοπός είναι να αποτελέσει μία δεξαμενή χρήσιμων πληροφοριών και συμπερασμάτων για όλους και κυρίως για τους φοιτητές των Πολυτεχνείων και Πολυτεχνικών Σχολών των Πανεπιστημίων καθώς και των τμημάτων των ΣΤΕΦ των ΤΕΙ.

Χρήσιμη θα είναι η συμβολή των φοιτητών και αποφοίτων τμημάτων μαθηματικών των Πανεπιστημίων και εφαρμοσμένων μαθηματικών του Πανεπιστημίου Κρήτης καθώς και της ΣΕΜΦΕ του ΕΜΠ.

Το πρώτο θέμα είναι η επίλυση της ομογενούς γραμμικής διαφορικής εξίσωσης δεύτερης τάξης της μορφής:
$f''(x)+kf(x)=0$
όπου k ανήκει R παράμετρος και x ανήκει R.

1) Αν k<0 τότε η γενική λύση της διαφορικής εξίσωσης είναι η
$f(x)=A{e}^{-x\sqrt{-k}}+B{e}^{x\sqrt{-k}}$
όπου Α,Β ανήκουν R

2) Αν k=0 τότε η γενική λύση της διαφορικής εξίσωσης είναι η
$f(x)=Ax+B$
όπου Α,Β ανήκουν R

3) Αν k>0 τότε η γενική λύση της διαφορικής εξίσωσης είναι η
$f(x)=Acos\left(x\sqrt{k} \right)+Bsin\left(x\sqrt{k} \right)$
όπου Α,Β ανήκουν R

Civilara · 16 Νοεμβρίου 2014

Χρησιμοποιούνται οι εξής συμβολισμοί για την μετακίνηση u(t):
$\dot{u}(t)=\frac{du(t)}{dt}$
$\ddot{u}(t)=\frac{{d}^{2}u(t)}{{dt}^{2}}$

Civilara · 16-11-14

Αναπόσβεστη Ελεύθερη Ταλάντωση Μονοβάθμιου Ταλαντωτή

Η εξίσωση ελεύθερης ταλάντωσης μονοβάθμιου ταλαντωτή χωρίς απόσβεση με μάζα m και σταθερά επαναφοράς k είναι

$m\ddot{u}(t)+ku(t)=0$

Η λύση της εξίσωσης αυτής είναι η:

$u(t)=u(0)cos\left({\omega }_{n}t \right)+\frac{\dot{u}(0)}{{\omega }_{n}}sin\left({\omega }_{n}t \right), t\geq 0$

όπου

${\omega }_{n}=\sqrt{\frac{k}{m}}$

η ιδιοσυχνότητα του ταλαντωτή.

Civilara · 18-11-14

Ελεύθερη Ταλάντωση Μονοβάθμιου Ταλαντωτή με Ιξώδη Απόσβεση

Η εξίσωση ελεύθερης ταλάντωσης μονοβάθμιου ταλαντωτή με ιξώδη απόσβεση είναι:

$m\ddot{u}(t)+c\dot{u(t)}+ku(t)=0$

όπου m η μάζα, c ο συντελεστής απόσβεσης και k η σταθερά επαναφοράς του ταλαντωτή. Η εξίσωση αυτή γράφεται ισοδύναμα στη μορφή:

$\ddot{u}(t)+2\zeta {\omega }_{n} \dot{u(t)}+{{\omega }_{n}}^{2}u(t)=0$

όπου $\zeta =\frac{c}{2m{\omega }_{n}}$ ο λόγος απόσβεσης.

Με ${\omega }_{n}$ συμβολίζεται η ιδιοσυχνότητα ενός μονοβάθμιου ταλαντωτή χωρίς απόσβεση με την ίδια μάζα και την ίδια σταθερά επαναφοράς με το μονοβάθμιο ταλαντωτή με απόσβεση.

Υποκρίσιμη Απόσβεση (0<ζ<1)

Η λύση της εξίσωσης κίνησης είναι η:

$u(t)={e}^{-\zeta {\omega }_{n}t}\left[u(0)cos\left({\omega }_{d}t \right) \right+\frac{\zeta {\omega }_{n}u(0)+\dot{u}(0)}{{\omega }_{d}}sin\left({\omega }_{d}t \right)], t\geq 0$

όπου

${\omega }_{d}={\omega }_{n}\sqrt{1-{\zeta }^{2}}$

η ιδιοσυχνότητα του ταλαντωτή με απόσβεση.

Κρίσιμη Απόσβεση (ζ=1)

Η λύση της εξίσωσης κίνησης είναι η:

$u(t)={e}^{-{\omega }_{n}t}\left[u(0)+({\omega }_{n}u(0)+\dot{u}(0) \right)t], t\geq 0$

Υπερκρίσιμη Απόσβεση (ζ>1)

Η λύση της εξίσωσης κίνησης είναι η:

$u(t)={e}^{-\zeta {\omega }_{n}t}\left[u(0)cosh\left({\omega }_{d}t \right) \right+\frac{\zeta {\omega }_{n}u(0)+\dot{u}(0)}{{\omega }_{d}}sinh\left({\omega }_{d}t \right)], t\geq 0$

όπου

${\omega }_{d}={\omega }_{n}\sqrt{{\zeta }^{2}-1}$

Civilara · 20 Νοεμβρίου 2014

Απόκριση Γραμμικού Μονοβάθμιου Ταλαντωτή Χωρίς Απόσβεση σε Εξωτερική Φόρτιση F(t)

Η εξίσωση της κίνησης γραμμικού μονοβάθμιου ταλαντωτή χωρίς απόσβεση είναι:

$m\ddot{u}(t)+ku(t)=F(t)$

όπου m η μάζα του ταλαντωτή, k η σταθερά επαναφοράς του ταλαντωτή και F(t) η εξωτερική δύναμη.

Η λύση της εξίσωσης κίνησης είναι η:

$u(t)=u(0)cos\left({\omega }_{n}t \right) \right+ \frac{\dot{u}(0)}{{\omega }_{n}}sin\left({\omega }_{n}t \right)+\frac{1}{m{\omega }_{n}}\left[\int_{0}^{t}F(\tau )sin\left[{\omega }_{n}(t-\tau )]d\tau] \right, t\geq 0$

$u(t)=u(0)cos\left({\omega }_{n}t \right) \right+ \frac{\dot{u}(0)}{{\omega }_{n}}sin\left({\omega }_{n}t \right)+\frac{1}{m{\omega }_{n}}\left[sin\left({\omega }_{n}t \right)\int_{0}^{t}F(\tau )cos\left( {\omega }_{n}\tau\right) d\tau \right-cos\left({\omega }_{n}t \right)\int_{0}^{t}F(\tau )sin\left( {\omega }_{n}\tau\right) d\tau \right]], t\geq 0$

ΥΓ: Το ορισμένο ολοκλήρωμα στην πρώτη σχέση καλείται ολοκλήρωμα Duhamel

manos4 · 19-11-14

Αυτα κανουμε εμεις στο ΜΕΜ.(Π.Κ).Δυναμικά συστήματα.Καλο βιβλίο είναι ΣΔΕ Αλικάκος-Καλογερόπουλος.Αυτο είναι προτεινέμνο για το μάθημα.

Civilara · 30 Νοεμβρίου 2014

Απόκριση Γραμμικού Μονοβάθμιου Ταλαντωτή Με Υποκρίσιμη Ιξώδη Απόσβεση σε Εξωτερική Φόρτιση F(t)

Η εξίσωση της κίνησης γραμμικού μονοβάθμιου ταλαντωτή χωρίς απόσβεση είναι:

$m\ddot{u}(t)+c\dot{u}(t)+ku(t)=F(t)$

όπου m η μάζα του ταλαντωτή, c η σταθερά ιξώδους απόσβεσης k η σταθερά επαναφοράς του ταλαντωτή και F(t) η εξωτερική δύναμη. Η παραπάνω εξίσωση γράφεται ισοδύναμα στη μορφή:

$\ddot{u}(t)+2\zeta {\omega }_{n}\dot{u}(t)+{{\omega }_{n}}^{2}u(t)=\frac{F(t)}{m}$

Η λύση της εξίσωσης κίνησης είναι η:

$u(t)={e}^{-\zeta {\omega }_{n}t}[u(0)cos\left({\omega }_{d}t \right) \right+ \frac{\dot{u}(0)+\zeta {\omega }_{n}u(0)}{{\omega }_{d}}sin\left({\omega }_{d}t \right)]+\frac{1}{m{\omega }_{d}}\left[ \int_{0}^{t}F(\tau ){e}^{-\zeta {\omega }_{n}(t-\tau )}sin\left[{\omega }_{d}(t-\tau )]d\tau\right], t\geq 0$

ή ισοδύναμα
$u(t)={e}^{-\zeta {\omega }_{n}t}[u(0)cos\left({\omega }_{d}t \right) \right+ \frac{\dot{u}(0)+\zeta {\omega }_{n}u(0)}{{\omega }_{d}}sin\left({\omega }_{d}t \right)+\frac{1}{m{\omega }_{d}}\left(sin\left({\omega }_{d}t \right)\int_{0}^{t}F(\tau ){e}^{\zeta {\omega }_{n}\tau }cos\left( {\omega }_{d}\tau\right) d\tau \right-cos\left({\omega }_{d}t \right)\int_{0}^{t}F(\tau ){e}^{\zeta {\omega }_{n}\tau }sin\left( {\omega }_{d}\tau\right) d\tau \right))], t\geq 0$

ΥΓ: Το ορισμένο ολοκλήρωμα στην πρώτη σχέση καλείται ολοκλήρωμα Duhamel

vassilis498 · 30-11-14

Αυτό το θέμα μου θυμίζει τέλεια γιατί δε πήγα πολυτεχνείο. :look:

Civilara · 30 Νοεμβρίου 2014

Εξίσωση Laplace σε 2 Διαστάσεις

Θα αναζητηθούν οι συναρτήσεις χωριζόμενων μεταβλητών f(x,y) (δηλαδή οι συναρτήσεις της μορφής f(x,y)=g(x)h(x)) με πεδίο ορισμού υποσύνολο του R^2 που ικανοποιούν την εξίσωση:

$\frac{{\vartheta}^{2}f(x,y) }{\vartheta {x}^{2}}+\frac{{\vartheta}^{2}f(x,y) }{\vartheta {y}^{2}}=0$

Οι λύσεις χωριζόμενων μεταβλητών είναι οι εξής:

1) $f(x,y)=\left[Acos(kx)+Bsin(kx) \right](C{e}^{ky}+D{e}^{-ky})$
2) $f(x,y)=(A{e}^{kx}+B{e}^{-kx})\left[Ccos(ky)+Dsin(ky) \right]$
3) $f(x,y)=(Ax+B)(Cy+D)$

όπου A, B, C, D και k πραγματικές σταθερές.

ΥΓ: Όλες οι συναρτήσεις της μορφής:
$f(x,y)=Axy({x}^{2}-{y}^{2})+Bxy+Cy+Dx+E$
είναι λύσεις της εξίσωσης Laplace αλλά δεν είναι συναρτήσεις χωριζόμενων μεταβλητών.

Civilara · 7 Δεκεμβρίου 2014

Απόκριση Γραμμικού Μονοβάθμιου Ταλαντωτή Χωρίς Απόσβεση σε Αρμονική Φόρτιση F(t)=Fosin(ωt)

Η εξίσωση της κίνησης γραμμικού μονοβάθμιου ταλαντωτή χωρίς απόσβεση είναι:

$m\ddot{u}(t)+ku(t)={F}_{0}sin(\omega t)$

1η περίπτωση
$\omega \neq {\omega }_{n}$

$u(t)=u(0)cos\left({\omega }_{n}t \right) \right+ \left[ \frac{\dot{u}(0)}{{\omega }_{n}}-\frac{{F}_{0}}{k}\frac{\frac{\omega }{{\omega }_{n}}}{1-{\left(\frac{\omega }{{\omega }_{n}} \right)}^{2}}\right]sin\left({\omega }_{n}t \right)+\frac{{F}_{0}}{k}\frac{1}{1-{\left(\frac{\omega }{{\omega }_{n}}} \right)}^{2}}sin(\omega t), t\geq0$

2η περίπτωση (συντονισμός)
$\omega={\omega }_{n}$

$u(t)=\left( u(0)\right-\frac{{F}_{0}}{2k}{\omega }_{n}t)cos\left({\omega }_{n}t \right) \right+ \left( \frac{\dot{u}(0)}{{\omega }_{n}}+\frac{{F}_{0}}{2k}\right)sin\left({\omega }_{n}t \right), t\geq0$

Η γραφική παράσταση της μετακίνησης u με το χρόνο t στην περίπτωση του συντονισμού έχει περιβάλλουσες τις ευθείες γραμμές:
U1(t)=(F0/2k)*ωn*t
U2(t)=-(F0/2k)*ωn*t

Σημείωση: Η λύση για το συντονισμό συνήθως δεν οδηγεί σε αξιόπιστα συμπεράσματα. Αυτό γιατί με την πάροδο του χρόνου, η μετακίνηση αυξάνεται (κατ' απόλυτη τιμή) απεριόριστα με την πάροδο του χρόνου και όταν η μετακίνηση ξεπερνά κάποιο όριο, τότε επιδρούν παράγοντες οι οποίοι δε λήφθηκαν υπόψη στην κατάστρωση της διαφορικής εξίσωσης κίνησης (π.χ. υπέρβαση της αντοχής του συστήματος με αποτέλεσμα τη θραύση, φαινόμενα 2ης τάξεως-λυγισμός, σε περίπτωση πλάστιμων συστημάτων μετάβαση στην πλαστική περιοχή κλπ.).

Civilara · 07-12-14

Απόκριση Γραμμικού Μονοβάθμιου Ταλαντωτή με Υποκρίσιμη Ιξώδη Απόσβεση σε Αρμονική Φόρτιση F(t)=Fosin(ωt)

$m\ddot{u}(t)+c\dot{u}(t)+ku(t)={F}_{0}sin(\omega t)$

$u(t)={e}^{-\zeta {\omega }_{n}t}[u(0)cos\left({\omega }_{d}t \right) \right+ \frac{\dot{u}(0)+\zeta {\omega }_{n}u(0)}{{\omega }_{d}}sin\left({\omega }_{d}t \right)]+\frac{{F}_{0}}{k}\frac{1- {\left(\frac{\omega}{{\omega }_{n}} \right)}^{2}}{{\left[ 1-{\left(\frac{\omega }{{\omega }_{n}}} \right)}^{2}\right]}^{2}+{\left[ 2\zeta \left(\frac{\omega }{{\omega }_{n}} \right)\right]}^{2}}}sin(\omega t)-\frac{{F}_{0}}{k}\frac{2\zeta \left(\frac{\omega}{{\omega }_{n}} \right)}{{\left[ 1-{\left(\frac{\omega }{{\omega }_{n}}} \right)}^{2}\right]}^{2}+{\left[ 2\zeta \left(\frac{\omega }{{\omega }_{n}} \right)\right]}^{2}}}cos(\omega t), t\geq0$

manos4 · 08-12-14

civil.Εχεις κάποιο ebook ή κατι παρεμφερές για τα μαθημαντικά μοντέλα των επιδημιων SIRS?(Μαθηματική βιολογια).Είναι ανάφκη.Τουλάχιστον ξέρεις κάποια ιστοσελίδα που να έχει τέτοιο περιεχόμενο(δωρεάν επιστημονικά pdf κτλ).

Civilara · 8 Δεκεμβρίου 2014

Δεν γνωρίζω για το θέμα αυτό. Αν ψάξεις όμως στο διαδίκτυο όλο και κάτι θα βρεις.

Civilara · 8 Δεκεμβρίου 2014

Συνάρτηση του Heaviside

Η συνάρτηση του Heaviside ορίζεται ως εξής:

$H(x)=\left\{\begin{matrix}1, x> 0\\ 0, x<0\end{matrix}\right.$

Συνάρτηση δ του Dirac

Η συνάρτηση δ ορίζεται έτσι ώστε δ(x)=0 για x ανήκει R* και $\lim_{x\rightarrow 0}\delta (x)=+\propto$

Η συνάρτηση δ προκύπτει ως το όριο $\lim_{a\rightarrow {0}^{+}}{\delta }_{a}(x)$ των σειρών συναρτήσεων:

${\delta }_{a}(x)=\frac{1}{a\sqrt{\pi }}{e}^{-{\left(\frac{x}{a} \right)}^{2}}, a>0$

Αν f είναι ολοκληρώσιμη συνάρτηση στο [α,β] και α<x0<β τότε:

$\int_{\alpha }^{\beta }f(x)\delta (x-{x}_{0})dx=f({x}_{0})$

Αν f είναι ολοκληρώσιμη συνάρτηση στο [α,β], n φορές παραγωγίσιμη στο x0 και α<x0<β τότε
$\int_{\alpha }^{\beta }f(x){\delta}^{(n)} (x-{x}_{0})dx={(-1)}^{n}{f}^{(n)}({x}_{0})$

Βασικές ιδιότητες συναρτήσεων δ και H:

$H '(x)=\delta(x), x\neq 0$
$H(x)=\int_{-\propto }^{x}\delta (t)dt, x\neq 0$
$\int_{-x}^{x}\delta (t)dt=1, x>0$
$\int_{-x}^{0}\delta (t)dt=\int_{0}^{x}\delta (t)dt=0, x>0$
$\int_{-\propto }^{+\propto }\delta (t)dt=1$

Civilara · 10 Δεκεμβρίου 2014

Ψευδοστατικό, Στατικό, Ωστικό και Κρουστικό Φορτίο

Θεωρείται ότι τη χρονική στιγμή t0=0 ξεκινά να εφαρμόζεται σε ένα σώμα το φορτίο P(t).

Ψευδοστατικό Φορτίο
Το ψευδοστατικό φορτίο είναι εκείνο που εφαρμόζεται με σταθερό ρυθμό μέχρι να αποκτήσει την τελική τιμή του και από την στιγμή αυτή και μετά παραμένει σταθερό. Περιγράφεται από την έκφραση:

$P(t)=\left\{\begin{matrix}{P}_{0} \frac{t}{{t}_{r}}, 0\leq t< {t}_{r}\\ {P}_{0}, t\geq {t}_{r}\end{matrix}\right.$

Στατικό Φορτίο
Το στατικό φορτίο είναι εκείνο που εφαρμόζεται με αργό και σταθερό ρυθμό μέχρι να αποκτήσει την τελική τιμή του και από την στιγμή αυτή και μετά παραμένει σταθερό. Περιγράφεται από την έκφραση:

$P(t)=\left\{\begin{matrix}{P}_{0} \frac{t}{{t}_{r}}, 0\leq t< {t}_{r}\\ {P}_{0}, t\geq {t}_{r}\end{matrix}\right.$
όπου ${t}_{r}\rightarrow +\propto$

Ωστικό Φορτίο
Το ωστικό φορτίο είναι εκείνο που εφαρμόζεται απότομα σε ένα σώμα και συνεχίζει να εξασκείται στο σώμα αυτό για πεπερασμένο ή μη πεπερασμένο χρονικό διάστημα. Περιγράφεται από την έκφραση (για μη πεπερασμένο χρονικό διάστημα):

$P(t)={P}_{0}, t\geq 0$

Κρουστικό Φορτίο
Το κρουστικό φορτίο είναι εκείνο που εφαρμόζεται στιγμιαία σε ένα σώμα και μετά εξαφανίζεται. Περιγράφεται από την έκφραση:

$P(t)={P}_{0}\delta (t), t\geq 0$
όπου δ(t) η συνάρτηση δ του Dirac.

Civilara · 12 Δεκεμβρίου 2014

Απόκριση Γραμμικού Μονοβάθμιου Ταλαντωτή σε Κρουστικό Φορτίο με ένταση Fo που Εφαρμόζεται την Στιγμή to=0

Χωρίς Απόσβεση
$u(t)=u(0)cos\left({\omega }_{n}t \right) \right+ \left[ \frac{\dot{u}(0)}{{\omega }_{n}}+ \frac{{F}_{0}}{k}{\omega }_{n}{t}_{\delta }\right]sin\left({\omega }_{n}t \right), t\geq0$

Υποκρίσιμη Ιξώδης Απόσβεση
$u(t)={e}^{-\zeta {\omega }_{n}t}[u(0)cos\left({\omega }_{d}t \right) \right+ \left( \frac{\dot{u}(0)+\zeta {\omega }_{n}u(0)}{{\omega }_{d}}+\frac{{F}_{0}}{k}\frac{{\omega }_{d}{t}_{\delta }}{1-{\zeta }^{2}}\right)sin\left({\omega }_{d}t \right)], t\geq 0$

όπου ${t}_{\delta }=1$ και έχει τέτοιες μονάδες έτσι ώστε το γινόμενο ${\omega}_{d}{t}_{\delta }$ να εκφράζεται σε rad.

Θέματα Εφαρμοσμένων Μαθηματικών για Μηχανικούς

Civilara

Περιβόητο μέλος

Civilara

Περιβόητο μέλος

Civilara

Περιβόητο μέλος

Civilara

Περιβόητο μέλος

Civilara

Περιβόητο μέλος

manos4

Πολύ δραστήριο μέλος

Civilara

Περιβόητο μέλος

vassilis498

Διακεκριμένο μέλος

Civilara

Περιβόητο μέλος

Civilara

Περιβόητο μέλος

Civilara

Περιβόητο μέλος

manos4

Πολύ δραστήριο μέλος

Civilara

Περιβόητο μέλος

Civilara

Περιβόητο μέλος

Civilara

Περιβόητο μέλος

Civilara

Περιβόητο μέλος

Χρήστες Βρείτε παρόμοια

Λοιπές Σελίδες