Βοήθεια με άσκηση

[Guest 831328]

f συνεχης στο [0,β] και παραγωγισιμη στο (0,β) με f' συνεχη στο (0,β) και f(0)=0, f(α)=f(β)=2α με 0<α<β. Να αποδειχθει οτι υπαρχει
ξ ε (0,β) τετοιο ωστε f'(ξ)=1
μπορειτε ν με βοηθησετε σε αυτη την ασκηση

 

[Samael]

f συνεχης στο [0,β] και παραγωγισιμη στο (0,β) με f' συνεχη στο (0,β) και f(0)=0, f(α)=f(β)=2α με 0<α<β. Να αποδειχθει οτι υπαρχει
ξ ε (0,β) τετοιο ωστε f'(ξ)=1
μπορειτε ν με βοηθησετε σε αυτη την ασκηση

Εφόσον η f είναι συνεχής στο [0,β] και παραγωγίσιμη στο (0,β), και δεδομένου οτι το 0<α<β απο το ΘΜΤ , υπάρξει ζ1 Ε (0,α) τέτοιο ώστε :

f'(ζ1) = [f(α) - f(0)]/(α - 0) =>
f'(ζ1) = [2α - 0]/α =>
f'(ζ1) = 2α/α =>
f'(ζ1) = 2

Απο το ΘΜΤ στο [α,β], υπάρχει ζ2 Ε (α,β) τέτοιο ώστε :
f'(ζ2) = [f(β) - f(α)]/(α - β) =>
f'(ζ2) = [2α - 2α]/(α - β)=>
f'(ζ2) = 0

Επειδή η f' είναι συνεχής στο (0,β),άρα και στο [ζ1,ζ2] και f'(ζ1) = 2 > 1 > f'(ζ2) = 0 ,απο το ΘΕΤ , θα υπάρχει ξ Ε (ζ1,ζ2) C (0,β) τέτοιο ώστε : f'(ξ) = 1.

Ελπίζω να βοήθησα,εαν δεν καταλαβαίνεις κάτι πες μου.

 

[Alexandros28]

πλεονασμός η συνέχεια της f’, κάνει όμως τα πράγματα πάρα πολύ πιο απλά