Έξυπνη άσκηση με διάνυσμα

eukleidhs1821 · 19-04-20

Να δείξετε οτι αν ενα διανυσμα εχει σταθερο μετρο η παραγωγος του διανυσματος ειναι καθετη στο διανυσμα αυτο!!

Μάρκος Βασίλης · 19-04-20

Λίγο ασαφώς διατυπωμένη, πάντως:

Τι διανύσματα - σε ποιον χώρο ζουν;
Παράγωγος με ποια έννοια;
Καθετότητα με ποια έννοια - τι έχουμε ορίσει ως εσωτερικό γινόμενο;

eukleidhs1821 · 19-04-20

Αρχική Δημοσίευση από Μάρκος Βασίλης:
Λίγο ασαφώς διατυπωμένη, πάντως:

Τι διανύσματα - σε ποιον χώρο ζουν;

Παράγωγος με ποια έννοια;

Καθετότητα με ποια έννοια - τι έχουμε ορίσει ως εσωτερικό γινόμενο;

μην κουραζεις το μυαλο σου με δυσκολες εννοιες.Στον ΙR^n ζουνε αλλα δεν σου χρειαζεται σαν εννοια καν.Παραγωγος ειναι dr(t)/dt ή r'(t) με βελακι διανυσμα πανω.Καθετοτητα τι με ποια εννοια?Eσωτερικο γινομενο οπως το ξες.Μην το κουραζεις σου ξαναλεω μιλαω μονο του τι πρεπει να κανεις

Μάρκος Βασίλης · 20-04-20

Αρχική Δημοσίευση από eukleidhs1821:
μην κουραζεις το μυαλο σου με δυσκολες εννοιες.

Εντάξει, ως μαθηματικός διαφωνώ απίστευτα με αυτό.

Δίνω δύο λύσεις, μία τετριμμένη και βαρετή και μία γεωμετρική, πιο διαισθητική:

1η λύση: Έστω

το εν λόγω διάνυσμα, με όλες τις συνιστώσες παραγωγίσιμες συναρτήσεις. Αφού το μέτρο του είναι σταθερό, θα ισχύει:

Επομένως, παραγωγίζοντας, παίρνουμε ότι:

2η λύση: Αφού το διάνυσμα έχει σταθερό μέτρο, το πέρας του κινείται πάνω σε κύκλο και το διάνυσμα είναι η (επιβατική) ακτίνα αυτού του κύκλου. Εφ' όσον η παράγωγός του είναι η κλίση της εφαπτομένης του κύκλου σε αυτό το σημείο, έπεται ότι - αφού η γεωμετρία του χώρου είναι Ευκλείδεια - η εφαπτομένη είναι κάθετη στην ακτίνα, ο.ε.δ.

Unseen skygge · 20-04-20

Θυμάμαι είχαμε λύσει στην τάξη στον Λογισμό 2 ως α ερώτημα ενος προβλήματος την συγκεκριμένη ασκηση. Και για να είμαι ειλικρινής δεν βλέπω κάποιο λεπτό χειρισμό στην λύση της. Σαφώς η δεύτερη λύση που έδωσε ο Μάρκος-Βασιλης ήταν πιο "κομψή" μαθηματικά ωστόσο δεν θεωρώ ότι θα ήταν η πρώτη σκέψη κάποιου που δεν σπουδάζει μαθηματικά

eukleidhs1821 · 20 Απριλίου 2020

η πρωτη λυση ειναι ολοσωστη και αυτη που περιμενεις για απαντηση.απο κει και περα δεν χρειαζεται καν να βαλεις συνιστωσες.αν υψωσεις το μετρο στο τετραγωγο και κανεις παραγωγιση γινομενου βγαινει καμπανα χωρις να χρειαστει να βαλεις συνιστωσες

Αυτόματη ένωση συνεχόμενων μηνυμάτων: 20 Απριλίου 2020

Αρχική Δημοσίευση από Unseen skygge:
Θυμάμαι είχαμε λύσει στην τάξη στον Λογισμό 2 ως α ερώτημα ενος προβλήματος την συγκεκριμένη ασκηση. Και για να είμαι ειλικρινής δεν βλέπω κάποιο λεπτό χειρισμό στην λύση της. Σαφώς η δεύτερη λύση που έδωσε ο Μάρκος-Βασιλης ήταν πιο "κομψή" μαθηματικά ωστόσο δεν θεωρώ ότι θα ήταν η πρώτη σκέψη κάποιου που δεν σπουδάζει μαθηματικά

ουτε και αυτουνου που σπουδαζει μαθηματικα θα ητανε.η πρωτη λυση ειναι κοινης λογικης και απλα βγαινει χωρις καν να βαλεις συνιστωσες

Αυτόματη ένωση συνεχόμενων μηνυμάτων: 20 Απριλίου 2020

Αρχική Δημοσίευση από Μάρκος Βασίλης:
Εντάξει, ως μαθηματικός διαφωνώ απίστευτα με αυτό.

Δίνω δύο λύσεις, μία τετριμμένη και βαρετή και μία γεωμετρική, πιο διαισθητική:

1η λύση: Έστω

το εν λόγω διάνυσμα, με όλες τις συνιστώσες παραγωγίσιμες συναρτήσεις. Αφού το μέτρο του είναι σταθερό, θα ισχύει:

Επομένως, παραγωγίζοντας, παίρνουμε ότι:

2η λύση: Αφού το διάνυσμα έχει σταθερό μέτρο, το πέρας του κινείται πάνω σε κύκλο και το διάνυσμα είναι η (επιβατική) ακτίνα αυτού του κύκλου. Εφ' όσον η παράγωγός του είναι η κλίση της εφαπτομένης του κύκλου σε αυτό το σημείο, έπεται ότι - αφού η γεωμετρία του χώρου είναι Ευκλείδεια - η εφαπτομένη είναι κάθετη στην ακτίνα, ο.ε.δ.

η δευτερη λυση ειναι παντελως λαθος παντως.τι παει να πει η κλιση της εφαπτομενης του κυκλου ειναι παραγωγος.ο κυκλος δεν ειναι καν συναρτηση.δεν κολλαει πουθενα η δευτερη λυση

Μάρκος Βασίλης · 20 Απριλίου 2020

Αρχική Δημοσίευση από eukleidhs1821:
η πρωτη λυση ειναι ολοσωστη και αυτη που περιμενεις για απαντηση.απο κει και περα δεν χρειαζεται καν να βαλεις συνιστωσες.αν υψωσεις το μετρο στο τετραγωγο και κανεις παραγωγιση γινομενου βγαινει καμπανα χωρις να χρειαστει να βαλεις συνιστωσες

Για να παραγωγίσεις το μέτρο στο τετράγωνο θέλεις να είναι, αρχικά, οι συνιστώσες πραγματικές, διότι αν ήταν π.χ. μιγαδικές δε θα μπορούσες να παραγωγίσεις - η μιγαδική απόλυτη τιμή δεν είναι ολόμορφη και παραγωγίζεται μόνον στο 0.

Αρχική Δημοσίευση από eukleidhs1821:
ουτε και αυτουνου που σπουδαζει μαθηματικα θα ητανε.η πρωτη λυση ειναι κοινης λογικης και απλα βγαινει χωρις καν να βαλεις συνιστωσες

Κοίτα, η πρώτη λύση είναι απλά by the book, δεν είναι «κοινής λογικής». Οι ωραίες λύσεις στα μαθηματικά είναι οι διαισθητικές - άλλωστε, έτσι γεννιούνται και οι ιδέες.

Αρχική Δημοσίευση από eukleidhs1821:
η δευτερη λυση ειναι παντελως λαθος παντως.τι παει να πει η κλιση της εφαπτομενης του κυκλου ειναι παραγωγος.ο κυκλος δεν ειναι καν συναρτηση.δεν κολλαει πουθενα η δευτερη λυση

Νομίζω ότι, μάλλον, δεν ήμουν αρκετά σαφής, οπότε ας εξηγήσω καλύτερα τη διαίσθηση.

Ο κύκλος δεν είναι η r(t), είναι ο γεωμετρικός τόπος που ορίζεται από το πέρας του διανύσματος θέσεως που ορίζει η r(t). Ας το εξηγήσω λίγο πιο αναλυτικά. Θεωρούμε τον (Ευκλείδειο) χώρο Hilbert

με το σύνηθες εσωτερικό γινόμενο - αφού μιλάμε και για γωνίες κ.λπ.. Σε αυτόν τον χώρο ορίζουμε τα σύνολα:

$S(x_0,r):=\left\{x\in\mathbb{R}^n:\lVert x-x_0\rVert_2=r\right\}$

ως τις σφαίρες κέντρου

$x_0$

και ακτίνας r. Θεωρούμε γνωστό - δεν πρόκειται να το αποδείξουμε εδώ - ότι το εφαπτόμενο επίπεδο μιας σφαίρας S σε ένα σημείο της a είναι το σύνολο:

$H_S(a):=\left\{x\in\mathbb{R}^n:\langle x-a,a-x_0\rangle=0\right\}$

δηλαδή, το υπερεπίπεδο του

που έχει ως κάθετο διάνυσμα το

$a-x_0$

και διέρχεται από το a ή, σε όρους γραμμικής άλγεβρας ο κάθετος υπόχωρος του
$\text{span}[a-x_0]$
- με διάσταση n-1 μετατοπισμένος κατά a.

Τώρα, αν θεωρήσουμε τη συνάρτηση

$x(t)$

με

$\lVert x(t)\rVert_2=r$

, τότε παρατηρούμε ότι, για κάθε t ισχύει ότι:

$x(t)\in S(0,r)$

(με 0 εννοείται εδώ το μηδενικό διάνυσμα, αλλά συνάγεται από το συγκείμενο αυτό, οπότε δε βάζουμε βελάκια).

Τώρα, από τα προηγούμενα έχουμε ότι για ένα σταθερό t:

$\langle x(t),x'(t)\rangle=0\Leftrightarrow\langle x(t),x'(t)+x(t)-x(t)\rangle=0\\\Leftrightarrow x'(t)+x(t)\in H_S(x(t))$

άρα η παράγωγος της x σε κάθε σημείο μας δίνει την κλίση του εφαπτόμενου επιπέδου - μετατοπισμένη κατά το x(t), αλλά αυτό δεν έχει σημασία, αφού τα x'(t) και x'(t)+x(t) είναι παράλληλα μεταξύ τους - διαφέρουν κατά σταθερό διάνυσμα.

Με άλλα λόγια, το εφαπτόμενο επίπεδο σε ένα σημείο είναι κάθετο στην διανυσματική ακτίνα του σημείου και έχει κλίση που δίνεται από την παράγωγο της διανυσματικής ακτίνας.

Η παραπάνω διαίσθηση γενικεύει σε έναν βαθμό τη συνήθη εικόνα που έχουμε από τη γεωμετρία του κύκλο στο παραδοσιακό Ευκλείδειο επίπεδο.

Σχόλιο 1: Ο κύκλος δεν είναι συνάρτηση, αν μείνεις στη συνήθη εικόνα του λυκείου. Πράγματι, δεν υπάρχει συνάρτηση με πεδίο ορισμού το R η οποία να έχει γραφική παράσταση κύκλο. Ωστόσο αυτό είναι άσχετο με το θέμα μας. Δεν είπαμε κάπου ότι η γραφική παράσταση της r είναι κύκλος - ή σφαίρα, με την ευρεία έννοια - αλλά ότι τα σημεία που ορίζει η r ζουν πάνω στη σφαίρα.

Σχόλιο 2: Η έκφραση «Να δείξετε οτι αν ενα διανυσμα εχει σταθερο μετρο η παραγωγος του διανυσματος ειναι καθετη στο διανυσμα αυτο!!» είναι εσφαλμένη, δεδομένου ότι το διάνυσμα που δίνεται είναι, εν γένει, συνάρτηση. Ορθότερα, το r(t) και το r'(t) είναι κάθετα κατά σημείο δηλαδή για κάθε t ισχύει ότι τα r(t) και r'(t) είναι κάθετα μεταξύ τους. Ωστόσο, αυτό δε σημαίνει ότι οι συναρτήσεις r(t) και r'(t) είναι κάθετες καθώς το εσωτερικό γινόμενο ορίζεται στον

$\mathbb{R}^n\times\mathbb{R}^n$

και όχι, ας πούμε, στον

$L_2(\mathbb{R}^n)\times L_2(\mathbb{R}^n)$

, οπότε και τα αντικείμενά μας θα ήταν οι συναρτήσεις καθεαυτές. Θα είχε νόημα αυτή η έκφραση αν είχαμε πάρει ως εσωτερικό γινόμενο το:

$\langle f,g\rangle:=\int_a^bf(t)g(t)dt$

για κατάλληλα ορισμένες συναρτήσεις - συνεχείς, ας πούμε, αν το ολοκλήρωμα είναι Riemann.

eukleidhs1821 · 20-04-20

Αρχική Δημοσίευση από Μάρκος Βασίλης:
Για να βάλεις το μέτρο στο τετράγωνο θέλεις να είναι, αρχικά, οι συνιστώσες πραγματικές, διότι αν ήταν π.χ. μιγαδικές δε θα μπορούσες να παραγωγίσεις - η μιγαδική απόλυτη τιμή δεν είναι ολόμορφη και παραγωγίζεται μόνον στο 0.

Κοίτα, η πρώτη λύση είναι απλά by the book, δεν είναι «κοινής λογικής». Οι ωραίες λύσεις στα μαθηματικά είναι οι διαισθητικές - άλλωστε, έτσι γεννιούνται και οι ιδέες.

Νομίζω ότι, μάλλον, δεν ήμουν αρκετά σαφής, οπότε ας εξηγήσω καλύτερα τη διαίσθηση.

Ο κύκλος δεν είναι η r(t), είναι ο γεωμετρικός τόπος που ορίζεται από το πέρας του διανύσματος θέσεως που ορίζει η r(t). Ας το εξηγήσω λίγο πιο αναλυτικά. Θεωρούμε τον (Ευκλείδειο) χώρο Hilbert

με το σύνηθες εσωτερικό γινόμενο - αφού μιλάμε και για γωνίες κ.λπ.. Σε αυτόν τον χώρο ορίζουμε τα σύνολα:

ως τις σφαίρες κέντρου

και ακτίνας r. Θεωρούμε γνωστό - δεν πρόκειται να το αποδείξουμε εδώ - ότι το εφαπτόμενο επίπεδο μιας σφαίρας S σε ένα σημείο της a είναι το σύνολο:

δηλαδή, το υπερεπίπεδο του

που έχει ως κάθετο διάνυσμα το

και διέρχεται από το a ή, σε όρους γραμμικής άλγεβρας ο κάθετος υπόχωρος του
$\text{span}[a-x_0]$
- με διάσταση n-1 μετατοπισμένος κατά a.

Τώρα, αν θεωρήσουμε τη συνάρτηση

με

, τότε παρατηρούμε ότι, για κάθε t ισχύει ότι:

(με 0 εννοείται εδώ το μηδενικό διάνυσμα, αλλά συνάγεται από το συγκείμενο αυτό, οπότε δε βάζουμε βελάκια).

Τώρα, από τα προηγούμενα έχουμε ότι για ένα σταθερό t:

άρα η παράγωγος της x σε κάθε σημείο μας δίνει την κλίση του εφαπτόμενου επιπέδου - μετατοπισμένη κατά το x(t), αλλά αυτό δεν έχει σημασία, αφού τα x'(t) και x'(t)+x(t) είναι παράλληλα μεταξύ τους - διαφέρουν κατά σταθερό διάνυσμα.

Με άλλα λόγια, το εφαπτόμενο επίπεδο σε ένα σημείο είναι κάθετο στην διανυσματική ακτίνα του σημείου και έχει κλίση που δίνεται από την παράγωγο της διανυσματικής ακτίνας.

Η παραπάνω διαίσθηση γενικεύει σε έναν βαθμό τη συνήθη εικόνα που έχουμε από τη γεωμετρία του κύκλο στο παραδοσιακό Ευκλείδειο επίπεδο.

Σχόλιο 1: Ο κύκλος δεν είναι συνάρτηση, αν μείνεις στη συνήθη εικόνα του λυκείου. Πράγματι, δεν υπάρχει συνάρτηση με πεδίο ορισμού το R η οποία να έχει γραφική παράσταση κύκλο. Ωστόσο αυτό είναι άσχετο με το θέμα μας. Δεν είπαμε κάπου ότι η γραφική παράσταση της r είναι κύκλος - ή σφαίρα, με την ευρεία έννοια - αλλά ότι τα σημεία που ορίζει η r ζουν πάνω στη σφαίρα.

Σχόλιο 2: Η έκφραση «Να δείξετε οτι αν ενα διανυσμα εχει σταθερο μετρο η παραγωγος του διανυσματος ειναι καθετη στο διανυσμα αυτο!!» είναι εσφαλμένη, δεδομένου ότι το διάνυσμα που δίνεται είναι, εν γένει, συνάρτηση. Ορθότερα, το r(t) και το r'(t) είναι κάθετα κατά σημείο δηλαδή για κάθε t ισχύει ότι τα r(t) και r'(t) είναι κάθετα μεταξύ τους. Ωστόσο, αυτό δε σημαίνει ότι οι συναρτήσεις r(t) και r'(t) είναι κάθετες καθώς το εσωτερικό γινόμενο ορίζεται στον

και όχι, ας πούμε, στον
$L_2(\mathbb{R}^n)\times L_2(\mathbb{R}^n)$
, οπότε και τα αντικείμενά μας θα ήταν οι συναρτήσεις καθεαυτές. Θα είχε νόημα αυτή η έκφραση αν είχαμε πάρει ως εσωτερικό γινόμενο το:

$\langle f,g\rangle:=\int_a^bf(t)g(t)dt$

για κατάλληλα ορισμένες συναρτήσεις - συνεχείς, ας πούμε, αν το ολοκλήρωμα είναι Riemann.

Δεν καταλαβα τιποτα αλλα οκ για να τα λες δικιο θα χεις

Μάρκος Βασίλης · 20-04-20

Αρχική Δημοσίευση από eukleidhs1821:
Δεν καταλαβα τιποτα αλλα οκ για να τα λες δικιο θα χεις

Είχε ένα τυπογραφικό, το διόρθωσα. :Ρ

DumeNuke · 20-04-20

e=π=3 και Q.E.D.

Μάρκος Βασίλης · 21-04-20

Αρχική Δημοσίευση από DumeNuke:
e=π=3 και Q.E.D.

Ή, λίγο γενικότερα:

Έξυπνη άσκηση με διάνυσμα

eukleidhs1821

Διάσημο μέλος

Μάρκος Βασίλης

Πολύ δραστήριο μέλος

eukleidhs1821

Διάσημο μέλος

Μάρκος Βασίλης

Πολύ δραστήριο μέλος

Unseen skygge

Πολύ δραστήριο μέλος

eukleidhs1821

Διάσημο μέλος

Μάρκος Βασίλης

Πολύ δραστήριο μέλος

eukleidhs1821

Διάσημο μέλος

Μάρκος Βασίλης

Πολύ δραστήριο μέλος

DumeNuke

Τιμώμενο Μέλος

Μάρκος Βασίλης

Πολύ δραστήριο μέλος

Χρήστες Βρείτε παρόμοια

Λοιπές Σελίδες