ξαροπ
Πολύ δραστήριο μέλος
ΜΕΓΑΛΟΙ (Ηλικίας 15.5+) : https://www.hms.gr/images/stories/prokrimatikos_2009/SENIORS2009TELIKO.pdf
ΜΙΚΡΟΙ (Ηλικίας < 15.5) : https://www.hms.gr/images/stories/prokrimatikos_2009/JUNIORS2009TELIKO.pdf
Δεν έχουν βγει οι λύσεις ακόμα. Όλοι, αλλά κυρίως όσοι ενδιαφέρονται κι ασχολούνται με το θέμα, μπορούν ελεύθερα να προτείνουν και να συζητήσουν της λύσεις τους, αν θέλουν. Εγώ ασχολήθηκα με τους μικρούς, κι έχω βρει λύση σε 3 από τα 4 μέχρι τώρα, αλλά πρέπει να διορθώσω μερικά πραματάκια ακόμα και να αποφασίσω αν είναι μια λύση επαρκής ώστε να την ποστάρω. :iagree:
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
ξαροπ
Πολύ δραστήριο μέλος
Αρχικά, το σύστημα μπορεί να εκφραστεί και ως δυο συνθήκες που πρέπει οι αριθμοί να πληρούν, δηλαδή δεν το πήγα με επίλυση συστήματος. Έχουμε τότε κι επειδή , ξεχωρίζουμε δύο περιπτώσεις.
(1) και (μια τριάδα - λύση του συστήματος)
(2) όπου ένας από τους τρεις αγνώστους και οι υπόλοιποι δυο, με
Συμπεραίνουμε τότε ότι κι επειδή , έχουμε , που σημαίνει ότι η τριάδα είναι μια επίσης λύση του συστήματος για κάθε .
Μένει τώρα να αποδείξουμε ότι για να εξετάσουμε αν το 3 είναι το ελάχιστο άθροισμα ή όχι.
που ισχύει, γιατί το τετράγωνο ενός πραγματικού αριθμού δεν είναι ποτέ αρνητικό. Άρα το ελάχιστο άθροισμα είναι και επιτυγχάνεται με την τριάδα ή αλλιώς .
Περιμένω καλύτερη λύση από κάποιον που ίσως ξέρει περισσότερα στο θέμα. :iagree:
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Eukleidis
Πολύ δραστήριο μέλος
Προσθέτουμε τις εξισώσεις του συστήματος κατά μέλη:
άρα x=1 ή y=1 ή z=1.
Διακρίνουμε τις περιπτώσεις
a)x=y=z=1
b)Ένας είναι ίσος με τη μονάδα και οι άλλοι 2 αντίστροφοι.
Τότε με ισότητα για x=y=z=1
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
~Λένα~
Πολύ δραστήριο μέλος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
stavrouli_to
Εκκολαπτόμενο μέλος
ΥΓ. Αντε θέλω να εξασκηθώ στα LATEX...
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
ξαροπ
Πολύ δραστήριο μέλος
Παρατηρούμε ότι ο μαθητής μπορεί να σκίσει φύλλα, με . Τότε τα φύλλα που θα έχει θα είναι . Βλέπουμε όμως ότι αν σκίσει , με θα έχει συνολικά Άρα το ίδιο θα συμβαίνει με όσα φύλλα σκίζει, πχ. κτλ.
Άρα αρκεί . Όμως τότε το "z" δεν θα είναι ακέραιος αριθμός, οπότε καταλήγουμε σε άτοπο (υποτίθεται ότι σκίζει ακέραιο αριθμό φύλλων). Η απάντηση στο πρόβλημα είναι "Όχι, δεν μπορεί."
Βάζω ένα πρόβλημα από άλλον Προκριματικό, αφού το ζήτησε η stavrouli_to.
Greek Selection Test Problem #4
Βρείτε όλους τους θετικούς ακεραίους για τους οποίους ισχύει ότι .
Δεν θα ασχοληθώ ακόμα, όσοι θέλετε προσπαθήστε, μα πάνω απ' όλα μην απογοητευθείτε αν δεν τη λύσετε! Προβλήματα ολυμπιάδας είναι, όχι σχολικά!
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
stavrouli_to
Εκκολαπτόμενο μέλος
-----------------------------------------
Α! αποκλείουμε και το 4... Αυτό το ξέχασα...
ΥΓ. Πρεπει να πω πως το βρηκα?(βαριέμαι να πληκτρολογω...)
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
ξαροπ
Πολύ δραστήριο μέλος
(με περιπτώσεις το πήγες? Εγώ ξεχώρισα δυο - τρεις μέχρι να φτάσω στην απόδειξη)
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
ξαροπ
Πολύ δραστήριο μέλος
Ναι, καλή θα ήταν μια απόδειξη αυτών που λες, μια απάντηση από μόνη της δεν στέκει...
Τέλος πάντων, επειδή δεν έχω τίποτα καλύτερο να κάνω αυτή τη στιγμή, θα παραθέσω τέσσερα προβλήματα ανάλογου επιπέδου, όχι επίσημα του Προκριματικού Διαγωνισμού Νέων, έτσι ώστε να προβληματιστούμε.
1: Let be an isosceles triangle with and let be a point on , so that . Prove that .
2: If so that prove that .
3: Three circles osculate in pairs outwardly (εφάπτονται ανά δύο εξωτερικά). If is the radius of the εγγεγραμμένου κύκλου of triangle , prove that . (Hint: , Heron Theorem)
4: Η πρώτη μου απόπειρα σε δημιουργία άσκησης μαθηματικών, οπότε μην μου ριχτείτε αν έχω κάνει κανένα λάθος κάπου, ευελπιστώ ότι είναι σωστή και απλή - εύκολη. Λοιπόν, αν , να αποδειχτεί ότι .
Happy thinking, τι να πω.
(ΥΓ. Μεγάλο πρόβλημα με το iSchool, όλο το μήνυμα "είναι πολύ μικρό" μου βγάζει. Αμάν, δεν καταλαβαίνει από copy-paste από άλλο ποστ? Τόση ώρα μου πήρε να το κάνω!)
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
stavrouli_to
Εκκολαπτόμενο μέλος
-----------------------------------------
Πάντως τις υπολοιπες ασκήσεις θα τις δω μετα τις εξετάσεις αν δε σε πειραζει...
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Χρήστες Βρείτε παρόμοια
-
Φορτώνει...
-
Το forum μας χρησιμοποιεί cookies για να βελτιστοποιήσει την εμπειρία σας.
Συνεχίζοντας την περιήγησή σας, συναινείτε στη χρήση cookies στον περιηγητή σας.