Samael
Τιμώμενο Μέλος
Ο Samael αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Είναι Φοιτητής του τμήματος Ηλεκτρολόγων & Ηλεκτρονικών Μηχανικών ΠΑΔΑ και μας γράφει απο Πειραιάς (Αττική). Έχει γράψει 10,359 μηνύματα.
24-07-23
08:09
Προφανώς για όλα τα x1 = x2 θα είναι f(x1) = f(x2) βάσει του ορισμού της συνάρτησης . Η απόδειξη του Cade βασίζεται στο γεγονός ότι ξεκινάει με την παραδοχή ότι f(x1) = f(x2) και καταλήγει στο συμπέρασμα ότι η σχέση μεταξύ των x1 και x2 είναι :Γτ τετριμμενο οτι χ1=χ2 αφου την εξισωση λυνεις!Εμενα ο προβληματισμος μου ειναι στο ή.Το ή σημαινει οτι μπορει να ισχυει ειτε η μια σχεση ειτε η αλλη σχεση ειτε και οι δυο!Και αν ισχυει η μια σχεση χ1=χ2 τι γινεται σε αυτη την περιπτωση?Το θεωρω επισφαλη τροπο αποδειξης.Δεν ειναι απολυτα λαθος αλλα πολυ καλυτερο να το παει καποιος με αντιπαραδειγμα και να μην το μπλεξει με γενικοτητες που βαζουν προβληματα.
x1 = x2 ή x1+x2 = 4
Οπότε έχεις λύσεις που ισχύει απλώς x1 = x2 , που είναι οι τετριμμένες και δεν σε ενδιαφέρουν γιατί υπάρχουν για όλες τις συναρτήσεις είτε είναι 1-1 είτε όχι . Υπάρχει μια λύση x1 = x2 = 2 για την οποία ισχύουν ταυτόχρονα και οι δύο σχέσεις που πάλι δεν σε ενδιαφέρει γιατί ανήκει και αυτή στις τετριμμένες λύσεις...και τέλος υπάρχουν και λύσεις που ικανοποιούν μόνο την εξίσωση :
x1 + x2 = 4
Οπότε εάν πάρεις π.χ. :
x1 = 1 και x2 = 3 , βρίσκεις ότι f(x1) = f(x2) . Επί της ουσίας ο τρόπος του Cade είναι πιο ισχυρή απόδειξη του ζητούμενου καθώς σε αντίθεση με το αντιπαράδειγμα , δεν αποδεικνύει απλώς ότι η f είναι 1-1 αλλά και για ποια x1 != x2 ισχύει f(x1) = f(x2) .
Samael
Τιμώμενο Μέλος
Ο Samael αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Είναι Φοιτητής του τμήματος Ηλεκτρολόγων & Ηλεκτρονικών Μηχανικών ΠΑΔΑ και μας γράφει απο Πειραιάς (Αττική). Έχει γράψει 10,359 μηνύματα.
23-07-23
18:52
Πιστεύω οτι γενικά πρέπει να αφιερωθούν κάποια μαθήματα λίγο στο κομμάτι της λογικής , των αποδείξεων , των επιχειρημάτων κτλπ . Είναι κρίσιμο και βασικό γιατί είτε κάνεις άλγεβρα , είτε λογισμό , είτε γεωμετρία είτε οποιοδήποτε κλάδο των μαθηματικών , οι βασικές αποδεικτικές πρακτικές παραμένουν επί της ουσίας ίδιες . Είναι σαν να λέμε τα θεμέλια των μαθηματικών , όπως τα μαθηματικά αποτελούν τα θεμέλια για άλλες επιστήμες . Και μεταξύ μας τώρα η αλήθεια να λέγεται , ποιο χρήσιμη είναι η λογική σε καθημερινό επίπεδο και στον προγραμματισμό παρά ο λογισμός . Γιατί λογική όλοι θα χρησιμοποιήσουν στην ζωή τους , και ιδίως όσοι ασχοληθούν με υπολογιστές πρέπει να έχουν ένα πιο firm grasp . Απο την άλλη λογισμό , όχι , δεν θα χρησιμοποιήσουν όλοι . Τουλάχιστον όχι άμεσα .Σωστα.Ουσιαστικα με ενα απλο παραδειγμα αποδεικνυεις οτι δεν ισχυει καθολικα ο ορισμος και αρα καιγεται οτι ειναι 1-1 στην προκειμενη περιπτωση.Ηταν 2-3 χρονιες στις πανελληνιες που το αναδεικνυαν αυτο το κομματι του αντιπαραδειγματος κυριως στο πρωτο θεμα.Ομως θεωρηθηκε too much για πρωτο θεμα γτ οι μοναδες θεωρουνται στημενες,τους κραξανε ασχημα και εδω και καμια τριετια το ξαναεβγαλαν.
Samael
Τιμώμενο Μέλος
Ο Samael αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Είναι Φοιτητής του τμήματος Ηλεκτρολόγων & Ηλεκτρονικών Μηχανικών ΠΑΔΑ και μας γράφει απο Πειραιάς (Αττική). Έχει γράψει 10,359 μηνύματα.
23-07-23
18:42
Το ξέρω , αλλά το κορίτσι είναι της πληροφορικής , μάλλον για αυτό της ξύνισε αυτή η μέθοδος .Ναι εχεις ενα δικιο αλλα στα συγκεκριμενα παραδειγματα ειναι αρκετα προφανη τι τιμες θες.Στην μεν συναρτηση με το απολυτη αρκει ουσιαστικα να λυσεις την απολυτο(χ-2)=κατι θετικο και αμεσως θα βρεις τι τιμες θα βαλεις για να σου φτιαξει το αντιπαραδειγμα.....Αν λυσεις πχ την απολυτο(χ-2)=2023 παλι θα δουλεψει.
Στην περιπτωση του ριζικου και παλι δοκιμαζεις πχ εκει που μηδενιζει το υποριζο χ=3 και βλεπεις οτι δινει τιμη 1 αρα στον πανω κλαδο αν βαλεις μηδεν παιρνεις ιδια τιμη.Τετοιες ασκησεις ειναι αρκετα ευκολα τα αντιπαραδειγματα.
Πέρα απο την πλάκα όμως , γενικά το αντιπαράδειγμα είναι μια πολύ δυνατή μέθοδος . Ίσως περιορισμένη στην περίπτωση πιο γενικών συναρτήσεων( και επομένως real world συναρτήσεων , aka σήματα )που ούτε τον ορισμό μπορείς να ελέγξεις άμεσα , ούτε να παραγωγίσεις γίνεται ,ούτε να κάνεις εξίσωση εικόνων , οπότε εκεί ναι όντως θες υπολογιστή να ψάξει εξαντλητικά ή να κάνει χρήση κάποιου έξυπνου αλγόριθμου...αλλά πρέπει να δούμε την αξία της μεθόδου σε ένα ευρύτερο πλαίσιο :
Όσα παραδείγματα και να χρησιμοποιήσει κανείς για να αποδείξει την ισχύ μιας πρότασης δεν θα είναι αρκετά ορισμένες φορές ( εκτός εαν έχει να ελέγξει πεπερασμένο αριθμό περιπτώσεων οπότε αποδεικνύει το ζητούμενο εύκολα με εξαντλητικό τρόπο ). Για να λύσει κανείς τα χέρια του σε αυτή την περίπτωση πρέπει να βασιστεί σε κάποια αποδεικτική διαδικασία ευρύτερου βεληνεκούς ( λόγου χάρη μέθοδος της επαγωγής ) . Το αντιπαράδειγμα όμως είναι δυνατό ακριβώς επειδή με ένα και μόνο παράδειγμα μπορείς να αποδείξεις οτι σίγουρα κάτι δεν ισχύει .
@Helen06 εαν σε ενδιαφέρει σε περισσότερο βάθος το που πάει η κουβέντα θα σου πρότεινα να ψάξεις για το γνωστό N vs NP . Είναι ένα πολύ συναρπαστικό και πολύ ενδιαφέρον πρόβλημα που κάθεται μεταξύ μαθηματικών και επιστήμης υπολογιστών .
Samael
Τιμώμενο Μέλος
Ο Samael αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Είναι Φοιτητής του τμήματος Ηλεκτρολόγων & Ηλεκτρονικών Μηχανικών ΠΑΔΑ και μας γράφει απο Πειραιάς (Αττική). Έχει γράψει 10,359 μηνύματα.
22-07-23
20:03
Εννοεί βασικά οτι επιλέγεις τυχαία δύο αριθμούς για το αντιπαράδειγμα . Οτι δεν υπάρχει συστηματικός τρόπος να εντοπίσεις ποιοι δύο αριθμοί θα δουλέψουν . Και έχει δίκιο , αυτό είναι το μειονέκτημα του αντιπαραδείγματος . Για απλές συκέ περιπτώσεις ασκήσεων είναι εύκολο να βρεις ποιοι αριθμοί θα δουλέψουν ( συνήθως το 0, 1 , 2 , 3 ,4 κτλπ. ) , αλλά για αυθαίρετες περιπτώσεις όχι τόσο .οχι ρε συ τι να λυσεις με τυχαιους αριθμους!Αυτο ειναι το νοημα του αντιπαραδειγματος.Αν βρεις 2 αριθμους που βγαζουν ιδια συναρτησιακη τιμη σου κατοχυρωνει οτι δεν ειναι 1-1!!Αυτο γινεται γτ ο ορισμος του 1-1 σου λεει για καθε χ1,χ2 επομενως εσυ το αρνεισαι αυτο και θες να δεις αν υπαρχουν 2 τουλαχιστον χ1,χ2 που σου βγαζουν ιδια συναρτησιακη τιμη.Οσο για το πρωτο εκει ειναι η πονηραδα να βγαλεις με τον ορισμο οτι ειναι και στην ενωση f(x1)<f(x2) που ειναι ευκολο ομως γτ αν παρεις χ1 στον ενα κλαδο,χ2 στον αλλο κλαδο ειναι προφανης η διαταξη.