Μάρκος Βασίλης
Πολύ δραστήριο μέλος
Ο Βασίλης αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Είναι 28 ετών, Διδακτορικός και μας γράφει απο Καισαριανή (Αττική). Έχει γράψει 1,871 μηνύματα.
04-08-20
13:38
Ο πρώτος τρόπος που προτείνεις με τον τύπο για τον υπολογισμό του μήκους καμπύλης δεν νομίζω να επαρκεί αφού αφορά μόνο σε παραγωγίσιμες συναρτήσεις (αποκλείει πχ την τεθλασμένη γραμμή εκτος κιαν σπάσεις το ολοκλήρωμα σε δύο, αρα και την καμπύλη στα δύο). Επισης χρειάζεται απο μόνος του απόδειξη για την οποία δε γλιτώνεις τη διαδικασία που ακολούθησα έτσι κιαλλιώς ( σπας την καμπύλη σε τμήματα dl και παίρνεις πυθαγόρειο) . Σχετικά με τον δεύτερο πιο γενικό τρόπο, η κύμανση πώς προκύπτει ότι πρέπει να είναι ελάχιστη για να ειναι η διαδρομή ελάχιστη? Τέλος στο ένα κλικ παραπάνω σε έχασα τελείως, προφανώς (αγαπημένη λέξη) επειδή δεν είμαι εξοικειωμένος με τις έννοιες που χρησιμοποιείς( μέτρο lebesgue ,φραγμένη κύμανση, sup υποθέτω συμβολίζει τον διαμερισμό?). Ριμάννια πολλαπλότητα είναι μια μη επίπεδη επιφάνεια? Αυτό που είναι σίγουρο είναι πως το post δεν έπρεπε να ανέβει σε forum γυμνασίου xD
Ο τύπος αποτελεί τον ορισμό του μήκους τμήματος παραγωγίσιμης συνάρτησης (με ολοκληρώσιμη παράγωγο) και αυτό που αναφέρεις είναι η διαίσθηση πίσω από τον τύπο. Ωστόσο, δε χρειάζεται απόδειξη και η δικαιολόγηση δε γίνεται με «στοιχειώδη» μήκη, πλέον, αλλά με τον ορισμό του ολοκληρώματος (Riemann, στην προκειμένη). Τώρα, το ότι η f είναι παραγωγίσιμη δεν είναι θέμα, αφού μπορούμε να υποθέσουμε για παράδειγμα ότι είναι κατά τμήματα παραγωγίσιμη (με ολοκληρώσιμη παράγωγο) οπότε να πιάσουμε και τις τεθλασμένες γραμμές.
Για τη «γενίκευση», αν πάρεις τον ορισμό του ολοκληρώματος για το μήκος μίας καμπύλης - χωρίς να υποθέσεις κάτι για την παραγωγισιμότητα της f - τότε θα δεις ότι αυτό που εμφανίζεται είναι ουσιαστική η κύμανση της f, οπότε είναι φυσιολογικό να θεωρήσουμε ότι αυτή εκφράζει κάτι σχετικό με το μήκος της γραφικής της παράστασης, όταν αυτό έχει νόημα.
Τώρα, οι πολλαπλότητες, γενικά, είναι (τοπλογικοί) χώροι που τοπικά «μοιάζουν» ευκλείδειοι - σε ό,τι έχει να κάνει με την τοπολογία τους (και σε έναν βαθμό, με τη γεωμετρία τους). Δεν είναι απλά μία επίπεδη επιφάνεια, αλλά κάτι αρκετά γενικότερο - όπως και η γεωδαισιακή, που είναι, επί της ουσίας, η τροχιά ενός κινητού που κινείται με σταθερή (διανυσματική) ταχύτητα πάνω σε μία «επιφάνεια».
Μάρκος Βασίλης
Πολύ δραστήριο μέλος
Ο Βασίλης αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Είναι 28 ετών, Διδακτορικός και μας γράφει απο Καισαριανή (Αττική). Έχει γράψει 1,871 μηνύματα.
04-08-20
00:38
@eukleidhs1821 Την ίδια ιδέα έχετε, απλά εσύ υποθέτεις ότι η διαδρομή είναι, ουσιαστικά, τεθλασμένη γραμμή, ενώ μπορεί να μην είναι.
Αρχικά, να τοποθετήσουμε καλά το πρόβλημα. Αν θεωρήσουμε δύο σημεία A,B σε ένα καρτεσιανό επίπεδο με άξονες που (modulo στροφή και μεταφορά) είναι τέτοιοι ώστε A=(0,0) και B=(b,0) τότε αναζητούμε τη συνεχή και παραγωγίσιμη συνάρτηση f που ελαχιστοποιεί την παράσταση:
Η λύση είναι τετριμμένη.
Πάντως, το πρόβλημα μπορεί να γραφτεί και λίγο γενικότερα:
Αν θεωρήσουμε δύο σημεία A,B σε ένα καρτεσιανό επίπεδο με άξονες που (modulo στροφή και μεταφορά) είναι τέτοιοι ώστε A=(0,0) και B=(b,0) τότε αναζητούμε τη συνεχή συνάρτηση f που ελαχιστοποιεί την παράσταση:
όπου
είναι μία διαμέριση του [0,b] - η παραπάνω παράσταση λέγεται κύμανση της f στο [0,b]. Και πάλι, είναι εύκολο να δείξεις ότι η συνάρτηση που θες είναι η σταθερή f=0. Τώρα, μπορείς να το πας ένα κλικ παραπάνω και να αφαιρέσεις την υπόθεση της συνέχειας - στη θέση της πρέπει να υποθέσουμε ότι η συνάρτηση είναι φραγμένης κύμανσης, για να έχει νόημα το πρόβλημα - οπότε θα βρεις ότι όσες συναρτήσεις μας κάνουν τη δουλειά είναι η f=0 και αυτές που είναι σχεδόν παντού ίσες με αυτήν (ως προς το μέτρο Lebesgue).
Το πρόβλημα της εύρεσης της «ελάχιστης διαδρομής» μεταξύ δύο σημείων σε μία «επιφάνεια» - ριμάννεια πολλαπλότητα - και όχι απλά στο επίπεδο έχει άμεσα να κάνει με αυτό που λέμε γεωδαισιακή.
Εχεις δικιο οτι θα μπορουσε να παει μπρος πισω αλλα το θεωρησα προφανες οτι τοτε θα κανει μεγαλυτερη αποσταση και δεν το ανεφερα. Ηδη το ποστ μου ηταν αρκετα μεγαλο. Το θεμα ηταν τι συμβαινει στην μη προφανη περιπτωση. Η διατυπωση πως θα επρεπε να ηταν?
Αρχικά, να τοποθετήσουμε καλά το πρόβλημα. Αν θεωρήσουμε δύο σημεία A,B σε ένα καρτεσιανό επίπεδο με άξονες που (modulo στροφή και μεταφορά) είναι τέτοιοι ώστε A=(0,0) και B=(b,0) τότε αναζητούμε τη συνεχή και παραγωγίσιμη συνάρτηση f που ελαχιστοποιεί την παράσταση:
Η λύση είναι τετριμμένη.
Πάντως, το πρόβλημα μπορεί να γραφτεί και λίγο γενικότερα:
Αν θεωρήσουμε δύο σημεία A,B σε ένα καρτεσιανό επίπεδο με άξονες που (modulo στροφή και μεταφορά) είναι τέτοιοι ώστε A=(0,0) και B=(b,0) τότε αναζητούμε τη συνεχή συνάρτηση f που ελαχιστοποιεί την παράσταση:
όπου
Το πρόβλημα της εύρεσης της «ελάχιστης διαδρομής» μεταξύ δύο σημείων σε μία «επιφάνεια» - ριμάννεια πολλαπλότητα - και όχι απλά στο επίπεδο έχει άμεσα να κάνει με αυτό που λέμε γεωδαισιακή.
Μάρκος Βασίλης
Πολύ δραστήριο μέλος
Ο Βασίλης αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Είναι 28 ετών, Διδακτορικός και μας γράφει απο Καισαριανή (Αττική). Έχει γράψει 1,871 μηνύματα.
03-08-20
23:27
Αυτό που απέδειξες βασικά είναι ότι σε κάθε τρίγωνο το άθροισμα των δύο πλευρών είναι μεγαλύτερο από την τρίτη πλευρά, κάτι που αποτελεί υποπερίπτωση της γενικότερης αρχής που ήθελες να αποδείξεις. Μία προσέγγιση μου θα πρότεινα είναι να θεωρήσεις το γνωστό σύστημα αξόνων χ'χ και y'y. Έστω ότι η ευθεία ταυτίζεται με τον άξονα χ'χ(οπότε παίρνεις στον χ'χ δύο σημεία Α και Β). Θεωρείς επίσης ένα κινούμενο σημείο Σ. Αν αυτό για να μεταβεί από το Α στο Β δεν ακολουθήσει την ευθεία ( τον χ'χ) προφανώς θα μετατοπιστεί και κατακόρυφα. Δηλαδή για κάποιες τουλάχιστον στοιχειώδεις μετατοπίσεις dx θα κάνει και από μία dy οπότε συνολικά θα κάνει την ds = sqrt( dx^2 + dy^2) (πυθαγόρειο) Ισχύει προφανώς ds> dx άρα και η συνολική απόσταση θα είναι μεγαλύτερη από την αντίστοιχη που θα διένυε πάνω στην ευθεία. Επομένως οποιαδήποτε διαδρομή διαφορετική της ευθείας είναι μεγαλύτερη απο αυτήν.
Στα προφανή κρύβονται τα μεγαλύτερα λάθη/παραλείψεις στις αποδείξεις. Προφανώς (pun intended) θα μπορούσε να κάνει απλώς «μπρος-πίσω» το σημείο και να μην μετατοπιστεί κατακόρυφα, οπότε το παραπάνω επιχείρημα δε δουλεύει - αλλά, είναι τετριμμένο να αποδείξουμε ότι αυτό δεν είναι μία από τις ελάχιστες διαδρομές.
Εγώ ανέλυσα την διαδρομή σε στοιχειώδη ευθύγραμμα τμήματα ds βασικά ώστε να πάρω το πυθαγόρειο για κάθε τμήμα. Η ίδια η διαδρομή δεν χρειάζεται να είναι δύο ευθύγραμμα τμήματα. Μπορεί να είναι και καμπύλη. Η βασική ιδέα ίδια είναι.
Ας χρησιμοποιούμε καλύτερα όρους συμβατικής ανάλυσης - ε-δ κ.λπ.. Η διαίσθηση είναι σωστή, αλλά δεν είναι τυπική διατύπωση η παραπάνω.