Μάρκος Βασίλης
Πολύ δραστήριο μέλος
Ο Βασίλης αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Είναι 28 ετών, Διδακτορικός και μας γράφει απο Καισαριανή (Αττική). Έχει γράψει 1,871 μηνύματα.
04-08-20
22:32
Από περιέργεια, αυτά τι επιπέδου μαθηματικά είναι; Είμαι απόφοιτος που έδωσε 2η φορά, και προφανώς δεν καταλαβαίνω παρά μερικές έννοιες. Είναι μαθηματικά που θα τα συναντήσω πχ στους ΗΜΜΥ που θα είμαι;
Σε ένα τμήμα μαθηματικών είναι προπτυχιακού επιπέδου - είχαμε και μάθημα για πολλαπλότητες και μάθημα αλγεβρικής τοπολογίας κ.λπ. - όπως και αρκετά από αυτά θα δεις σε ένα τμήμα φυσικής. Τώρα, σε ό,τι αφορά τα πρώτα, με τα suprema και τα ολοκληρώματα κ.λπ., και ναι και ίσως όχι. Ναι, θα τα δεις ονομαστικά και θα τα χειριστείς λίγο ως έννοιες, αλλά, ανάλογα με το πώς διδάσκεται το μάθημα της ανάλυσης, μπορεί να μην εμβαθύνετε και καθόλου. Για τις συναρτήσεις φραγμένης κύμανσης τώρα, είναι κομβικής σημασίας στον ορισμό του ολοκληρώματος Riemann-Stieltjes το οποίο γενικεύει, κατά μία έννοια, το σύνηθες ολοκλήρωμα Riemann (του λυκείου). Εφαρμογές που ξέρω ότι έχει είναι στη θεωρία πιθανοτήτων και τα οικονομικά, οπότε δεν ξέρω κατά πόσο ασχολείστε με αυτά - ωστόσο, οι συναρτήσεις φραγμένης κύμανσης καθεαυτές είναι μία σημαντική κλάση συναρτήσεων που δεν τη συναντάς μόνο στα ολοκληρώματα Riemann-Stieltjes.
Μάρκος Βασίλης
Πολύ δραστήριο μέλος
Ο Βασίλης αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Είναι 28 ετών, Διδακτορικός και μας γράφει απο Καισαριανή (Αττική). Έχει γράψει 1,871 μηνύματα.
04-08-20
00:38
@eukleidhs1821 Την ίδια ιδέα έχετε, απλά εσύ υποθέτεις ότι η διαδρομή είναι, ουσιαστικά, τεθλασμένη γραμμή, ενώ μπορεί να μην είναι.
Αρχικά, να τοποθετήσουμε καλά το πρόβλημα. Αν θεωρήσουμε δύο σημεία A,B σε ένα καρτεσιανό επίπεδο με άξονες που (modulo στροφή και μεταφορά) είναι τέτοιοι ώστε A=(0,0) και B=(b,0) τότε αναζητούμε τη συνεχή και παραγωγίσιμη συνάρτηση f που ελαχιστοποιεί την παράσταση:
Η λύση είναι τετριμμένη.
Πάντως, το πρόβλημα μπορεί να γραφτεί και λίγο γενικότερα:
Αν θεωρήσουμε δύο σημεία A,B σε ένα καρτεσιανό επίπεδο με άξονες που (modulo στροφή και μεταφορά) είναι τέτοιοι ώστε A=(0,0) και B=(b,0) τότε αναζητούμε τη συνεχή συνάρτηση f που ελαχιστοποιεί την παράσταση:
όπου
είναι μία διαμέριση του [0,b] - η παραπάνω παράσταση λέγεται κύμανση της f στο [0,b]. Και πάλι, είναι εύκολο να δείξεις ότι η συνάρτηση που θες είναι η σταθερή f=0. Τώρα, μπορείς να το πας ένα κλικ παραπάνω και να αφαιρέσεις την υπόθεση της συνέχειας - στη θέση της πρέπει να υποθέσουμε ότι η συνάρτηση είναι φραγμένης κύμανσης, για να έχει νόημα το πρόβλημα - οπότε θα βρεις ότι όσες συναρτήσεις μας κάνουν τη δουλειά είναι η f=0 και αυτές που είναι σχεδόν παντού ίσες με αυτήν (ως προς το μέτρο Lebesgue).
Το πρόβλημα της εύρεσης της «ελάχιστης διαδρομής» μεταξύ δύο σημείων σε μία «επιφάνεια» - ριμάννεια πολλαπλότητα - και όχι απλά στο επίπεδο έχει άμεσα να κάνει με αυτό που λέμε γεωδαισιακή.
Εχεις δικιο οτι θα μπορουσε να παει μπρος πισω αλλα το θεωρησα προφανες οτι τοτε θα κανει μεγαλυτερη αποσταση και δεν το ανεφερα. Ηδη το ποστ μου ηταν αρκετα μεγαλο. Το θεμα ηταν τι συμβαινει στην μη προφανη περιπτωση. Η διατυπωση πως θα επρεπε να ηταν?
Αρχικά, να τοποθετήσουμε καλά το πρόβλημα. Αν θεωρήσουμε δύο σημεία A,B σε ένα καρτεσιανό επίπεδο με άξονες που (modulo στροφή και μεταφορά) είναι τέτοιοι ώστε A=(0,0) και B=(b,0) τότε αναζητούμε τη συνεχή και παραγωγίσιμη συνάρτηση f που ελαχιστοποιεί την παράσταση:
Η λύση είναι τετριμμένη.
Πάντως, το πρόβλημα μπορεί να γραφτεί και λίγο γενικότερα:
Αν θεωρήσουμε δύο σημεία A,B σε ένα καρτεσιανό επίπεδο με άξονες που (modulo στροφή και μεταφορά) είναι τέτοιοι ώστε A=(0,0) και B=(b,0) τότε αναζητούμε τη συνεχή συνάρτηση f που ελαχιστοποιεί την παράσταση:
όπου
Το πρόβλημα της εύρεσης της «ελάχιστης διαδρομής» μεταξύ δύο σημείων σε μία «επιφάνεια» - ριμάννεια πολλαπλότητα - και όχι απλά στο επίπεδο έχει άμεσα να κάνει με αυτό που λέμε γεωδαισιακή.
Μάρκος Βασίλης
Πολύ δραστήριο μέλος
Ο Βασίλης αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Είναι 28 ετών, Διδακτορικός και μας γράφει απο Καισαριανή (Αττική). Έχει γράψει 1,871 μηνύματα.
03-08-20
23:27
Αυτό που απέδειξες βασικά είναι ότι σε κάθε τρίγωνο το άθροισμα των δύο πλευρών είναι μεγαλύτερο από την τρίτη πλευρά, κάτι που αποτελεί υποπερίπτωση της γενικότερης αρχής που ήθελες να αποδείξεις. Μία προσέγγιση μου θα πρότεινα είναι να θεωρήσεις το γνωστό σύστημα αξόνων χ'χ και y'y. Έστω ότι η ευθεία ταυτίζεται με τον άξονα χ'χ(οπότε παίρνεις στον χ'χ δύο σημεία Α και Β). Θεωρείς επίσης ένα κινούμενο σημείο Σ. Αν αυτό για να μεταβεί από το Α στο Β δεν ακολουθήσει την ευθεία ( τον χ'χ) προφανώς θα μετατοπιστεί και κατακόρυφα. Δηλαδή για κάποιες τουλάχιστον στοιχειώδεις μετατοπίσεις dx θα κάνει και από μία dy οπότε συνολικά θα κάνει την ds = sqrt( dx^2 + dy^2) (πυθαγόρειο) Ισχύει προφανώς ds> dx άρα και η συνολική απόσταση θα είναι μεγαλύτερη από την αντίστοιχη που θα διένυε πάνω στην ευθεία. Επομένως οποιαδήποτε διαδρομή διαφορετική της ευθείας είναι μεγαλύτερη απο αυτήν.
Στα προφανή κρύβονται τα μεγαλύτερα λάθη/παραλείψεις στις αποδείξεις. Προφανώς (pun intended) θα μπορούσε να κάνει απλώς «μπρος-πίσω» το σημείο και να μην μετατοπιστεί κατακόρυφα, οπότε το παραπάνω επιχείρημα δε δουλεύει - αλλά, είναι τετριμμένο να αποδείξουμε ότι αυτό δεν είναι μία από τις ελάχιστες διαδρομές.
Εγώ ανέλυσα την διαδρομή σε στοιχειώδη ευθύγραμμα τμήματα ds βασικά ώστε να πάρω το πυθαγόρειο για κάθε τμήμα. Η ίδια η διαδρομή δεν χρειάζεται να είναι δύο ευθύγραμμα τμήματα. Μπορεί να είναι και καμπύλη. Η βασική ιδέα ίδια είναι.
Ας χρησιμοποιούμε καλύτερα όρους συμβατικής ανάλυσης - ε-δ κ.λπ.. Η διαίσθηση είναι σωστή, αλλά δεν είναι τυπική διατύπωση η παραπάνω.