Μάρκος Βασίλης
Πολύ δραστήριο μέλος
Ο Βασίλης αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Είναι 28 ετών, Διδακτορικός και μας γράφει απο Καισαριανή (Αττική). Έχει γράψει 1,871 μηνύματα.
04-08-20
22:32
Από περιέργεια, αυτά τι επιπέδου μαθηματικά είναι; Είμαι απόφοιτος που έδωσε 2η φορά, και προφανώς δεν καταλαβαίνω παρά μερικές έννοιες. Είναι μαθηματικά που θα τα συναντήσω πχ στους ΗΜΜΥ που θα είμαι;
Σε ένα τμήμα μαθηματικών είναι προπτυχιακού επιπέδου - είχαμε και μάθημα για πολλαπλότητες και μάθημα αλγεβρικής τοπολογίας κ.λπ. - όπως και αρκετά από αυτά θα δεις σε ένα τμήμα φυσικής. Τώρα, σε ό,τι αφορά τα πρώτα, με τα suprema και τα ολοκληρώματα κ.λπ., και ναι και ίσως όχι. Ναι, θα τα δεις ονομαστικά και θα τα χειριστείς λίγο ως έννοιες, αλλά, ανάλογα με το πώς διδάσκεται το μάθημα της ανάλυσης, μπορεί να μην εμβαθύνετε και καθόλου. Για τις συναρτήσεις φραγμένης κύμανσης τώρα, είναι κομβικής σημασίας στον ορισμό του ολοκληρώματος Riemann-Stieltjes το οποίο γενικεύει, κατά μία έννοια, το σύνηθες ολοκλήρωμα Riemann (του λυκείου). Εφαρμογές που ξέρω ότι έχει είναι στη θεωρία πιθανοτήτων και τα οικονομικά, οπότε δεν ξέρω κατά πόσο ασχολείστε με αυτά - ωστόσο, οι συναρτήσεις φραγμένης κύμανσης καθεαυτές είναι μία σημαντική κλάση συναρτήσεων που δεν τη συναντάς μόνο στα ολοκληρώματα Riemann-Stieltjes.
Μάρκος Βασίλης
Πολύ δραστήριο μέλος
Ο Βασίλης αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Είναι 28 ετών, Διδακτορικός και μας γράφει απο Καισαριανή (Αττική). Έχει γράψει 1,871 μηνύματα.
04-08-20
13:38
Ο πρώτος τρόπος που προτείνεις με τον τύπο για τον υπολογισμό του μήκους καμπύλης δεν νομίζω να επαρκεί αφού αφορά μόνο σε παραγωγίσιμες συναρτήσεις (αποκλείει πχ την τεθλασμένη γραμμή εκτος κιαν σπάσεις το ολοκλήρωμα σε δύο, αρα και την καμπύλη στα δύο). Επισης χρειάζεται απο μόνος του απόδειξη για την οποία δε γλιτώνεις τη διαδικασία που ακολούθησα έτσι κιαλλιώς ( σπας την καμπύλη σε τμήματα dl και παίρνεις πυθαγόρειο) . Σχετικά με τον δεύτερο πιο γενικό τρόπο, η κύμανση πώς προκύπτει ότι πρέπει να είναι ελάχιστη για να ειναι η διαδρομή ελάχιστη? Τέλος στο ένα κλικ παραπάνω σε έχασα τελείως, προφανώς (αγαπημένη λέξη) επειδή δεν είμαι εξοικειωμένος με τις έννοιες που χρησιμοποιείς( μέτρο lebesgue ,φραγμένη κύμανση, sup υποθέτω συμβολίζει τον διαμερισμό?). Ριμάννια πολλαπλότητα είναι μια μη επίπεδη επιφάνεια? Αυτό που είναι σίγουρο είναι πως το post δεν έπρεπε να ανέβει σε forum γυμνασίου xD
Ο τύπος αποτελεί τον ορισμό του μήκους τμήματος παραγωγίσιμης συνάρτησης (με ολοκληρώσιμη παράγωγο) και αυτό που αναφέρεις είναι η διαίσθηση πίσω από τον τύπο. Ωστόσο, δε χρειάζεται απόδειξη και η δικαιολόγηση δε γίνεται με «στοιχειώδη» μήκη, πλέον, αλλά με τον ορισμό του ολοκληρώματος (Riemann, στην προκειμένη). Τώρα, το ότι η f είναι παραγωγίσιμη δεν είναι θέμα, αφού μπορούμε να υποθέσουμε για παράδειγμα ότι είναι κατά τμήματα παραγωγίσιμη (με ολοκληρώσιμη παράγωγο) οπότε να πιάσουμε και τις τεθλασμένες γραμμές.
Για τη «γενίκευση», αν πάρεις τον ορισμό του ολοκληρώματος για το μήκος μίας καμπύλης - χωρίς να υποθέσεις κάτι για την παραγωγισιμότητα της f - τότε θα δεις ότι αυτό που εμφανίζεται είναι ουσιαστική η κύμανση της f, οπότε είναι φυσιολογικό να θεωρήσουμε ότι αυτή εκφράζει κάτι σχετικό με το μήκος της γραφικής της παράστασης, όταν αυτό έχει νόημα.
Τώρα, οι πολλαπλότητες, γενικά, είναι (τοπλογικοί) χώροι που τοπικά «μοιάζουν» ευκλείδειοι - σε ό,τι έχει να κάνει με την τοπολογία τους (και σε έναν βαθμό, με τη γεωμετρία τους). Δεν είναι απλά μία επίπεδη επιφάνεια, αλλά κάτι αρκετά γενικότερο - όπως και η γεωδαισιακή, που είναι, επί της ουσίας, η τροχιά ενός κινητού που κινείται με σταθερή (διανυσματική) ταχύτητα πάνω σε μία «επιφάνεια».
Μάρκος Βασίλης
Πολύ δραστήριο μέλος
Ο Βασίλης αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Είναι 28 ετών, Διδακτορικός και μας γράφει απο Καισαριανή (Αττική). Έχει γράψει 1,871 μηνύματα.
03-08-20
23:27
Αυτό που απέδειξες βασικά είναι ότι σε κάθε τρίγωνο το άθροισμα των δύο πλευρών είναι μεγαλύτερο από την τρίτη πλευρά, κάτι που αποτελεί υποπερίπτωση της γενικότερης αρχής που ήθελες να αποδείξεις. Μία προσέγγιση μου θα πρότεινα είναι να θεωρήσεις το γνωστό σύστημα αξόνων χ'χ και y'y. Έστω ότι η ευθεία ταυτίζεται με τον άξονα χ'χ(οπότε παίρνεις στον χ'χ δύο σημεία Α και Β). Θεωρείς επίσης ένα κινούμενο σημείο Σ. Αν αυτό για να μεταβεί από το Α στο Β δεν ακολουθήσει την ευθεία ( τον χ'χ) προφανώς θα μετατοπιστεί και κατακόρυφα. Δηλαδή για κάποιες τουλάχιστον στοιχειώδεις μετατοπίσεις dx θα κάνει και από μία dy οπότε συνολικά θα κάνει την ds = sqrt( dx^2 + dy^2) (πυθαγόρειο) Ισχύει προφανώς ds> dx άρα και η συνολική απόσταση θα είναι μεγαλύτερη από την αντίστοιχη που θα διένυε πάνω στην ευθεία. Επομένως οποιαδήποτε διαδρομή διαφορετική της ευθείας είναι μεγαλύτερη απο αυτήν.
Στα προφανή κρύβονται τα μεγαλύτερα λάθη/παραλείψεις στις αποδείξεις. Προφανώς (pun intended) θα μπορούσε να κάνει απλώς «μπρος-πίσω» το σημείο και να μην μετατοπιστεί κατακόρυφα, οπότε το παραπάνω επιχείρημα δε δουλεύει - αλλά, είναι τετριμμένο να αποδείξουμε ότι αυτό δεν είναι μία από τις ελάχιστες διαδρομές.
Εγώ ανέλυσα την διαδρομή σε στοιχειώδη ευθύγραμμα τμήματα ds βασικά ώστε να πάρω το πυθαγόρειο για κάθε τμήμα. Η ίδια η διαδρομή δεν χρειάζεται να είναι δύο ευθύγραμμα τμήματα. Μπορεί να είναι και καμπύλη. Η βασική ιδέα ίδια είναι.
Ας χρησιμοποιούμε καλύτερα όρους συμβατικής ανάλυσης - ε-δ κ.λπ.. Η διαίσθηση είναι σωστή, αλλά δεν είναι τυπική διατύπωση η παραπάνω.