eukleidhs1821
Διάσημο μέλος
Ο eukleidhs1821 αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Είναι Πτυχιούχος του τμήματος Ιατρικής Ιωαννίνων (Ιωάννινα) και μας γράφει απο Καινούργιο (Ηράκλειο). Έχει γράψει 3,706 μηνύματα.
20-04-20
14:12
Δεν καταλαβα τιποτα αλλα οκ για να τα λες δικιο θα χειςΓια να βάλεις το μέτρο στο τετράγωνο θέλεις να είναι, αρχικά, οι συνιστώσες πραγματικές, διότι αν ήταν π.χ. μιγαδικές δε θα μπορούσες να παραγωγίσεις - η μιγαδική απόλυτη τιμή δεν είναι ολόμορφη και παραγωγίζεται μόνον στο 0.
Κοίτα, η πρώτη λύση είναι απλά by the book, δεν είναι «κοινής λογικής». Οι ωραίες λύσεις στα μαθηματικά είναι οι διαισθητικές - άλλωστε, έτσι γεννιούνται και οι ιδέες.
Νομίζω ότι, μάλλον, δεν ήμουν αρκετά σαφής, οπότε ας εξηγήσω καλύτερα τη διαίσθηση.
Ο κύκλος δεν είναι η r(t), είναι ο γεωμετρικός τόπος που ορίζεται από το πέρας του διανύσματος θέσεως που ορίζει η r(t). Ας το εξηγήσω λίγο πιο αναλυτικά. Θεωρούμε τον (Ευκλείδειο) χώρο Hilbertμε το σύνηθες εσωτερικό γινόμενο - αφού μιλάμε και για γωνίες κ.λπ.. Σε αυτόν τον χώρο ορίζουμε τα σύνολα:
ως τις σφαίρες κέντρουκαι ακτίνας r. Θεωρούμε γνωστό - δεν πρόκειται να το αποδείξουμε εδώ - ότι το εφαπτόμενο επίπεδο μιας σφαίρας S σε ένα σημείο της a είναι το σύνολο:
δηλαδή, το υπερεπίπεδο τουπου έχει ως κάθετο διάνυσμα τοκαι διέρχεται από το a ή, σε όρους γραμμικής άλγεβρας ο κάθετος υπόχωρος του- με διάσταση n-1 μετατοπισμένος κατά a.
Τώρα, αν θεωρήσουμε τη συνάρτησημε, τότε παρατηρούμε ότι, για κάθε t ισχύει ότι:
(με 0 εννοείται εδώ το μηδενικό διάνυσμα, αλλά συνάγεται από το συγκείμενο αυτό, οπότε δε βάζουμε βελάκια).
Τώρα, από τα προηγούμενα έχουμε ότι για ένα σταθερό t:
άρα η παράγωγος της x σε κάθε σημείο μας δίνει την κλίση του εφαπτόμενου επιπέδου - μετατοπισμένη κατά το x(t), αλλά αυτό δεν έχει σημασία, αφού τα x'(t) και x'(t)+x(t) είναι παράλληλα μεταξύ τους - διαφέρουν κατά σταθερό διάνυσμα.
Με άλλα λόγια, το εφαπτόμενο επίπεδο σε ένα σημείο είναι κάθετο στην διανυσματική ακτίνα του σημείου και έχει κλίση που δίνεται από την παράγωγο της διανυσματικής ακτίνας.
Η παραπάνω διαίσθηση γενικεύει σε έναν βαθμό τη συνήθη εικόνα που έχουμε από τη γεωμετρία του κύκλο στο παραδοσιακό Ευκλείδειο επίπεδο.
Σχόλιο 1: Ο κύκλος δεν είναι συνάρτηση, αν μείνεις στη συνήθη εικόνα του λυκείου. Πράγματι, δεν υπάρχει συνάρτηση με πεδίο ορισμού το R η οποία να έχει γραφική παράσταση κύκλο. Ωστόσο αυτό είναι άσχετο με το θέμα μας. Δεν είπαμε κάπου ότι η γραφική παράσταση της r είναι κύκλος - ή σφαίρα, με την ευρεία έννοια - αλλά ότι τα σημεία που ορίζει η r ζουν πάνω στη σφαίρα.
Σχόλιο 2: Η έκφραση «Να δείξετε οτι αν ενα διανυσμα εχει σταθερο μετρο η παραγωγος του διανυσματος ειναι καθετη στο διανυσμα αυτο!!» είναι εσφαλμένη, δεδομένου ότι το διάνυσμα που δίνεται είναι, εν γένει, συνάρτηση. Ορθότερα, το r(t) και το r'(t) είναι κάθετα κατά σημείο δηλαδή για κάθε t ισχύει ότι τα r(t) και r'(t) είναι κάθετα μεταξύ τους. Ωστόσο, αυτό δε σημαίνει ότι οι συναρτήσεις r(t) και r'(t) είναι κάθετες καθώς το εσωτερικό γινόμενο ορίζεται στονκαι όχι, ας πούμε, στον, οπότε και τα αντικείμενά μας θα ήταν οι συναρτήσεις καθεαυτές. Θα είχε νόημα αυτή η έκφραση αν είχαμε πάρει ως εσωτερικό γινόμενο το:
για κατάλληλα ορισμένες συναρτήσεις - συνεχείς, ας πούμε, αν το ολοκλήρωμα είναι Riemann.
eukleidhs1821
Διάσημο μέλος
Ο eukleidhs1821 αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Είναι Πτυχιούχος του τμήματος Ιατρικής Ιωαννίνων (Ιωάννινα) και μας γράφει απο Καινούργιο (Ηράκλειο). Έχει γράψει 3,706 μηνύματα.
19-04-20
21:12
μην κουραζεις το μυαλο σου με δυσκολες εννοιες.Στον ΙR^n ζουνε αλλα δεν σου χρειαζεται σαν εννοια καν.Παραγωγος ειναι dr(t)/dt ή r'(t) με βελακι διανυσμα πανω.Καθετοτητα τι με ποια εννοια?Eσωτερικο γινομενο οπως το ξες.Μην το κουραζεις σου ξαναλεω μιλαω μονο του τι πρεπει να κανειςΛίγο ασαφώς διατυπωμένη, πάντως:
- Τι διανύσματα - σε ποιον χώρο ζουν;
- Παράγωγος με ποια έννοια;
- Καθετότητα με ποια έννοια - τι έχουμε ορίσει ως εσωτερικό γινόμενο;
eukleidhs1821
Διάσημο μέλος
Ο eukleidhs1821 αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Είναι Πτυχιούχος του τμήματος Ιατρικής Ιωαννίνων (Ιωάννινα) και μας γράφει απο Καινούργιο (Ηράκλειο). Έχει γράψει 3,706 μηνύματα.
19-04-20
18:30
Να δείξετε οτι αν ενα διανυσμα εχει σταθερο μετρο η παραγωγος του διανυσματος ειναι καθετη στο διανυσμα αυτο!!