Άλλα μηνύματα του μέλους kvstas92 σε αυτό το thread

Αρχική Δημοσίευση από Λένω:

Να φανταστώ ότι αυτό ήταν εσκεμμένο!

Click για ανάπτυξη...

Αρχική Δημοσίευση από Μάρκος Βασίλης:

Η σχέση είναι αυτή, αν την είδα καλά:

Αντικαθιστώντας το 0 - κλασικό αυτό σε τέτοιες ασκήσεις - παίρνουμε αμέσως ότι f(0)=0.

Θεωρούμε για αρχή τη συνάρτηση:

οπότε αρκεί να δείξουμε ότι η g είναι μηδενική. Αρχικά, ας παρατηρήσουμε ότι g(0)=0 και:

Επίσης, g'(0)=0 (εύκολο αυτό, απλά παραγωγίζουμε).

Οπότε η δοσμένη σχέση ξαναγράφεται ως εξής:

Πού, άμα κάνουμε τις πράξεις, δίνει:

(1)

Τώρα, αν x>0, διαιρώντας με x παίρνουμε:

οπότε, παίρνοντας και ένα όριο καθώς το χ «πέφτει» προς το 0 έχουμε:

αφού:

Αν τώρα x<0 τότε διαιρούμε και πάλι με x, απλώς θα αλλάξει η φορά, οπότε παίρνουμε:

και, για τους ίδιους λόγους παίρνοντας όριο καθώς το x «ανεβαίνει» προς το 0:

Οπότε παίρνομε τις σχέσεις:

Λύνουμε το σύστημα και βρίσκουμε:

Οπότε, αντικαθιστώντας στην (1) παίρνουμε:

που ήταν και το ζητούμενο.

Μερικές οδηγίες για αυτές τις ασκήσεις είναι:

1. Δεν πανικοβαλόμαστε.
2. Όταν σου δίνει και κάποιες τιμές της συνάρτησης, δοκίμασε να τις αξιοποιήσεις κάπως. Αν είναι τιμές της ίδιας της συνάρτησης, αντικατάστησε τα νούμερα να δεις τι βγάζει. Αν είναι, όπως εδώ, για κάποια παράγωγο, τότε δες την επόμενη συμβουλή (χεχεχε).
3. Σου λέει κάτι για την παράγωγο και σου δίνει και μία ανισότητα. Σιγά τα αυγά, αφού δεν έχει νόημα να παραγωγίσουμε μία ανισότητα. Οπότε, εδώ έρχεται λίγο μία πιο ουσιαστική σκέψη στο παιχνίδι. Τι είναι η παράγωγος; Μα, το όριο του λόγου μεταβολής. Όριο, λοιπόν, σου δίνει σαν υπόθεση. Και σου δίνει και ανισότητα. Χμμμ... Μπορείς να πάρεις όριο σε ανισότητα χωρίς να «χαλάσει». Άρα, κάπως πρέπει να εμφανίσεις τον λόγο μεταβολής μέσα στην ανισότητα.
4. Εδώ κάναμε και ένα άλλο κόλπο. Σου έλεγε, δείξε ότι f(x)=ημx. Ωραία, αλλά αυτό δε σημαίνει ότι δεν μπορείς να παίξεις με το ζητούμενο. Σύνηθες τρυκ είναι αυτό που είδες, μιας και το να δείξεις ότι μία συνάρτηση είναι 0 είναι, συνήθως, λίγο πιο απλό στο μάτι.
5. Γενικά, σχεδόν ποτέ μία δύσκολη άσκηση δε βγαίνει με το να ξεκινήσουμε από τα δεδομένα μας και, ντουγρού, να πάμε στα ζητούμενα με συμπεράσματα που θα βγάζουμε το ένα πίσω από το άλλο (forward chaining, που λέμε). Το σύνηθες εδώ είναι να δουλεύουμε με τη μέθοδο του «αρκεί». Ξεκινάς από το ζητούμενο και βρίσκεις είτε άλλες διατυπώσεις του (όπως κάναμε εδώ) είτε πράγματα που αν ισχύουν, δίνουν μαζί με άλλα συμπεράσματα ενδεχομένως, και το ζητούμενο.
6. Keep it simple! Μαθηματικά κάνουμε, δεν κάνουμε πυρηνική φυσική (αυτό πάει και σε άλλο thread... :Ρ). Τι κάναμε παραπάνω στην ουσία; Είδαμε στις υποθέσεις μία παράγωγο σε ένα σημείο, πήραμε τον ορισμό της παραγώγου. Είδαμε το
   
   σε ένα άλλο σημείο, το διαιρέσαμε με x και πήραμε ορισμό της παραγώγου. Είδαμε ανισότητα, βρήκαμε κάποια όρια. Απλά πράγματα. Μην πηγαίνει ο νους σου στα περίπλοκα πρώτα - την κάνουν συχνά αυτή τη ζημιά τα φροντιστήρια/ιδιαίτερα, ομολογουμένως. Με τις 4-5 απλές ιδέες θα συνθέσεις το σύνθετο αποτέλεσμα στο τέλος.

Click για ανάπτυξη...

Αρχική Δημοσίευση από eukleidhs1821:

Eκπληκτικη ασκηση οτι πρεπει για δ θεμα.Μικροτερο ισο και τιμες θεωρημα φερματ!!Θες 2 θεωρηματα φερματ πως ομως.Πας το f(x) στο αλλο μελος και στις 2 ανισωσεις και θεωρεις 2 συναρτησεις.Απο κει και περα πρεπει να αποδειξεις με κριτηριο παρεμβολης οτι το οριο της f στο μηδεν ειναι μηδεν.Αρα οι δυο συναρτησεις εχουν τοπικο ακροτατο στο μηδεν.Δημιουργειται ενα συστημα που υπολογισεις τα φ(π) και φ(π/2).Γυρνας στην πανω σχεση απο τη μια βγαζεις φ(χ)>=ημχ και απο την αλλή βγαζεις φ(χ)<=ημχ+αλλη μια παραταση που αποδεικνυεται θεωρωντας επιπλεον συναρτηση και μελετωντας ως προς μονοτονια οτι ειναι αρνητικο.αρα βγαζεις φ(χ)<=ημχ το οποιο σε συναρτηση με το φ(χ)>=ημχ που εχεις συναληθευει στο φ(χ)=ημχ

Click για ανάπτυξη...

Αρχική Δημοσίευση από Samael:

Το πρόβλημα είναι οτι δέχεσαι αυτό που θες να αποδείξεις κατά κάποιον τρόπο εδώ .
Γι'αυτό μεν η προσέγγιση σου είναι καλή,διότι διαισθητικά ξέρεις τι πρέπει να δείξεις,ωστόσο για να είσαι απο άποψη μαθηματικών σωστός, οφείλεις να αποδείξεις αυτή την υποψία κάνοντας αντικειμενικές υποθέσεις που ξέρεις ή μπορείς να δείξεις οτι ισχύουν . Σε αυτή την περίπτωση μπορεί να μην φαίνεται τόσο σπουδαίο γιατί σου είναι προφανές το τι πρέπει να κάνεις , αλλά σε μεγαλύτερα προβλήματα μπορείς να μπλέξεις άσχημα, καθώς εκεί η διαίσθηση βοηθάει όλο και λιγότερο .

Click για ανάπτυξη...

Αρχική Δημοσίευση από Samael:

Δεν βλέπω πως αιτιολογείς την απαίτηση f(ω) = 0.
@Μάρκος Βασίλης εσένα πως σου φαίνεται ;

Παρακάτω παραθέτω μια ακόμα προσέγγιση :

f(f(x)) + f³(x) = 2x+8

Θέτω όπου x το f-1(x) στην παραπάνω σχέση και έχω :

f(f(f-1(x) ) ) + f³(f-1(x) ) = 2f-1(x) +8
f(x) + f³(f-1(x) ) = 2f-1(x) + 8
f(x) + [f(f-1(x) )]³ = 2f-1(x) + 8
f(x) + x³ = 2f-1(x) + 8

Για x=2 στην παραπάνω :

f(2) + 8 = 2f-1(2) + 8
f(2) - 2f-1(2) = 0

Σύμφωνα με την παραπάνω και την δεύτερη δοθείσα σχέση :

f(g(x)-x) - f(lnx+1) = 2f-1(2) - f(2) = 0
f(g(x) - x) = f(lnx+1) <=> f: 1-1
g(x) - x = lnx+1
g(x) = x+lnx+1 , x>0

Click για ανάπτυξη...