Άλλα μηνύματα του μέλους Έρεβος σε αυτό το thread

Έρεβος · 10-05-17

Όπως ειπώθηκε και παραπάνω, το σύμβολο της συνεπαγωγής $(\Rightarrow)$ σημαίνει στην ουσία ΑΝ ισχύει ό,τι είναι αριστερά του ΤΟΤΕ ΥΠΟΧΡΕΩΤΙΚΑ θα ισχύει και ό,τι είναι δεξιά του. Στην περίπτωση που ισχύει και η αντίστροφη πορεία της συνεπαγωγής και μόνο τότε χρησιμοποιείται το σύμβολο της ισοδυναμίας $(\Leftrightarrow )$ , το οποίο στην ουσία σημαίνει ότι η πρόταση δεξιά του συμβόλου ισχύει ΑΝ ΚΑΙ ΜΟΝΟ ΑΝ ισχύει η πρόταση αριστερά του συμβόλου (ικανή και αναγκαία συνθήκη).

Η αλήθεια είναι ότι όποιος θέλει να γράφει σωστά μαθηματικά πρέπει να είναι πολύ προσεκτικός με αυτά τα σύμβολα. Για παράδειγμα θα ήταν μεγάλο λάθος να γράψει κάποιος $x>2 \Leftrightarrow x>0$ και αυτό γιατί δεν ισχύει απαραίτητα ότι αν $x>0$ τότε υποχρεωτικά $x>2$ . Ωστόσο δεν υπάρχει λογικό σφάλμα με το να γράψει ότι $3x+9=0 \Rightarrow x=-3$ έστω και αν είναι ισοδύναμες εκφράσεις.
Είναι προφανές, λοιπόν, ότι η ισοδυναμία είναι πιο απαιτητική από την απλή συνεπαγωγή.

Κάπου εδώ μπαίνει και ο σκοπός των όσων γράφουμε. Αν κάποιος ζητάει να βρεθούν οι ρίζες της εξίσωσης $2x^3+5x=0, χ\in \mathbb{C}$ , ή η τιμή της συνάρτησης $f(x)=sin(\pi \sqrt{2}\cos(x))$ στο $x=\pi/4$ εμείς δεν είμαστε υποχρεωμένοι να του πούμε ποιες από τις εκφράσεις που θα γράψουμε είναι ισοδύναμες μεταξύ τους. Δεν χρειάζεται να «γυρίζει προς τα πίσω» η διαδικασία όπως λέμε απλοϊκά. Αρκεί να είναι σωστά τα προς τα εμπρός βήματα.

Από την άλλη μεριά, όταν χρησιμοποιούμε ή αποδεικνύουμε προτάσεις και θεωρήματα, τις περισσότερες φορές είναι ζήτημα ορθότητας η έννοια της ισοδυναμίας και της συνεπαγωγής. Για παράδειγμα, στο θεώρημα του Bolzano, ο άνθρωπος είπε ξεκάθαρα ότι ΑΝ οι τιμές μιας συνεχούς συνάρτησης στα άκρα ενός διαστήματος είναι ετερόσημες και μη μηδενικές ΤΟΤΕ ΥΠΟΧΡΕΩΤΙΚΑ η συνάρτηση αυτή έχει τουλάχιστον μία ρίζα στο διάστημα αυτό. Αν κάποιος βάλει ισοδυναμία εκεί είναι σαν λαμβάνει υπόψη του λάθος θεώρημα!

Η δική μου συμβουλή είναι αντί να γράφει κανείς, σύμβολα που δεν είναι βέβαιος αν είναι σωστά, να γράφει με λέξεις αυτό που θέλει να πει. Είναι ίσως το πλέον αποδεκτό από τους καθηγητές-διορθωτές. Μάλιστα, κατά τη γνώμη μου, βελτιώνει αρκετά και την εικόνα του γραπτού.

Δηλαδή για μια συνεπαγωγή ή ισοδυναμία μπορούμε να γράψουμε τη λέξη "έπεται" ή "επομένως", ενώ για πιο πολλές εκφράσεις μπορεί να χρησιμοποιηθεί στην αρχή η φράση "Έχουμε διαδοχικά:" και να γράψουμε τις εκφράσεις τη μία κάτω από την άλλη χωρίς σύμβολα συνεπαγωγής ή ισοδυναμίας. (Το διαζευκτικό "ή" δεν το προτείνω γιατί προσωπικά μου θυμίζει υπερβολικά την λογική διάζευξη (ή το Α ή το Β, ή και τα δύο), αλλά δεν παύει να είναι κι αυτό μια εν γένει αποδεκτή επιλογή.)

Δείγμα γραφής:
(1) $x+2=5$ έπεται $x=3$ .

(2) Έχουμε διαδοχικά:
$x+2x+3x=6$
$6x=6$
$x=1$

(3) Είναι $f$ συνεχής στο $\mathbb{R}$ , $f(0)=1$ και $f(2)=-5$ . Επομένως από θεώρημα Bolzano υπάρχει τουλάχιστον μία ρίζα στο διάστημα $(0,2)$ .

Τέλος θέλω να τονίσω ότι αυτά είναι λεπτομέρειες. Ίσως είναι το τελευταίο που πρέπει να σας αγχώνει/προβληματίζει ως μαθητές. Αν έχετε γράψει τις λύσεις κομψά θα είναι ακραίο να σας κόψουν έστω και 1% για αυτό το λόγο.

Sorry for the long post.

Έρεβος · 03-10-16

Δεν είναι δύσκολο!

Αρχικά αντικαθιστούμε την f(x) στο όριο με τον τύπο της.
$\lim_{x\rightarrow 0^{+}} \frac{1}{f(x)-1}=\lim_{x\rightarrow 0^{+}} \frac{1}{\frac{e^x-1}{ln(x)}+1-1}=\lim_{x\rightarrow 0^{+}} \frac{ln(x)}{e^x-1}=\lim_{x\rightarrow 0^{+}} \frac{1}{e^x-1}ln(x)$

Παρατηρούμε ότι:
$\lim_{x\rightarrow 0^{+}}\frac{1}{e^x-1}=+\infty$
και
$\lim_{x\rightarrow 0^{+}}ln(x)=-\infty$
Σημείωση: Για το πρώτο όριο ισχύει ότι
$x>0 \Rightarrow e^x>1\Rightarrow e^x-1>0 \Rightarrow \frac{1}{e^x-1}>0$
και για αυτόν το λόγο το όριο ισούτε με +άπειρο.

Αφού λοιπόν τα επιμέρους όρια υπάρχουν, θα υπάρχει και το γινόμενό τους, δηλαδή:
$\lim_{x\rightarrow 0^{+}} \frac{1}{e^x-1}ln(x)=+\infty \cdot (-\infty)=-\infty$

Έρεβος · 14-02-16

Αρχική Δημοσίευση από ultraviolence:
Έστω f: R -> R, 2 φορες παραγωγισιμη και κυρτη. Αν για κάθε χ ανήκει στο R ισχύει f (x) = f (2-χ) να βρείτε τα διαστήματα μονοτονιας και τα ακρότητα.Εύκολη μου φαίνεται αλλά κολλάω,any help?
Άκυρο το βρήκα.

Για λόγους πληρότητας, γράφω μια λύση!

Αφού η $f$ είναι κυρτή στο $\mathbb{R}$ , εξ ορισμού η $f'$ θα είναι γνησίως αύξουσα στο $\mathbb{R}$ .
Ισχύει:
$f(x)=f(2-x) \forall x \in \mathbb{R} \Rightarrow f'(x)=-f'(2-x) \forall x \in \mathbb{R}$
Παρατηρούμε ότι για $x=1$ έχουμε:
$f'(1)=-f'(2-1)=-f'(1) \Rightarrow 2f'(1)=0 \Rightarrow f'(1)=0$
Δηλαδή η $f'$ έχει τουλάχιστον μία ρίζα την $x=1$ .
Η $f'$ είναι γνησίως αύξουσα, άρα και "1-1". Επομένως η ρίζα της $f'$ είναι μοναδική.

Αν $x<1$ τότε $f'(x)<f'(1) \Rightarrow f'(x)<0$ (*) (αφού $f'$ γνησίως αύξουσα).
Άρα η f είναι γνησίως φθίνουσα στο $(-\infty,1]$ .

Αν $x>1$ τότε $f'(x)>f'(1) \Rightarrow f'(x)>0$ (**) (αφού $f'$ γνησίως αύξουσα).
Άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο $[1, \infty)$ .

Από γνωστό θεώρημα (Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ’ Λυκείου σελ. 262) λόγω των (*) και (**) το $x=1$ αποτελεί σημείο ολικού ελαχίστου.

Έρεβος · 21-01-16

Αρχική Δημοσίευση από Τυφών:
Αν μια συνάρτηση είναι γνησίως μονότονη ==> είναι και 1-1. Γιατί δεν ισχύει το αντίστροφο;

Μπορούμε να δώσουμε ένα απλό αντιπαράδειγμα.
Έστω η συνάρτηση:
$f(x)=\begin{cases}x & \text{ if } x\in \left(-\infty,-\alpha \right)\bigcup \left(\alpha, +\infty \right) \\ -x & \text{ if } x\in \left[-\alpha ,\alpha \right] \end{cases} , \alpha>0$
Είναι φανερό ότι η συνάρτηση είναι "1-1" αλλά δεν είναι γνησίως μονότονη.
Η μονοτονία, θα λέγαμε, είναι μια πιο ειδική έννοια από αυτή της αμφιμονοσήμαντης συνάρτησης ("1-1") και αυτό μπορεί να το δει κανείς στις διαφορές των δύο ορισμών.

Έρεβος · 11-10-15

Ευχαριστώ για τις φιλοφρονήσεις

, αλλά έλεγξέ τα μήπως έχω κάνει κάποιο λάθος ή αν κάτι είναι "ακαταλαβίστικο". Τα έγραψα ολίγον βιαστικά. :whistle:

Έρεβος · 11 Οκτωβρίου 2015

Αν διαβάζω καλά την εκφώνηση λέει τα εξής:

Θεωρούμε συνάρτηση $f:\mathbb{R} \backslash \{0\} \rightarrow \mathbb{R} \backslash \{0\}$ με $f\left(x \right)\neq 0 \; \forall x\in\matbb{R}_{+}$ η οποία είναι 1-1 και έχει την ιδιότητα: ${f}^{-1}\left(x \right)=\frac{1}{f\left(x \right)} \; \forall x\in \mathbb{R}_{+} (*)$ .
Αν η f είναι γνησίως αύξουσα στο $\left(0, +\infty \right)$ τότε:

(α) Να αποδείξετε:
(α.1) $f\left(f \left(x \right)\right)=\frac{1}{x}$ και $f\left(\frac{1}{x} \right)=\frac{1}{f\left(x \right)}\;\forall x\in \mathbb{R}_{+}$
(α.2) $f\left(1 \right)=-1$ και $f\left(-1 \right)=1$
(α.3) Η εξίσωση ${f}^{-1}\left(x \right)=x$ είναι αδύνατη!

(β) Αν επιπλέον είναι f(x)>0 για κάθε x<0 να δείξετε ότι η συνάρτηση δεν μπορεί να είναι γνησίως αύξουσα στο $\left(-\infty, 0 \right)$

(α.1)
Είναι:
$f(f(x)) = \frac{1}{{f}^{-1}\left(f\left(x \right) \right)}=\frac{1}{x} \forall x\in \mathbb{R}_{+}$

Αντικαθιστώ το x με 1/x (x>0):
$f\left(f\left(\frac{1}{x}\right) \right) = \frac{1}{\frac{1}{x}}=x \Rightarrow {f}^{-1}\left(f\left(f\left(\frac{1}{x} \right) \right) \right)={f}^{-1}\left(x \right) \Rightarrow$
$f\left(\frac{1}{x} \right)=\frac{1}{f\left(x \right)} \forall x\in \mathbb{R}_{+}$

(α.2)
Από ερώτημα (α.1) έχουμε ότι:
$f\left(\frac{1}{x} \right)=\frac{1}{f\left(x \right)} \forall x\in \mathbb{R}_{+}$

Για x=1 θα έχουμε:
$f\left(1 \right)=\frac{1}{f\left(1 \right)}\Rightarrow {f}^{2}\left(1 \right)=1\Rightarrow f(1)=\pm 1$

Είναι $f(1)=-1$
Απόδειξη:
Έστω $f(1)=1$ και έστω $x_0>1$ . Τότε:
$x_0>1\Rightarrow f(x_0)>f(1)\Rightarrow f(x_0)>1\Rightarrow \frac{1}{{f}^{-1}\left(x_0 \right)}>1\Rightarrow {f}^{-1}\left(x_0 \right)<1$
(αφού f γνησίως αύξουσα.)
Επίσης:
$x_0>1 \Rightarrow {f}^{-1}\left(x_0 \right)}>{f}^{-1}\left(1 \right)} \Rightarrow {f}^{-1}\left(x_0 \right) > 1$
(αφού αν f γνησίως αύξουσα τότε και f^-1 γνησίως αύξουσα. /Γιατί?/ )
Άτοπο! Άρα κατ’ ανάγκη $f(1) = -1$ .

Είναι:
$f(1)=-1 \Rightarrow f(f(1))=f(-1)$
Από ερώτημα (α.1) ισχύει $f(f(x))=\frac{1}{x}$
Άρα:
$f(-1)=1/1=1$

(α.3)
Έστω ότι υπάρχει $x_0\neq 0$ τ.ω. $f^{-1}(x_0)=x_0$ .
Τότε:
$f(f^{-1}(x_0))=f(x_0) => f(x_0)=x_0.$

Διακρίνω τις περιπτώσεις:
*Αν $x_0>0$ τότε:
$f\left(f\left(x_0 \right) \right)=f\left(x_0 \right)\Rightarrow \frac{1}{x_0}=x_0\Rightarrow {x_0}^{2}=1\Rightarrow x_0=1$
Όμως:
$f(1)=-1$ Άτοπο!

*Αν $x_0<-1 \Rightarrow -x_0>1$ τότε:
$f\left(-x_0 \right)>f\left(1 \right)=-1\Rightarrow f\left(f\left(-x_0 \right) \right)>f\left(-1 \right)=1\Rightarrow$
$\frac{1}{-x_0}>1\Rightarrow -x_0<1\Rightarrow x_0>-1$
Όμως $x_0<-1$ . Άτοπο!

*Αν $-1<x_0<0 \Rightarrow 0<-x_0<1$ τότε:
$f\left(-x_0 \right)<f\left(1 \right)=-1\Rightarrow f\left(f\left(-x_0 \right) \right)<f\left(-1 \right)=1\Rightarrow$
$\frac{1}{-x_0}<1\Rightarrow -x_0>1\Rightarrow x_0<-1$
Όμως $x_0 >-1$ . Άτοπο!

Άρα δεν υπάρχει $x_0$ που να ικανοποιεί την εξίσωση. Δηλαδή η εξίσωση είναι αδύνατη.

(β)
Έστω f γνησίως αύξουσα στο $(-\infty,0)$ .
Έστω $x_0<x_1<0$ τότε:
$x_0<x_1<0\Rightarrow 0<f\left(x_0 \right)<f\left(x_1 \right)\Rightarrow {f}^{-1}\left(f\left(x_0 \right) \right)<{f}^{-1}\left(f\left(x_1 \right) \right)\Rightarrow$
$0<\frac{1}{f\left(x_0 \right)}<\frac{1}{f\left(x_1 \right)}\Rightarrow f\left(x_0 \right)>f\left(x_1 \right)$

Άτοπο! Άρα δεν μπορεί η f να είναι γνησίως αύξουσα στο $(-\infty,0)$ .

-Προσοχή- Οι τύποι που δίνονται από την εκφώνηση (αν διαβάζω καλά) ισχύουν μόνο για x>0. Άρα κανονικά πρέπει να ελέγχουμε κάθε φορά που τους χρησιμοποιούμε αν ισχύει αυτή η προϋπόθεση! Επίσης χρειάζονται περισσότερες εξηγήσεις σε κάθε βήμα (π.χ. αν η f είναι γνησίως αύξουσα και πού κτλ.). Εγώ βαριόμουν να τα γράψω αυτά, αν και ένιωθα τύψεις. :redface:

Έρεβος · 02-09-15

Αρχική Δημοσίευση από Dimitrakak:
Ξερει κανεις γιατι οταν lim|f(x)|=|l| με l διαφορο του 0 η f(x) μπορει να εχει αλλα και να μην εχει οριο;

Δες το λίγο "εμπειρικά" ( :whistle:

)!

Έστω ότι η f είναι της μορφής:
$f\left(x \right) = L$ (L σταθερά, διάφορη του 0), για κάθε x στο R.
Τότε:
$\lim_{x\rightarrow a} {\left|f(x) \right|} = \left|L \right|$
αλλά και:
$\lim_{x\rightarrow a} {f(x)} = L$ με a στο R.

Έστω τώρα ότι η f είναι της μορφής:
$f\left(x \right) = \left\{\begin{matrix} L, x<a\\ -L, x\geq a\end{matrix}\right.$ , x στο R.
Τότε:
$\lim_{x\rightarrow a} {\left|f(x) \right|} = \left|L \right|$
ΟΜΩΣ το $\lim_{x\rightarrow a} {f(x)}$ δεν υπάρχει (αφού τα πλευρικά όρια δεν είναι ίσα μεταξύ τους!).

Άρα δεν μπορούμε να πούμε κάτι για το όριο της f γνωρίζοντας μόνο αυτό τής |f| (μπορεί να υπάρχει, μπορεί και όχι).
Το αντίστροφο, ωστόσο ισχύει!

Άλλα μηνύματα του μέλους Έρεβος σε αυτό το thread

Έρεβος

Νεοφερμένος

Έρεβος

Νεοφερμένος

Έρεβος

Νεοφερμένος

Έρεβος

Νεοφερμένος

Έρεβος

Νεοφερμένος

Έρεβος

Νεοφερμένος

Έρεβος

Νεοφερμένος

Λοιπές Σελίδες