nPb
Επιφανές μέλος
Ο nPb αυτή τη στιγμή είναι συνδεδεμένος. Είναι Μεταπτυχιούχος και μας γράφει απο Πάτρα (Αχαΐα). Έχει γράψει 19,798 μηνύματα.
15-02-16
23:23
Έστω ότι ισχύει για κάποιο μ φυσικό. Τότε:
καθώς το n τείνει στο άπειρο. Θα δείξουμε ότι ισχύει για τον φυσικό αριθμό μ+1. Πράγματι, έχουμε την ακολουθία
και αν θέσουμε όπου ω το μ+1 τότε,
το οποίο είναι γνωστό αποτέλεσμα, για κάθε φυσικό αριθμό καθώς το n φεύγει στο άπειρο. Άρα, έχουμε καθώς το n φεύγει στο άπειρο
δηλαδή, καθώς το ω είναι το μ+1 με αναδρομική αντικατάσταση η προηγούμενη οριακή διαδικασία γράφεται:
που σημαίνει ότι ισχύει για κάθε φυσικό αριθμό k._
καθώς το n τείνει στο άπειρο. Θα δείξουμε ότι ισχύει για τον φυσικό αριθμό μ+1. Πράγματι, έχουμε την ακολουθία
και αν θέσουμε όπου ω το μ+1 τότε,
το οποίο είναι γνωστό αποτέλεσμα, για κάθε φυσικό αριθμό καθώς το n φεύγει στο άπειρο. Άρα, έχουμε καθώς το n φεύγει στο άπειρο
δηλαδή, καθώς το ω είναι το μ+1 με αναδρομική αντικατάσταση η προηγούμενη οριακή διαδικασία γράφεται:
που σημαίνει ότι ισχύει για κάθε φυσικό αριθμό k._
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 8 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
nPb
Επιφανές μέλος
Ο nPb αυτή τη στιγμή είναι συνδεδεμένος. Είναι Μεταπτυχιούχος και μας γράφει απο Πάτρα (Αχαΐα). Έχει γράψει 19,798 μηνύματα.
15-02-16
22:22
Καποιος μερακλης αμα μπορει να βοηθησει με το παρακατω.
Δινεται η ακολουθια
Νδο
Κάνουμε επαγωγή καθώς ισχύει για κάθε k φυσικό.
Ξεκινάμε με k=0: Ο αριθμητής της ακολουθίας είναι 1+1+1+...+1=1n=n (n φορές το 1). Ο παρονομαστής της ακολουθίας είναι n οπότε η ακολουθία συγκλίνει σταθερά στο 1. Ανεβαίνουμε στο k=1: Ο αριθμητής της ακολουθίας είναι το γνωστό άθροισμα 1+2+3+...+n το οποίο κάνει n(n+1)/2. O παρονομαστής είναι n με εκθέτη 2. Κάνουμε το σύνθετο κλάσμα απλό και έχουμε:
Καθώς το n τρέχει στο άπειρο (+ ή -) η ακολουθία συγκλίνει σταθερά στο 1/2 (από ιδιότητες ορίου ακολουθιών και ότι 1/2n καθώς το n τρέχει στο άπειρο, μηδενίζεται).
Συνεχίζουμες επαγωγικά για κάθε φυσικό αριθμό μ. Θα πρέπει να δείξουμε ότι ισχύει και για μ+1.
(βλέπεις στο post #16)
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 8 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.