Civilara
Περιβόητο μέλος
Ο Civilara αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Μας γράφει απο Δανία (Ευρώπη). Έχει γράψει 4,344 μηνύματα.
24-06-14
01:04
Ο γρίφος με τα 3 καπέλα
Ο γρίφος ανήκει στην κατηγορία γρίφοι λογικής. Ένας Μάγος καλεί τρεις σοφούς άντρες και τους λέει να κλείσουν τα μάτια τους. Ενώ αυτοί έχουν κλειστά τα μάτια τους, τους τοποθετεί από ένα καπέλο στο κεφάλι τους.
«Έβαλα ένα μπλε ή ένα λευκό καπέλο σε κάθε έναν από εσάς", λέει. «Εγώ δεν θα σας πω τι χρώμα έχει το κάθε καπέλο, αλλά πρέπει να ξέρετε ότι είχα 3 μπλε καπέλα και 2 λευκά καπέλα».
«Τώρα ανοίξτε τα μάτια σας», συνεχίζει. "Δεν επιτρέπεται να επικοινωνήσετε μεταξύ σας. Μέσα σε μία ώρα, ένας από σας πρέπει να ανακαλύψει το χρώμα του καπέλου του."
Και οι τρεις άντρες ανοίγουν τα μάτια τους και παρατηρούν τα καπέλα που μπορούν να δουν». Στέκονται εκεί για σχεδόν ολόκληρη ώρα στη σιωπή, και σκέφτονται. Αφού περνά η μία ώρα, οι τρεις άνδρες καταλαβαίνουν το χρώμα των δικών τους καπέλων και φωνάζουν την ίδια στιγμή τα χρώματα των καπέλων τους.
Μπορείτε να υποθέσετε ότι και οι τρεις άνδρες είναι λογικοί, ξέρουν ότι και οι άλλοι είναι λογικοί, και ότι όλοι σκέφτονται με την ίδια ταχύτητα.
Ποια είναι τα χρώματα από τα καπέλα των τριών ανδρών τελικά;
Ο γρίφος ανήκει στην κατηγορία γρίφοι λογικής. Ένας Μάγος καλεί τρεις σοφούς άντρες και τους λέει να κλείσουν τα μάτια τους. Ενώ αυτοί έχουν κλειστά τα μάτια τους, τους τοποθετεί από ένα καπέλο στο κεφάλι τους.
«Έβαλα ένα μπλε ή ένα λευκό καπέλο σε κάθε έναν από εσάς", λέει. «Εγώ δεν θα σας πω τι χρώμα έχει το κάθε καπέλο, αλλά πρέπει να ξέρετε ότι είχα 3 μπλε καπέλα και 2 λευκά καπέλα».
«Τώρα ανοίξτε τα μάτια σας», συνεχίζει. "Δεν επιτρέπεται να επικοινωνήσετε μεταξύ σας. Μέσα σε μία ώρα, ένας από σας πρέπει να ανακαλύψει το χρώμα του καπέλου του."
Και οι τρεις άντρες ανοίγουν τα μάτια τους και παρατηρούν τα καπέλα που μπορούν να δουν». Στέκονται εκεί για σχεδόν ολόκληρη ώρα στη σιωπή, και σκέφτονται. Αφού περνά η μία ώρα, οι τρεις άνδρες καταλαβαίνουν το χρώμα των δικών τους καπέλων και φωνάζουν την ίδια στιγμή τα χρώματα των καπέλων τους.
Μπορείτε να υποθέσετε ότι και οι τρεις άνδρες είναι λογικοί, ξέρουν ότι και οι άλλοι είναι λογικοί, και ότι όλοι σκέφτονται με την ίδια ταχύτητα.
Ποια είναι τα χρώματα από τα καπέλα των τριών ανδρών τελικά;
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 9 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Civilara
Περιβόητο μέλος
Ο Civilara αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Μας γράφει απο Δανία (Ευρώπη). Έχει γράψει 4,344 μηνύματα.
15-06-14
21:41
Ας κάνω αναλυτικά τη διαδικασία. Έστω t0=0 η χρονική στιγμή κατά την οποία ο λεπτοδείκτης και ο ωροδείκτης δείχνουν 12. Ο λεπτοδείκτης σε χρονικό διάστημα Δtm=1 h=60 min=3600 s διαγράφει γωνία Δθ=360 deg=2π rad. Ο ωροδείκτης σε χρονικό διάστημα Δth=12 h=720 min=43200 s διαγράφει γωνία Δθ=360 deg=2π rad. Η γωνιακή ταχύτητα περιοστροφής των δεικτών υπολογίζεται στη συνέχεια:Εσύ βρες πόσες συναντήσεις θα έχουν μέσα σε ένα εικοσιτετράωρο.
ωm=Δθ/Δtm => ωm=360/3600=1/10 deg/s=0,1 deg/s (λεπτοδείκτης)
ωh=Δθ/Δth => ωm=360/43200=1/120 deg/s (ωροδείκτης)
Οι διαγραφόμενες γωνίες των τόξων που θα έχουν διαγράψει οι δύο δείκτες μέχρι την χρονική στιγμή t, δίνονται από τις παρακάτω σχέσεις:
θm=ωmt
θh=ωht
Επειδή ωm>ωh, τότε ο λεπτοδείκτης περιστρέφεται γρηγορότερα από τον ωροδείκτη, όπως είναι αναμενόμενο. Όταν συναντηθούν οι δύο δείκτες για κ-οστή φορά (χωρίς να προσμετράται η ταύτισή τους την χρονική στιγμή t0=0) τότε ο λεπτοδείκτης θα έχει διαγράψει γωνία κατά κΔθ=360κ deg μεγαλύτερη από εκείνη του ωροδείκτη στο ίδιο χρονικό διάστημα. Συνεπώς προκύπτουν τα εξής:
θm-θh=κΔθ => (Δθ/Δtm)t -(Δθ/Δth)t=κΔθ => [(1/Δtm) -(1/Δth)]t=κ => t=κ/[(1/Δtm) -(1/Δth)]=[(Δth*Δtm)/(Δth-Δtm)]*κ
Οι χρονική στιγμή tκ κατά την οποία η δύο δείκτες θα συναντηθούν για κ-οστή φορά προσδιορίζεται από την εξίσωση:
tκ=[(Δth*Δtm)/(Δth-Δtm)]*κ=(43200/11)κ sec=(720/11)κ min=(12/11)κ h, όπου κ ανήκει Ν
Για κ=0 προκύπτει t0=0 που είναι η χρονική στιγμή κατά την οποία και οι δύο δείκτες δείχνουν 12 και έχει υποτεθεί ως αρχή μέτρησης του χρόνου.
Για να βρούμε πόσες φορές συναντιούνται οι δύο δείκτες κατά την διάρκεια ενός 24ώρου τότε πρέπει να λυθεί η ανίσωση tκ<=T όπου T=24 h. Έχουμε:
tκ<=Τ => (12/11)κ<=24 => κ<=22 => κ=0,1,2,...,22
Για κ=22 προκύπτει t22=24h=T
Άρα:
i) Στο διάστημα [0,T] οι δύο δείκτες συναντιούνται 23 φορές
ii) Στα διαστήματα [0,T) και (0,T] οι δύο δείκτες συναντιούνται 22 φορές
iii) Στο διάστημα (0,T) οι δύο δείκτες συναντιούνται 21 φορές
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 9 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Civilara
Περιβόητο μέλος
Ο Civilara αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Μας γράφει απο Δανία (Ευρώπη). Έχει γράψει 4,344 μηνύματα.
15-06-14
18:32
1 καλο η τιμια κυβερνηση εβγαλε αποφαση οτι ολοι θα βγουν στην συνταξη σε 760 εργασιμες ημερες.
Με την προυποθεση οτι θα μετραν οι μισες οι μερες απο οτι δουλεψε τον προηγουμενο χρονο.
Ποσα χρονια θα βγει καποιος στην συνταξη
Θεωρούμε ότι κάθε έτος έχει διάρκεια 365 ημερών οι οποίες όλες είναι εργάσιμες. Η ακολουθία του αριθμού των εργάσιμων ημερών αn κατά την διάρκεια του n-στού έτους είναι γεωμετρική πρόοδος με πρώτο όρο α1=365 και λόγο λ=1/2. Ο αριθμός των εργάσιμων ημερών κατά την διάρκεια των πρώτων n ετών ισούται με το άθροισμα Sn=α1+α2+...αn. Επομένως έχουμε:
αn=α1*λ^(n-1) => αn=365/(2^(n-1))=365*(2^(1-n)), n ανήκει N*
Sn=α1*[((λ^n)-1)/(λ-1)] => Sn=730*[1-(2^(-n))], n ανήκει N*
Η γεωμετρική πρόοδος είναι φθίνουσα καθώς λ<1, οπότε η σειρά Σ(n=1,oo)αn=lim(n->oo)Sn συγκλίνει στην τιμή S=α1/(1-λ). Έχουμε S=730.
Άρα ακόμη και άπειρα χρόνια να ζήσει ο άνθρωπος δεν πρόκειται ποτέ να συπληρώσει περισσότερες από 730 εργάσιμες ημέρες και επομένως δεν θα βγει ποτέ στη σύνταξη εκτός και αν κατά την διάρκεια της ζωής του τροποποιηθεί το ασφαλιστικό σύστημα.
ΥΓ: Μη βάζεις ιδέες στον υπουργό εργασίας.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 9 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Civilara
Περιβόητο μέλος
Ο Civilara αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Μας γράφει απο Δανία (Ευρώπη). Έχει γράψει 4,344 μηνύματα.
15-06-14
15:25
Βρείτε τι ώρα θα δείξει το ρολόι μετά τις 12, όταν ο ωροδείκτης και ο λεπτοδείκτης του ρολογιού συναντηθούν για δεύτερη φορά.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 9 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Civilara
Περιβόητο μέλος
Ο Civilara αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Μας γράφει απο Δανία (Ευρώπη). Έχει γράψει 4,344 μηνύματα.
23-06-13
23:03
Πολυ ενδιαφερον προβλημα!!! κριμα που δεν εχω τις γνωσεις να το προσπαθησω.... Με την ταπεινη φυσικη και μαθηματικα της γ λυκειου εγω θα ελεγα οτι στην αποδειξη στο blog εχει ξεχασει να λαβει υποψην τις τριβες και το βαρος το οποιο προκαλει και ροπη
Όχι δεν έχει ξεχάσει τίποτα. Από φυσικής πλευράς η εκφώνηση ευσταθεί. Εξάλλου εδώ δεν εξετάζουμε τη δυναμική αλλά την κινηματική του φαινομένου. Εννοείται ότι ασκείται μία οριζόντια εξωτερική δύναμη F στο Β (το κάτω άκρο της ράβδου που ακουμπάει στο πάτωμα) έτσι ώστε να μετακινείται με σταθερή ταχύτητα.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Civilara
Περιβόητο μέλος
Ο Civilara αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Μας γράφει απο Δανία (Ευρώπη). Έχει γράψει 4,344 μηνύματα.
23-06-13
20:51
Μου δωσανε τον εξης γριφο:
Το παραδοξο της σανιδας:
https://pantsik.blogspot.gr/2010/09/blog-post_252.html
Τι λετε παιδια?
Μια σκεψη που εκανα που πρεπει να ειναι λαθος ειναι η εξης:
Στην οριακη περιπτωση που η σανιδα ακουμπησει κατω δλδ x (t)= L το Πυθαγωρειο θεωρημα δεν θα ισχυει διοτι δεν θα σχηματιζεται τριγωνο. Ακουσα ομως απο παιδι που ξερει τελεια μαθηματικα οτι μπορει να θεωρηθει εκφυλισμενο. Δηλαδη οριακα για το ορθογωνιο ισχυει το Πθ.
Ας ξεκινήσουμε με κάποια βασικά πράγματα. Ορίζουμε σύστημα αξόνων Oxy όπως στο σχήμα που δίνεται όπου Ox οριζόντιος άξονας (στον οποίο στηρίζεται η σκάλα) με θετική φορά εκείνη της ταχύτητας v (συμβατικά την επιλέγουμε προς τα δεξιά ώστε να είναι σύμφωνη με το σχήμα) και Oy κατακόρυφος άξονας (στον οποίο επίσης στηρίζεται η σκάλα) με θετική φορά προς τα πάνω.
Όλες οι ποσότητες είναι θετικές ή το πολύ να μηδενίζονται. Δηλαδή x(t)>=0, y(t)>=0 για κάθε t>=0 και v>0.
Επειδή το κάτω άκρο Α(x(t),0) της σκάλας μετακινείται με σταθερή ταχύτητα τότε θα ισχύει x(t)=x0+vt όπου x0=x(0), t>=0. Σε κάθε χρονική στιγμή t>=0, το ύψος του σημείου Β(0,y(t)) στο οποίο στηρίζεται η σκάλα δίνεται από την σχέση y(t)=SQRT[(L^2)-(x(t)^2)], 0<=t<=T. Η χρονική στιγμή T εξηγείται παρακάτω.
Η σκάλα θα συνεχίσει να κατεβαίνει μέχρι τη χρονική στιγμή T για την οποία x(T)=L οπότε y(T)=0. Για t>T το x θα συνεχίσει να μεταβάλλεται με τον ίδιο ρυθμό, όμως το y είναι μηδέν. Δηλαδή y(t)=0 για t>T.
Λύνουμε την εξίσωση x(T)=L και έχουμε:
x(T)=L => x0+vT=L => T=(L-x0)/v
Άρα έχουμε:
x(t)=vt+x0, t>=0
y(t)=SQRT[(L^2)-(x(t)^2)] => y(t)=SQRT[(L^2)-((x0+vt)^2)]=SQRT[-(v^2)(t^2)-2x0vt+(L^2)-(x0^2)], 0<=t<=T
y(t)=0, t>T
Παρατηρούμε ότι lim(t->T-)y(t)=lim(t->T+)y(t)=y(T)=0 που σημαίνει ότι η y είναι συνεχής στο T
Η ταχύτητα u του Β ισούται με την πρώτη παράγωγο dy/dt της y. Έχουμε:
Για 0<=t<T έχουμε y(t)=SQRT[-(v^2)(t^2)-2x0vt+(L^2)-(x0^2)]. Επομένως
u(t)=y΄(t)=-{[(v^2)t+vx0]/SQRT[-(v^2)(t^2)-2x0vt+(L^2)-(x0^2)]}
Για t>T έχουμε y(t)=0. Επομένως u(t)=y΄(t)=0.
Στη συνέχεια θα εξεταστεί αν η y είναι παραγωγίσιμη στο T.
Για 0<=t<T έχουμε:
[(y(t)-y(T)]/(t-T)]=SQRT[-(v^2)(t^2)-2x0vt+(L^2)-(x0^2)]/[t-((L-x0)/v)]=SQRT[-(v^2)(t^2)-2x0vt+(L^2)-(x0^2)]/(-SQRT{[t-((L-x0)/v)]^2})
[(y(t)-y(T)]/(t-T)]=(-v)SQRT[(L+x0+vt)/(L-x0-vt)]
lim(t->T-)(L-x0-vt)=0 => lim(t->T-)[1/(L-x0-vt)]=+oo
lim(t->T-)(L+x0+vt)=2L>0
Άρα lim(t->T-)[(L+x0+vt)/(L-x0-vt)]=+oo => lim(t->T-)SQRT[(L+x0+vt)/(L-x0-vt)]=+oo => lim(t->T-){(-v)SQRT[(L+x0+vt)/(L-x0-vt)]}=-oo
Επομένως y΄(T-)=lim(t->T-)[(y(t)-y(T)]/(t-T)]=-oo
Για t>T έχουμε:
[(y(t)-y(T)]/(t-T)]=0 => y΄(T+)=lim(t->T+)[(y(t)-y(T)]/(t-T)]=0
Παρατηρούμε ότι y΄(Τ-)=-oo και y΄(T+)=0. Το όριο y΄(T-) υπάρχει και δεν είναι πεπερασμένο ενώ το όριο y΄(T+) υπάρχει και είναι πεπερασμένο. Κατά συνέπεια η y ΔΕΝ είναι παραγωγίσιμη στο T και δεν ορίζεται η ταχύτητα u τη χρονική στιγμή T. Συνεπώς
u(t)=y'(t)=-{[(v^2)t+vx0]/SQRT[-(v^2)(t^2)-2x0vt+(L^2)-(x0^2)]}, 0<=t<T
u(t)=y΄(t)=0, t>T
Θα εξεταστούν στη συνέχεια τα όρια της y΄ όταν το t τείνει στο T
lim(t->T-)[-v(t^2)-vx0]=-vL<0
lim(t->T-)SQRT[-(v^2)(t^2)-2x0vt+(L^2)-(x0^2)]=0 => lim(t->T-){1/SQRT[-(v^2)(t^2)-2x0vt+(L^2)-(x0^2)]}=+oo
Άρα lim(t->T-)y΄(t)=-oo=y΄(T-)
lim(t->T+)y΄(t)=0=y΄(T+)
Το λάθος βρίσκεται στο 8ο βήμα του συλλογισμού. Πραγματικά στο χρονικό διάστημα [0,T) η ταχύτητα του σημείου Β συνεχώς αυξάνεται και γίνεται πολύ μεγάλη (το αρνητικό πρόσημο στο -οο δηλώνει ότι η u έχει φορά προς τα κάτω) όταν το t τείνει στο Τ αλλά δεν γίνεται ίσο με Τ. Συνεπώς στο διάστημα [0,Τ) η ταχύτητα του Β είναι πεπερασμένη.
Τη χρονική στιγμή t=T η ταχύτητα του Β θα γινόταν απεριόριστα μεγάλη (δηλαδή άπειρη) αν το y συνέχιζε να μεταβάλλεται με τον ίδιο ρυθμό. Όμως αυτό δεν συμβαίνει γιατί για t>T ισχύει y(t)=0. Επομένως εκεί που τείνει η ταχύτητα u να γίνει άπειρη, ξαφνικά μηδενίζεται την ίδια χρονική στιγμή. Γι αυτό η ταχύτητα του Β δεν γίνεται άπειρη. Ο λόγος λοιπόν που η ταχύτητα του Β δεν γίνεται άπειρη είναι ότι "την φρενάρει απότομα" η στιγμιαία μεταβολή του y από y(t)=SQRT[(L^2)-(x(t)^2)] σε y(t)=0 την χρονική στιγμή t=T.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.