DumeNuke
Τιμώμενο Μέλος
Ο DumeNuke αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Είναι Φοιτητής και μας γράφει απο Θεσσαλονίκη (Θεσσαλονίκη). Έχει γράψει 4,125 μηνύματα.
25-02-14
15:38
Έστω Α το σύνολο των φυσικών (1,2,3,4,5,6...) και Β=(0,1).
Για κάθε στοιχείο n του Α, εκτός του 1, υπάρχει στοιχείο m του Β, τέτοιο ώστε να συνδέονται με τη σχέση:
n*m=1 ή m=1/n
Δηλαδή, το 2 ανήκει στο A, το 1/2 στο Β, το 3 στο Α, το 1/3 στο Β, κ.ο.κ.
Επομένως, για n στοιχεία του συνόλου Α υπάρχουν n-1 στοιχεία στο σύνολο Β. Αν βρούμε τουλάχιστον 2 στοιχεία που ανήκουν στο Β, αλλά όχι στο Α, τότε το σύνολο Β είναι μεγαλύτερο.
Το 3/4 και 4/5 είναι δύο τέτοια στοιχεία, διαφορετικά μεταξύ τους. Επομένως για n στοιχεία του Α υπάρχουν τουλάχιστον n+1 στοιχεία στο Β, γεγονός που καθιστά το σύνολο Β=(0,1) μεγαλύτερο του συνόλου Α των φυσικών.
Από βιντεάκι στο youtube.
Για κάθε στοιχείο n του Α, εκτός του 1, υπάρχει στοιχείο m του Β, τέτοιο ώστε να συνδέονται με τη σχέση:
n*m=1 ή m=1/n
Δηλαδή, το 2 ανήκει στο A, το 1/2 στο Β, το 3 στο Α, το 1/3 στο Β, κ.ο.κ.
Επομένως, για n στοιχεία του συνόλου Α υπάρχουν n-1 στοιχεία στο σύνολο Β. Αν βρούμε τουλάχιστον 2 στοιχεία που ανήκουν στο Β, αλλά όχι στο Α, τότε το σύνολο Β είναι μεγαλύτερο.
Το 3/4 και 4/5 είναι δύο τέτοια στοιχεία, διαφορετικά μεταξύ τους. Επομένως για n στοιχεία του Α υπάρχουν τουλάχιστον n+1 στοιχεία στο Β, γεγονός που καθιστά το σύνολο Β=(0,1) μεγαλύτερο του συνόλου Α των φυσικών.
Από βιντεάκι στο youtube.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
DumeNuke
Τιμώμενο Μέλος
Ο DumeNuke αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Είναι Φοιτητής και μας γράφει απο Θεσσαλονίκη (Θεσσαλονίκη). Έχει γράψει 4,125 μηνύματα.
24-02-14
16:59
και αντιστροφα να το κανεις ,δηλαδη να αντιστοιχησεις τους (0,1) στους φυσικους παλι το ιδιο θα βγει.γενικως δυο συνολα (ειτε πεπερασμενα ειτε απειροσυνολα) ειναι ισα οταν υπαρχει μια συναρτηση 1-1 και επι που να τα συνδεει.βεβαια στο συγκεκριμενο παραδειγμα δεν υπαρχει αναλυτικος τυπος συναρτησης αλλα η συλλογιστικη διαδικασια που προαναφερθηκε.για να σκεφτουμε ομως ...ποιοι ειναι περισσοτεροι οι ακεραιοι ή οι ζυγοι?υπαρχει μηπως μια 1-1 και επι συναρτηση που να τους συνδεει?
Κάθε ζυγός αριθμός είναι και ακέραιος. Επομένως το σύνολο των Ζυγών είναι υποσύνολο αυτού των Ακεραίων. Ισχύει δηλαδή η ανισο-ισότητα:
Ζ<=Α
Αν λοιπόν βρεθεί ένας τουλάχιστον αριθμός ο οποίος είναι ακέραιος, αλλά όχι ζυγός, το σύνολο Α είναι μόνο μεγαλύτερο του Ζ, καθώς περιέχει όλα τα στοιχεία του Ζ συν τον αριθμό που βρήκαμε.
Ο αριθμός 1 είναι ακέραιος αλλά δεν είναι ζυγός. Άρα το πλήθος των ακεραίων είναι μεγαλύτερο αυτού των ζυγών.
Για την παραπάνω "εμπειρική" προσέγγιση χρησιμοποίησα το γεγονός ότι "κάθε ζυγός είναι και ακέραιος". Μια σχέση που συνδέει τα σύνολα Α και Ζ. Υπάρχει κάποια αντίστοιχη που συνδέει τα σύνολα των Α (ακεραίων) και Β=(0,1)? Η πρόταση κλειδί της 'απόδειξης' του βίντεο είναι ότι "εξαντλούμε του ακέραιους του συνόλου Α, χωρίς να εξαντλούμε τα στοιχεία του συνόλου Β".
Για την ακρίβεια, "Θεωρούμε ότι εξαντλούμε..." .....
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
DumeNuke
Τιμώμενο Μέλος
Ο DumeNuke αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Είναι Φοιτητής και μας γράφει απο Θεσσαλονίκη (Θεσσαλονίκη). Έχει γράψει 4,125 μηνύματα.
21-02-14
13:52
Έστω το σύνολο Α, που περιέχει όλους τους φυσικούς αριθμούς (χωρίς το 0).
Έστω το σύνολο Β, που περιέχει όλους τους αριθμούς που υπάρχουν μεταξύ του 0 και 1.
Επομένως: Α=(x/x ανήκει στο Ν*) και Β=(0,1).
Ο συλλογισμός του βίντεο αναλύεται ως εξής:
Παίρνουμε έναν αριθμό από το σύνολο Α και τον αντιστοιχούμε στο σύνολο Β. Παίρνουμε έναν δεύτερο αριθμό από το Α και τον αντιστοιχούμε σε έναν καινούργιο του συνόλου Β. Συνεχίζουμε την διαδικασία στο άπειρο. Όσο μεγάλος και να είναι ο θετικός ακέραιος, ΠΑΝΤΑ θα υπάρχει ένας αριθμός του συνόλου Β που δεν έχει αντιστοιχηθεί. Όταν εξαντλήσουμε όλα τα στοιχεία του συνόλου Α, θα εξακολουθήσει να υπάρχει ΤΟΥΛΑΧΙΣΤΟΝ ένα στοιχείο του Β που δεν έχει αντιστοιχηθεί. Με αυτόν τον τρόπο συμπεραίνουμε ότι το σύνολο Α είναι μικρότερο (έχει λιγότερα στοιχεία), από το σύνολο Β.
Η παγίδα κρύβεται στο 1:17:
"but weve already drawn a line for every integer, so there's none to be this number's partner"
"αλλά έχουμε ήδη τραβήξει μία γραμμή για κάθε ακέραιο, άρα, δεν υπάρχει κανένας ακέραιος διαθέσιμος να γίνει ζευγάρι με τον αριθμό αυτό (που δημιουργήσαμε προηγουμένως)"
Το γεγονός ότι τράβηξε μια γραμμή για κάθε στοιχείο του Α, σημαίνει ότι το Α είναι πεπερασμένο (έχει αρχή και τέλος). 10,20,30,100,1.000,1.000.000 γραμμές, δεν έχει σημασία, αφού ΔΕΝ μπορεί να τραβήξει άλλες, υπάρχει ένας συγκεκριμένος αριθμός γραμμών και, άρα, συγκεκριμένος αριθμός θετικών ακεραίων. Αυτό όμως είναι αδύνατο, διότι το σύνολο των ακεραίων είναι μη πεπερασμένο. Όποιον αριθμό και να μου πεις, μπορώ να σου έναν κατά 1 μονάδα μεγαλύτερο.
Θεωρεί ως δεδομένο ότι το σύνολο Α είναι πεπερασμένο, για να καταλήξει στο ζητούμενο. Αν θες, θεωρεί ότι το Α είναι, εκ προϊμίου, μικρότερο του Β... για να καταλήξει ότι το Α είναι μικρότερο του Β.
Με άλλα λόγια: "Αποδείξτε ότι για .... ισχύει χ>1". Θεωρείς εσύ "έστω χ>1 και, επειδή επαληθεύονται τα δεδομένα που μου δόθηκαν, ισχύει χ>1".
Ας το δούμε διαφορετικά. Αντιστοιχίζοντας κάθε στοιχείο του Β σε ένα του Α θα φτάσουμε σε ένα σημείο όπου, όλα τα στοιχεία του Β έχουνε εξαντληθεί και δεν μπορούμε να τραβήξουμε καινούργια γραμμή. Όμως, υπάρχει ένας αριθμός n+1 (όπου n το πλήθος των γραμμών) που δεν έχει ταίρι. Συμπεραίνουμε λοιπόν το σύνολο των θετικών ακεραίων είναι μεγαλύτερο από το σύνολο (0,1). Αυτό έρχεται σε αντίθεση με το συμπέρασμα του video.
Άρα είτε ο δικός μου συλλογισμός είναι λάθος, είτε του video. Όμως, η λογική που ακολούθησα είναι ίδια με του video.
Άρα και οι δύο λέμε π******ς.
Έστω το σύνολο Β, που περιέχει όλους τους αριθμούς που υπάρχουν μεταξύ του 0 και 1.
Επομένως: Α=(x/x ανήκει στο Ν*) και Β=(0,1).
Ο συλλογισμός του βίντεο αναλύεται ως εξής:
Παίρνουμε έναν αριθμό από το σύνολο Α και τον αντιστοιχούμε στο σύνολο Β. Παίρνουμε έναν δεύτερο αριθμό από το Α και τον αντιστοιχούμε σε έναν καινούργιο του συνόλου Β. Συνεχίζουμε την διαδικασία στο άπειρο. Όσο μεγάλος και να είναι ο θετικός ακέραιος, ΠΑΝΤΑ θα υπάρχει ένας αριθμός του συνόλου Β που δεν έχει αντιστοιχηθεί. Όταν εξαντλήσουμε όλα τα στοιχεία του συνόλου Α, θα εξακολουθήσει να υπάρχει ΤΟΥΛΑΧΙΣΤΟΝ ένα στοιχείο του Β που δεν έχει αντιστοιχηθεί. Με αυτόν τον τρόπο συμπεραίνουμε ότι το σύνολο Α είναι μικρότερο (έχει λιγότερα στοιχεία), από το σύνολο Β.
Η παγίδα κρύβεται στο 1:17:
"but weve already drawn a line for every integer, so there's none to be this number's partner"
"αλλά έχουμε ήδη τραβήξει μία γραμμή για κάθε ακέραιο, άρα, δεν υπάρχει κανένας ακέραιος διαθέσιμος να γίνει ζευγάρι με τον αριθμό αυτό (που δημιουργήσαμε προηγουμένως)"
Το γεγονός ότι τράβηξε μια γραμμή για κάθε στοιχείο του Α, σημαίνει ότι το Α είναι πεπερασμένο (έχει αρχή και τέλος). 10,20,30,100,1.000,1.000.000 γραμμές, δεν έχει σημασία, αφού ΔΕΝ μπορεί να τραβήξει άλλες, υπάρχει ένας συγκεκριμένος αριθμός γραμμών και, άρα, συγκεκριμένος αριθμός θετικών ακεραίων. Αυτό όμως είναι αδύνατο, διότι το σύνολο των ακεραίων είναι μη πεπερασμένο. Όποιον αριθμό και να μου πεις, μπορώ να σου έναν κατά 1 μονάδα μεγαλύτερο.
Θεωρεί ως δεδομένο ότι το σύνολο Α είναι πεπερασμένο, για να καταλήξει στο ζητούμενο. Αν θες, θεωρεί ότι το Α είναι, εκ προϊμίου, μικρότερο του Β... για να καταλήξει ότι το Α είναι μικρότερο του Β.
Με άλλα λόγια: "Αποδείξτε ότι για .... ισχύει χ>1". Θεωρείς εσύ "έστω χ>1 και, επειδή επαληθεύονται τα δεδομένα που μου δόθηκαν, ισχύει χ>1".
Ας το δούμε διαφορετικά. Αντιστοιχίζοντας κάθε στοιχείο του Β σε ένα του Α θα φτάσουμε σε ένα σημείο όπου, όλα τα στοιχεία του Β έχουνε εξαντληθεί και δεν μπορούμε να τραβήξουμε καινούργια γραμμή. Όμως, υπάρχει ένας αριθμός n+1 (όπου n το πλήθος των γραμμών) που δεν έχει ταίρι. Συμπεραίνουμε λοιπόν το σύνολο των θετικών ακεραίων είναι μεγαλύτερο από το σύνολο (0,1). Αυτό έρχεται σε αντίθεση με το συμπέρασμα του video.
Άρα είτε ο δικός μου συλλογισμός είναι λάθος, είτε του video. Όμως, η λογική που ακολούθησα είναι ίδια με του video.
Άρα και οι δύο λέμε π******ς.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.