physicscrazy
Δραστήριο μέλος
Ο physicscrazy αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Έχει γράψει 589 μηνύματα.
25-02-14
16:06
Έστω Α το σύνολο των φυσικών (1,2,3,4,5,6...) και Β=(0,1).
Για κάθε στοιχείο n του Α, εκτός του 1, υπάρχει στοιχείο m του Β, τέτοιο ώστε να συνδέονται με τη σχέση:
n*m=1 ή m=1/n
Δηλαδή, το 2 ανήκει στο A, το 1/2 στο Β, το 3 στο Α, το 1/3 στο Β, κ.ο.κ.
Επομένως, για n στοιχεία του συνόλου Α υπάρχουν n-1 στοιχεία στο σύνολο Β. Αν βρούμε τουλάχιστον 2 στοιχεία που ανήκουν στο Β, αλλά όχι στο Α, τότε το σύνολο Β είναι μεγαλύτερο.
Το 3/4 και 4/5 είναι δύο τέτοια στοιχεία, διαφορετικά μεταξύ τους. Επομένως για n στοιχεία του Α υπάρχουν τουλάχιστον n+1 στοιχεία στο Β, γεγονός που καθιστά το σύνολο Β=(0,1) μεγαλύτερο του συνόλου Α των φυσικών.
Από βιντεάκι στο youtube.
ωραιοσ.μηπως μπορεις να βαλεις link?
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
physicscrazy
Δραστήριο μέλος
Ο physicscrazy αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Έχει γράψει 589 μηνύματα.
25-02-14
14:52
Κάθε ζυγός αριθμός είναι και ακέραιος. Επομένως το σύνολο των Ζυγών είναι υποσύνολο αυτού των Ακεραίων. Ισχύει δηλαδή η ανισο-ισότητα:
Ζ<=Α
Αν λοιπόν βρεθεί ένας τουλάχιστον αριθμός ο οποίος είναι ακέραιος, αλλά όχι ζυγός, το σύνολο Α είναι μόνο μεγαλύτερο του Ζ, καθώς περιέχει όλα τα στοιχεία του Ζ συν τον αριθμό που βρήκαμε.
Ο αριθμός 1 είναι ακέραιος αλλά δεν είναι ζυγός. Άρα το πλήθος των ακεραίων είναι μεγαλύτερο αυτού των ζυγών.
Για την παραπάνω "εμπειρική" προσέγγιση χρησιμοποίησα το γεγονός ότι "κάθε ζυγός είναι και ακέραιος". Μια σχέση που συνδέει τα σύνολα Α και Ζ. Υπάρχει κάποια αντίστοιχη που συνδέει τα σύνολα των Α (ακεραίων) και Β=(0,1)? Η πρόταση κλειδί της 'απόδειξης' του βίντεο είναι ότι "εξαντλούμε του ακέραιους του συνόλου Α, χωρίς να εξαντλούμε τα στοιχεία του συνόλου Β".
Για την ακρίβεια, "Θεωρούμε ότι εξαντλούμε..." .....
συγγνωμη ,λαθος δικο μου.εννουσα τη συγκριση μεταξυ φυσικων και ζυγων.
ας το σκεφτουμε ομως λιγο διαφορετικα.σε μια συναρτηση 1-1 ισχυει χ1=/χ2 τοτε και f(χ1)=/f(x2).ουσιαστικα μας λεει οτι καθε χ αντιστοιχιζεται σε ενα και μονο y.μια συναρτση ειναι επι οταν δεν υπαρχει y που να μην αντιστοιχιζεται σε καποιο χ.αρα αν δυο συνολα αντιστοιχιζονται με μια 1-1 και επι συναρτηση εχουν ιδιο αριθμο στοιχειων.λοιπον οι φυσικοι αντιστοιχιζονται στους ζυγους με
τη συναρτηση y=2x με χ φυσικο.η συναρτηση αυτη ειναι 1-1 και επι αρα φυσικοι=ζυγοι.οσον αφορα τους φυσικους και το συνολο (0,1) δεν υπαρχει αναλυτικος τυπος συναρτησης,αλλα μονη αποδειξη-επιχειρημα το διαγωνιο επιχειρημα του cantor.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
physicscrazy
Δραστήριο μέλος
Ο physicscrazy αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Έχει γράψει 589 μηνύματα.
21-02-14
16:22
το προβλημα ειναι πολυ γνωστο στη θεωρια συνολων....ουσιαστικα τιθεται το εξης ερωτημα.ποιοι ειναι περισσοτεροι οι φυσικοι αριθμοι ή οι οιαριθμοι μεταξυ του ανοιχτου συνολου (0,1)?
η απαντηση δοθηκε απο τον καντορ,ο οποιος θεωρειται ο πατερας της θεωριας συνολων και απαντησε και αλλες παρομοιες ερωτησεις, με το διαγωνιο επιχειρημα:
εχουμε λοιπον δυο συνολα: το Α=>(ολοι οι φυσικοι αριθμοι) και το Β=>(0,1).
θα προσπαθησουμε να αντιστοιχησουμε ολους τους αριθμους του Α στο Β.Αν συμβει αυτο τοτε προφανως τα δυο συνολα εχουν ιδιο αριθμο στοιχειων.Αν δε συμβει τοτε καποιο συνολο εχει παραπανω στοιχεια.Ξεκιναμε:
1=>0,5555555555555555555555555555555555555555555555555................................................................
2=>0,7397938928948049059589498238473878857938539805239................................................................
3=>0,1111111111111111111111111111111111111111111111111................................................................
4=>0,5275498450ε39029468474398239804923478379482982981................................................................
5=>0,6666651254546788732444782797898916452354587412949.................................................................
.........
.........
.........
.........
Εστω οτι αντιστοιχισαμε ολους τα στοιχεια του ενος συνολου με ολα τα στοιχεια του αλλου.Ειναι πιθανο να εχει γινει αυτο?Οχι.μπορουμε παντα να βρουμε εναν αριθμο του συνολου Β που δεν εχουμε αντιστοιχισει.Ο αριθμος αυτος βρισκεται ως εξης:παιρνουμε το πρωτο ψηφιο μετα την υποδιαστολη του πρωτου αριθμου και το αλλαζουμε.ομοιως αλλαζουμε το δευτερο ψηφιο του δευτερου αριθμου,το τριτο του τριτου ........
ετσι δημιουργειται ενας νεος αριθμος που δεν τον εχουμε χρησιμοποιησει: 0,64325........
ο αριθμος αυτος δεν εχει ξαναχρησιμοποιηθει αφου διαφερει απο ολους τους προηγουμενους(εχει τουλαχιστον ενα δια φορετικο ψηφιο απο τον πρωτο,τουλαχιστον ενα διαφορετικο ψηφιο απο το δευτερο.......).μαλιστα ειναι προφανες οτι υπαρχουν απειροι αριθμου του συνολου Β που δεν εχουν χρησιμοποιηθει.θα μπορουσαμε αντι για τον 0,64325....... να σχηματισουμε τον 0,92344......κλπ,κλπ.
γενικως η θεωρια των συνολων ειναι πολυ fuck logic,για αυτο ειναι και τοσο ομορφη.
η απαντηση δοθηκε απο τον καντορ,ο οποιος θεωρειται ο πατερας της θεωριας συνολων και απαντησε και αλλες παρομοιες ερωτησεις, με το διαγωνιο επιχειρημα:
εχουμε λοιπον δυο συνολα: το Α=>(ολοι οι φυσικοι αριθμοι) και το Β=>(0,1).
θα προσπαθησουμε να αντιστοιχησουμε ολους τους αριθμους του Α στο Β.Αν συμβει αυτο τοτε προφανως τα δυο συνολα εχουν ιδιο αριθμο στοιχειων.Αν δε συμβει τοτε καποιο συνολο εχει παραπανω στοιχεια.Ξεκιναμε:
1=>0,5555555555555555555555555555555555555555555555555................................................................
2=>0,7397938928948049059589498238473878857938539805239................................................................
3=>0,1111111111111111111111111111111111111111111111111................................................................
4=>0,5275498450ε39029468474398239804923478379482982981................................................................
5=>0,6666651254546788732444782797898916452354587412949.................................................................
.........
.........
.........
.........
Εστω οτι αντιστοιχισαμε ολους τα στοιχεια του ενος συνολου με ολα τα στοιχεια του αλλου.Ειναι πιθανο να εχει γινει αυτο?Οχι.μπορουμε παντα να βρουμε εναν αριθμο του συνολου Β που δεν εχουμε αντιστοιχισει.Ο αριθμος αυτος βρισκεται ως εξης:παιρνουμε το πρωτο ψηφιο μετα την υποδιαστολη του πρωτου αριθμου και το αλλαζουμε.ομοιως αλλαζουμε το δευτερο ψηφιο του δευτερου αριθμου,το τριτο του τριτου ........
ετσι δημιουργειται ενας νεος αριθμος που δεν τον εχουμε χρησιμοποιησει: 0,64325........
ο αριθμος αυτος δεν εχει ξαναχρησιμοποιηθει αφου διαφερει απο ολους τους προηγουμενους(εχει τουλαχιστον ενα δια φορετικο ψηφιο απο τον πρωτο,τουλαχιστον ενα διαφορετικο ψηφιο απο το δευτερο.......).μαλιστα ειναι προφανες οτι υπαρχουν απειροι αριθμου του συνολου Β που δεν εχουν χρησιμοποιηθει.θα μπορουσαμε αντι για τον 0,64325....... να σχηματισουμε τον 0,92344......κλπ,κλπ.
γενικως η θεωρια των συνολων ειναι πολυ fuck logic,για αυτο ειναι και τοσο ομορφη.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.