DumeNuke
Τιμώμενο Μέλος
Ο DumeNuke αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Είναι Φοιτητής και μας γράφει απο Θεσσαλονίκη (Θεσσαλονίκη). Έχει γράψει 4,125 μηνύματα.
26-02-14
16:01
Και στις 2 προτάσεις, και αυτή που παρουσίασες και εκείνη του βίντεο, θεωρούμε πως εξαντλήσαμε τα στοιχεία του ενός συνόλου, παρ' όλα αυτά τα σύνολα τα οποία παίρνουμε είναι στη πραγματικότητα άπειρα. Θεωρώντας εμείς ότι εξαντλούμε δεν καταργούμε αυτόματα την ίδια την έννοια της απειρότητας, ασχολούμενοι πλέον με πεπερασμένα σύνολα αριθμών; Θέλω να πω, ότι δεν μπορεί να ισχύει ούτε η μια, ούτε η άλλη πρόταση θεωρώντας τα σύνολα άπειρα, γιατί για κάθε στοιχείο του (0,1) θα μπορώ να έχω ένα ακόμα ακέραιο (άπειροι αριθμοί) για να το αντιστοιχίσω. Αυτό θα συνεχίζεται επ άπειρω, άρα καταλήγω στο ότι ΔΕ ΜΠΟΡΩ εξ ορισμού να συγκρίνω 2 άπειρα σύνολα.
Η πρόταση Α(ακέραιοι) <= Ζ(ζυγοί) με τη λογική μου δεν ισχύει, γιατί και τα δύο σύνολα είναι άπειρα, άρα για κάθε ακέραιο, θα μπορώ να έχω κάθε φορά και ένα αριθμό ζυγό ο οποίος θα αντιστοιχίζεται με κάποιο ακέραιο. Αυτό θα συνεχίζεται και πάλι επ άπειρω, χωρίς να μπορώ να βγάλω συμπέρασμα για το αν είναι κάποιο από τα 2 σύνολα (το Α στη προκειμένη περίπτωση) μεγαλύτερο.
Όλα αυτά βέβαια με τη προϋπόθεση ότι δεν έχουμε δεχτεί συμβατικά (χωρίς να ισχύει στη πραγματικότητα) ότι Α <= Ζ
Δεν έχω καμία γνώση πάνω στο θέμα, λογικά (σύμφωνα με τη λογική μου) συμπεράσματα εκφράζω.
Δε το έχω δει ακόμα.
Αυτό ακριβώς το πρόβλημα τόνισα στην ένσταση στο πρώτο βίντεο (στην αρχική σου δημοσίευση). Με τον τρόπο που εξηγεί τη διαδικασία, αντιστοιχεί το 1 σε κάποιον τυχαίο αριθμό του συνόλου Β, το 2 σε κάποιον άλλο τυχαίο αριθμό του Β κ.ο.κ. Η λέξη "τυχαίο" είναι το κλειδί. ΔΕΝ υπάρχει κάποια αντιστοιχία των στοιχείων Α και Β. Για Α 1 παίρνω Β 0,5767 και για Α 2 παίρνω Β 0,98668.... Το να υποθέσω ότι, κάποια στιγμή, εξαντλώ το σύνολο Α, χωρίς να εξαντλήσω το Β, (είτε κυριολεκτικά είτε μεταφορικά) περιέχει λογικό άλμα.
Στην παραπάνω απάντηση που παρέθεσες (το βίντεο της οποίας δεν μπόρεσα να ξαναβρώ...) υπάρχει αντιστοιχία μεταξύ των Α και Β.
Για Α=2, Β=1/2.
Για Α=3, Β=1/3.
Για Α=4, Β=1/4.
Για Α=n, B=1/n
Σκέψου έναν αριθμό n, φυσικό, μεγαλύτερο της μονάδας. Είναι δεδομένο ότι ο αριθμός k=1/n θα είναι θετικός (διαίρεση μεταξύ θετικών) και άρα μεγαλύτερος του 0. Παράλληλα, αφού:
n>1 <=> (1/n)<1
Δηλαδή ανήκει στο σύνολο Β. Με την χρήση ενός κανόνα (μια συνάρτησης, f(x)=1/x στην προκειμένη) αντιστοιχούμε κάθε στοιχείο του Α, με κάποιο στοιχείο του Β. Δεν χρειάζεται να εξαντλήσουμε το Α. Μπορούμε να θεωρήσουμε ΠΟ της f κάθε φυσικό μεγαλύτερο της μονάδας και τα αποτελέσματα θα επαληθεύουν την υπόθεση.
Μια αντερώτηση στο "ΔΕ ΜΠΟΡΩ εξ ορισμού να συγκρίνω 2 άπειρα σύνολα.":
Έστω Ο=[0,1] και Π=[0,2]. Απορρίπτει κανείς το γεγονός ότι το Α είναι υποσύνολο του Β και, ως εκ τούτου, μικρότερο του Β?
Με την ίδια λογική, από το σύνολο Α, θεωρώ ένα σύνολο Γ=(k / k=1/n), όπου n κάθε στοιχείο του Α, εκτός του 1 (επειδή το Β είναι ανοικτό στο 1). Το σύνολο Γ έχει ένα στοιχείο λιγότερο από το Α (το 1). Το σύνολο Γ είναι υποσύνολο του Β (για τους λόγους που αναλύθηκαν παραπάνω), με το Β να έχει τουλάχιστον 2 στοιχεία διαφορετικά του Γ (το 3/4 και 4/5).
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
DumeNuke
Τιμώμενο Μέλος
Ο DumeNuke αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Είναι Φοιτητής και μας γράφει απο Θεσσαλονίκη (Θεσσαλονίκη). Έχει γράψει 4,125 μηνύματα.
25-02-14
15:38
Έστω Α το σύνολο των φυσικών (1,2,3,4,5,6...) και Β=(0,1).
Για κάθε στοιχείο n του Α, εκτός του 1, υπάρχει στοιχείο m του Β, τέτοιο ώστε να συνδέονται με τη σχέση:
n*m=1 ή m=1/n
Δηλαδή, το 2 ανήκει στο A, το 1/2 στο Β, το 3 στο Α, το 1/3 στο Β, κ.ο.κ.
Επομένως, για n στοιχεία του συνόλου Α υπάρχουν n-1 στοιχεία στο σύνολο Β. Αν βρούμε τουλάχιστον 2 στοιχεία που ανήκουν στο Β, αλλά όχι στο Α, τότε το σύνολο Β είναι μεγαλύτερο.
Το 3/4 και 4/5 είναι δύο τέτοια στοιχεία, διαφορετικά μεταξύ τους. Επομένως για n στοιχεία του Α υπάρχουν τουλάχιστον n+1 στοιχεία στο Β, γεγονός που καθιστά το σύνολο Β=(0,1) μεγαλύτερο του συνόλου Α των φυσικών.
Από βιντεάκι στο youtube.
Για κάθε στοιχείο n του Α, εκτός του 1, υπάρχει στοιχείο m του Β, τέτοιο ώστε να συνδέονται με τη σχέση:
n*m=1 ή m=1/n
Δηλαδή, το 2 ανήκει στο A, το 1/2 στο Β, το 3 στο Α, το 1/3 στο Β, κ.ο.κ.
Επομένως, για n στοιχεία του συνόλου Α υπάρχουν n-1 στοιχεία στο σύνολο Β. Αν βρούμε τουλάχιστον 2 στοιχεία που ανήκουν στο Β, αλλά όχι στο Α, τότε το σύνολο Β είναι μεγαλύτερο.
Το 3/4 και 4/5 είναι δύο τέτοια στοιχεία, διαφορετικά μεταξύ τους. Επομένως για n στοιχεία του Α υπάρχουν τουλάχιστον n+1 στοιχεία στο Β, γεγονός που καθιστά το σύνολο Β=(0,1) μεγαλύτερο του συνόλου Α των φυσικών.
Από βιντεάκι στο youtube.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
DumeNuke
Τιμώμενο Μέλος
Ο DumeNuke αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Είναι Φοιτητής και μας γράφει απο Θεσσαλονίκη (Θεσσαλονίκη). Έχει γράψει 4,125 μηνύματα.
24-02-14
16:59
και αντιστροφα να το κανεις ,δηλαδη να αντιστοιχησεις τους (0,1) στους φυσικους παλι το ιδιο θα βγει.γενικως δυο συνολα (ειτε πεπερασμενα ειτε απειροσυνολα) ειναι ισα οταν υπαρχει μια συναρτηση 1-1 και επι που να τα συνδεει.βεβαια στο συγκεκριμενο παραδειγμα δεν υπαρχει αναλυτικος τυπος συναρτησης αλλα η συλλογιστικη διαδικασια που προαναφερθηκε.για να σκεφτουμε ομως ...ποιοι ειναι περισσοτεροι οι ακεραιοι ή οι ζυγοι?υπαρχει μηπως μια 1-1 και επι συναρτηση που να τους συνδεει?
Κάθε ζυγός αριθμός είναι και ακέραιος. Επομένως το σύνολο των Ζυγών είναι υποσύνολο αυτού των Ακεραίων. Ισχύει δηλαδή η ανισο-ισότητα:
Ζ<=Α
Αν λοιπόν βρεθεί ένας τουλάχιστον αριθμός ο οποίος είναι ακέραιος, αλλά όχι ζυγός, το σύνολο Α είναι μόνο μεγαλύτερο του Ζ, καθώς περιέχει όλα τα στοιχεία του Ζ συν τον αριθμό που βρήκαμε.
Ο αριθμός 1 είναι ακέραιος αλλά δεν είναι ζυγός. Άρα το πλήθος των ακεραίων είναι μεγαλύτερο αυτού των ζυγών.
Για την παραπάνω "εμπειρική" προσέγγιση χρησιμοποίησα το γεγονός ότι "κάθε ζυγός είναι και ακέραιος". Μια σχέση που συνδέει τα σύνολα Α και Ζ. Υπάρχει κάποια αντίστοιχη που συνδέει τα σύνολα των Α (ακεραίων) και Β=(0,1)? Η πρόταση κλειδί της 'απόδειξης' του βίντεο είναι ότι "εξαντλούμε του ακέραιους του συνόλου Α, χωρίς να εξαντλούμε τα στοιχεία του συνόλου Β".
Για την ακρίβεια, "Θεωρούμε ότι εξαντλούμε..." .....
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.