Δρ. Σπίτης
Εκκολαπτόμενο μέλος
Ο Δρ. Σπίτης αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Είναι Φοιτητής. Έχει γράψει 195 μηνύματα.
03-05-13
15:06
Ναι, το γνωρίζω αυτό, αλλά έτσι προκύπτει από τα νούμερα (για κάτσε να ξαναδώ τις πράξεις μου τότε...)Δεν αναπηδα = εξαφανιζεται συνιστωσα υ καθετη στο κεκλιμενο. Αυτο ομως δε σημαινει οτι κανει αμεσως κυλιση χωρις ολισθηση.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Δρ. Σπίτης
Εκκολαπτόμενο μέλος
Ο Δρ. Σπίτης αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Είναι Φοιτητής. Έχει γράψει 195 μηνύματα.
02-05-13
15:09
Επειδή είμαι λίγο γκασμάς σε σχέση με LaTeX, τύπους, κλπ. γράφω εδώ περιληπτικά τη λύση μου και μόνο τα αποτελέσματα για να μου πεις αν τα έχω σωστά (σόρι αν σου βγουν τα μάτια από τα σύμβολα):Μια που το θέμα ξεθάφτηκε, για όσους τέλειωσαν την επανάληψή τους στα κύματα, υπάρχει κάτι ενδιαφέρον στο "Στερεό":
Μια ομογενής ξύλινη ράβδος AB μήκους ℓ = 0,3m και μάζας M = 1kg ισορροπεί ελεύθερη σε λείο οριζόντιο επίπεδο. Ένα αμελητέων διαστάσεων σφαιρίδιο μάζας m = 0,5kg που κινείται οριζόντια με ταχύτητα υ1 = 15 m/s συγκρούεται κάθετα στο σημείο Γ της ράβδου το οποίο απέχει απόσταση ΟΓ = ℓ/4 από το μέσο Ο της ράβδου και η κρούση είναι ελαστική και ακαριαία. Να βρείτε:
α) Την ταχύτητα του κέντρου μάζας της ράβδου αμέσως μετά την κρούση.
β) Τον άξονα γύρω από τον οποίο θα περιστραφεί η ράβδος και τη γωνιακή ταχύτητα που θα αποκτήσει.
γ) Την ταχύτητα του σφαιριδίου μετά την κρούση.
δ) Τον αριθμό των περιστροφών που θα εκτελέσει η ράβδος στο χρονικό διάστημα που απαιτείται για να μετατοπιστεί το κέντρο μάζας της κατά χ = 8m.
ε) Το μέτρο της ταχύτητας του άκρου Β της ράβδου, όταν αυτή θα έχει συμπληρώσει 15,75 περιστροφές.
(Ροπή αδράνειας ράβδου ως προς άξονα που περνά από το κέντρο μάζας της και είναι κάθετος σ΄αυτήν Ι = 1/12 Μ ℓ², g = 10m/s²).
υ1, ταχύτητα σφαιριδίου αμέσως πριν την κρούση
υ2, ταχύτητα σφαιριδίου αμέσως μετά την κρούση
υcm, ταχύτητα του κέντρου μάζας της ράβδου αμέσως μετά την κρούση
ω, γωνιακή ταχύτητα της ράβδου αμέσως μετά την κρούση
α) Από ΑΔΟ και ΑΔΣ αφαιρώντας κατά μέλη παίρνουμε υcm = ω * l / 3 (1)
Επειδή η κρούση είναι ελαστική, η κινητική ενέργεια του συστήματος διατηρείται. Στην ΑΔΕ αντικαθιστούμε το ω με βάση την παραπάνω σχέση, φτιάχνουμε διαφορά τετραγώνων και διαιρούμε κατά μέλη με τη σχέση που προέκυψε από την ΑΔΟ, ώστε να προκύψει πρωτοβάθμιο σύστημα. Από τη λύση του τελευταίου προκύπτει υcm = 8m/s, με διεύθυνση παράλληλη στο οριζόντιο επίπεδο, κάθετη στη ράβδο και φορά προς τα δεξιά, όπως βλέπουμε το σχήμα.
β) Επειδή η ράβδος είναι ελεύθερο σώμα, θα περιστραφεί γύρω από το κέντρο μάζας της (ακριβέστερα, γύρω από άξονα που περνάει από το κέντρο μάζας της και είναι κάθετος στο οριζόντιο επίπεδο)
Από τη σχέση (1) παίρνουμε ω = 80 rad/s, με διεύθυνση κάθετη στο οριζόντιο επίπεδο και φορά προς τα πάνω, δηλαδή η ράβδος περιστρέφεται αριστερόστροφα (αγγλιστί, αντίθετα προς τη φορά των δεικτών του ρολογιού)
γ) Από το τελικό γραμμικό σύστημα του ερωτήματος (α) προέκυψε υ2 = 1 m/s, με κατεύθυνση αντίθετη της αρχικής της.
δ) Επειδή το οριζόντιο επίπεδο είναι λείο, μετά την κρούση υcm και ω παραμένουν σταθερές, συνεπώς x = ucm * t και θ = ω * t => θ = ω * χ / υcm => N = θ/2π = 40/π περιστροφές ή περίπου 12,7 περιστροφές.
ε) Μετά από 15 + 3/4 περιστροφές η ράβδος θα είναι σε τέτοια θέση ώστε υγρΒ κάθετη στη ucm. Όμως υγρΒ = ω * l /2 = (3/2) * ucm
Συνεπώς υΒ = ρίζα(υγρΒ^2 + υcm^2) = ucm* ρίζα(13)/2 = 4 ρίζα(13) m/s ή περίπου 14,42 m/s
υ2, ταχύτητα σφαιριδίου αμέσως μετά την κρούση
υcm, ταχύτητα του κέντρου μάζας της ράβδου αμέσως μετά την κρούση
ω, γωνιακή ταχύτητα της ράβδου αμέσως μετά την κρούση
α) Από ΑΔΟ και ΑΔΣ αφαιρώντας κατά μέλη παίρνουμε υcm = ω * l / 3 (1)
Επειδή η κρούση είναι ελαστική, η κινητική ενέργεια του συστήματος διατηρείται. Στην ΑΔΕ αντικαθιστούμε το ω με βάση την παραπάνω σχέση, φτιάχνουμε διαφορά τετραγώνων και διαιρούμε κατά μέλη με τη σχέση που προέκυψε από την ΑΔΟ, ώστε να προκύψει πρωτοβάθμιο σύστημα. Από τη λύση του τελευταίου προκύπτει υcm = 8m/s, με διεύθυνση παράλληλη στο οριζόντιο επίπεδο, κάθετη στη ράβδο και φορά προς τα δεξιά, όπως βλέπουμε το σχήμα.
β) Επειδή η ράβδος είναι ελεύθερο σώμα, θα περιστραφεί γύρω από το κέντρο μάζας της (ακριβέστερα, γύρω από άξονα που περνάει από το κέντρο μάζας της και είναι κάθετος στο οριζόντιο επίπεδο)
Από τη σχέση (1) παίρνουμε ω = 80 rad/s, με διεύθυνση κάθετη στο οριζόντιο επίπεδο και φορά προς τα πάνω, δηλαδή η ράβδος περιστρέφεται αριστερόστροφα (αγγλιστί, αντίθετα προς τη φορά των δεικτών του ρολογιού)
γ) Από το τελικό γραμμικό σύστημα του ερωτήματος (α) προέκυψε υ2 = 1 m/s, με κατεύθυνση αντίθετη της αρχικής της.
δ) Επειδή το οριζόντιο επίπεδο είναι λείο, μετά την κρούση υcm και ω παραμένουν σταθερές, συνεπώς x = ucm * t και θ = ω * t => θ = ω * χ / υcm => N = θ/2π = 40/π περιστροφές ή περίπου 12,7 περιστροφές.
ε) Μετά από 15 + 3/4 περιστροφές η ράβδος θα είναι σε τέτοια θέση ώστε υγρΒ κάθετη στη ucm. Όμως υγρΒ = ω * l /2 = (3/2) * ucm
Συνεπώς υΒ = ρίζα(υγρΒ^2 + υcm^2) = ucm* ρίζα(13)/2 = 4 ρίζα(13) m/s ή περίπου 14,42 m/s
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Δρ. Σπίτης
Εκκολαπτόμενο μέλος
Ο Δρ. Σπίτης αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Είναι Φοιτητής. Έχει γράψει 195 μηνύματα.
09-04-13
15:26
Κανονικά πρέπει να πεις ότι η περίοδος αυξάνεται, αφού αυξάνεται το b ( από b=0 γίνεται b>0 ), αλλά η αύξηση αυτή της περιόδου μπορεί να θεωρηθεί αμελητέα αν το τελικό b είναι μικρό (όπως λέει και το σχολικό).Στην ουσία, αυτό που σου ζητάει έμμεσα η άσκηση, είναι "η περίοδος μιας ταλάντωσης θα αλλάξει αν αυτή από αμείωτη γίνει φθίνουσα;".
Η απάντηση, (αν και λέει πως όντως αλλάζει ελάχιστα η περίοδος το σχολικό) είναι πως παραμένει σταθερή.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.