billthevampire
Εκκολαπτόμενο μέλος
Ο billthevampire αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Έχει γράψει 310 μηνύματα.
25-09-05
18:06
Nessa Netmonster την f(x) = f '(x) δεν την ολοκληρώνουμε με χωριζόμενες μεταβλητές αλλά έχουμε γραμμική διαφορική εξίσωση πρώτης τάξεως. Το μόνο λάθος που έκανα είναι αντί να πολλαπλασιάσω την f '(x) - f(x) = 0 με e^x και να την διεραίσω με e^2(x) έτσι ώστε να φτιάξω παράγωγο πηλίκου πολλαπλασίασα μόνο e^x και έκανα παράγωγο γινομένου λάθος. Τώρα αν φτιάξεις παράγωγο πηλίκου φτιάχνεις την (f(x)/e^x)' = 0 και κάνωντας πράξεις και αντικαταστάσεις στις άλλες σχέσεις βρίσκεις ότι a=0 ή f(x)=1. An a = 0 τότε f(x) = 0 αφού f(x) = a * e^x. Τέλος δεν μπορείς να αγνοήσεις αν η f(x) = 0 ικανοποιεί και άλλες σχέσεις γιατί το f '(x) = f^2(x) προκύπτει από το ότι f(x) = f '(x) και f(x) = f^2(x). Ζητάω συγγνώμη για το λάθος που έκανα στις πράξεις είμαι ελεηνός
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 18 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
billthevampire
Εκκολαπτόμενο μέλος
Ο billthevampire αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Έχει γράψει 310 μηνύματα.
25-09-05
17:07
Πρώτον η άσκηση είναι λυμένη λάθος από την αρχή. Εννοώ ότι το f(x) = 0 δεν προκύπτει από ολοκλήρωση της σχέσης f '(x) = f^2(x) γιατί για να την λύσεις την διαφορική αυτή εξίσωση με χωριζόμενες μεταβλητές θα πρέπει το f(x) να είναι διάφορο του 0. Τώρα αν ολοκληρώσουμε την σχέση f '(x) /f^2(x) = 1 προκύπτει ότι f(x) = -1/x+c το c δεν χρειάζεται να είναι διάφορο του 0 για να ισχύει ότι f '(x) = f^2(x) γιατί μετα την παραγώγηση της f(x) το c δεν εμφανίζεται πουθενά αλλού εκτός από τον παρονομαστή και προκύπτει ότι f '(x) = 1/(x+c)^2 που είναι το f^2(x). Το c=0 όπως καλά είπε ο Puff_Dady δεν προκύπτει αν δεν μας δώσουν πρώτα αρχικές συνθήκες. Προφανώς το c=0 βγήκε από το νου σας. Το f(x) = 0 δεν είναι μία ιδιάζουσα λύση της f '(x) = f^2(x) αλλά επιπλέον ισχύει ότι f(x)=f '(x) (**) και f(x) = f^2(x) από όπου προκύπτει κιόλας το f '(x) = f^2(x). Ξεκινώντας με το να ολοκληρώσουμε την σχέση (**) βρίσκουμε μετά την ολοκλήρωση της ότι f(x) = a/e^x όπου a?R και την αντικαθιστούμε στις σχέσεις f(x) = f^2(x) και f '(x) = f^2(x) και βρίσκουμε ότι -a = a που αυτό ισχύει μόνο όταν a=0 οπότε αφού a=0 προκύπτει ότι και f(x) = 0. Μπερδευτήκατε μάλλον με το f(x) = 0 γιατί αυτή η συνάρτηση δεν ικανοποιεί μόνο την f '(x) = f^2(x).
ΔΙΟΡΘΩΣΗ :
Έχουμε f(x) = f '(x) <=> f '(x) - f(x) = 0 <=> e^x * f`(x) - e^x * f(x) / e^2x = 0 <=> ( f(x) / e^x )' = 0 οπότε υπάρχει σταθερά a?R τέτοια ώστε
f(x) / e^x = a οπότε f(x) = a * e^x. Όμως f(x) = f^2(x) <=> a * e^x = a^2 * e^2x <=> a = a^2 * e^x έτσι προκύπτει ότι a = 0 ή f(x) = 1. Αν a=0
τοτε f(x) = 0 το f(x) = 1 απορρίπτεται γιατί δεν ικανοποιεί την σχέση f(x) = f '(x). Οπότε η λύση είναι η f(x) = 0.
ΔΙΟΡΘΩΣΗ :
Έχουμε f(x) = f '(x) <=> f '(x) - f(x) = 0 <=> e^x * f`(x) - e^x * f(x) / e^2x = 0 <=> ( f(x) / e^x )' = 0 οπότε υπάρχει σταθερά a?R τέτοια ώστε
f(x) / e^x = a οπότε f(x) = a * e^x. Όμως f(x) = f^2(x) <=> a * e^x = a^2 * e^2x <=> a = a^2 * e^x έτσι προκύπτει ότι a = 0 ή f(x) = 1. Αν a=0
τοτε f(x) = 0 το f(x) = 1 απορρίπτεται γιατί δεν ικανοποιεί την σχέση f(x) = f '(x). Οπότε η λύση είναι η f(x) = 0.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 18 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.