drosos
Πολύ δραστήριο μέλος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
drosos
Πολύ δραστήριο μέλος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
drosos
Πολύ δραστήριο μέλος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
drosos
Πολύ δραστήριο μέλος
θεματα
Η συνάρτηση f: IR -> IR είναι συνεχής και για κάθε x *ανήκει* IR ισχύει:
(1 + 3α^2)f(x) = e^(ολοκλήρωμα με άκρα ολοκλήρωσης: κάτω: "Χ" πάνω "1" και μέσα συνάρτηση 2tf(t)dt
Όπου α *ανήκει* IR – {0}
Γ.1. Να αποδείξετε ότι:
Ι. Η F είναι παραγωγίσιμη με f’(x) = -2xf^2(x)
II. f(x) = 1 / (x^2 +3a^2)
Γ.2. Να αποδείξετε ότι η τιμή του ολοκληρώματος (ολοκλήρωμα με άκρα ολοκλήρωσης: Κάτω: "0" πάνω "α" και συνάρτηση: tf(t)dt) είναι ανεξάρτητη του α.
Γ.3. Να μελετήσετε και να παραστήσετε γραφικά την f.
Γ.4. Αν Ε είναι το εμβαδό του χωρίου που ορίζεται από τους άξονες, την γραφική παράστηση της f και την ευθεία x=α, να αποδείξετε ότι:
1 / 4|α| < Ε < 1 / 3|α|
Θέμα Δ
Η συνάρτηση f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο IR με f(0) = 2, lim(x τείνει στο -2) (f(x) - 2e^(x+2) ) / (x+ 2) = 1
και f’’(x) < 0 για κάθε x *ανήκει* IR
Να αποδείξετε ότι:
Δ.1. f’(-2) = 1 και f(x) ≤ x + 4 για κάθε x *ανήκει* IR
Δ.2. Η f παρουσιάζει μέγιστο σε σημείο x0 *ανήκει* ( -2, 0 )
Δ.3. Η εξίσωση: f'( Ολοκλήρωμα με άκρα ολοκλήρωσης: κάτω: 0 πάνω: 2(χ-5) και εσωτερική συνάρτηση: f(t-x)dt ) = f'(0)
έχει μοναδική λύση στο IR την x = 5
Δ.4. Ο μιγαδικός αριθμός z για τον οποίο ισχύει f(|z + i|) ≤ f(|z| + 1) είναι φανταστικός.
ΘΕΜΑ Α
Α.1. Να αποδείξετε ότι αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σ’ ένα σημείο x0, τότε είναι συνεχής στο σημείο αυτό. (μονάδες 5)
Α.2. Πότε μία συνάρτηση f με πεδίο ορισμού Α παρουσιάζει ολικό μέγιστο στο x0 *ανήκει* Α;
Α.3. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f(x) = α^χ , a>0 είναι παραγωγίσιμη στο IR και ισχύει f’(x) = α^χlna
Α.4. Να βρείτει ποιοι από τους επόμενους ισχυρισμούς είναι αληθείς και ποιοι ψευδείς:
i. Μία συνάρτηση είναι «1-1» αν και μόνο αν δεν υπάρχουν σημεία της γραφικής της παράστασης με ίδια τεταγμένη.
ii. i^(4ν+3) = i, για κάθε ν *ανήκει* ΙΝ
iii. Αν lim(χ τείνει στο χο)f(x) > 0 τότε f(x) > 0 κοντά στο x0
iv. Αν δύο μεταβλητά μεγέθη x,y συνδέονται με τη σχέση y=f(x), όταν f είναι μία συνάρτηση παραγωγίσιμη στο x0, τότε ο ρυθμός μεταβολής του y ως προς x στο σημείο x0 είναι η παράγωγος y=f’(x0)
v. Αν μία συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα Δ τότε τα εσωτερικά σημεία x0 του Δ, στα οποία f’(x0) =/ 0, δεν είναι θέσεις τοπικών ακροτάτων της f.
ΘΕΜΑ Β
Δίνονται οι συναρτήσεις f(x) = e^(x-2) και g(x) = lnx + 2
Β.1. Να βρείτε τις συναρτήσεις fog και gof και να εξετάσετε αν είναι ίσες.
Β.2. Να αποδείξετε ότι η f έχει αντίστροφη και να βρείτε την f-1
Β.3. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση e^(x-2) = lnx + 2 έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα (e^(-2) , 2)
Β.4. Να αποδείξετε ότι:
lim(x τείνει στο - άπειρο) f(x) / (gof)(x) = lim(x τείνει στο + άπειρο) g(x) / (fog)(x) = 0
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
drosos
Πολύ δραστήριο μέλος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
drosos
Πολύ δραστήριο μέλος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
drosos
Πολύ δραστήριο μέλος
Ασε εγω την εκανα γρηγορα γρηγορα την μελετη να παω παρακατω και βρηκα λαθος την δευτερη παραγωγο και μου βγηκαν λαθος τα παρακατω. Παλι καλα που το ειδα οταν τα ξανακοιταζα και το διορθωσα. Μπορουσαν απλα να βρουμε μονοτονια και κυρτοτητα, τι την θελουν την γραφικη παραστασηΕγώ δεν έλυσα Γ4 και Δ4! :/
Δεν είχα και χρόνο να τα παλέψω πολύ εξαιτίας της μελέτης! :/
Tα άλλα νομίζω οτι μου βγήκαν σχετικά εύκολα.Ελπίζω μόνο να μην έχω κάνει και κανένα άλλο λάθος.Πάντως και το Γ1-ii) αν και εύκολο,μου έφαγε κάμποσο χρόνο επειδή δεν είχα δει οτι f(x)=/0! :S
Ελπίζω το 85+ να το έχω πιάσει.Ευτυχώς τα θέματα Α και Β ήταν επιεικώς γελοία και έφτασα άνετα,ξεκούραστα και γρήγορα στο 50.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
drosos
Πολύ δραστήριο μέλος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
drosos
Πολύ δραστήριο μέλος
Λοιπον οποιος θελει λυσεις γραφει εδω και του στελνω. Και οσοι περνετε να τις στελνετε και σε αλλους που ζητανε γιατι θα τελειωσω του χρονου μονος μου
υγ:η ποιοτητα δεν ειναι τοσο καλη αλλα με λιγο ζοομ θα τα βρειτε!
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
drosos
Πολύ δραστήριο μέλος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
drosos
Πολύ δραστήριο μέλος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
drosos
Πολύ δραστήριο μέλος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
drosos
Πολύ δραστήριο μέλος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
drosos
Πολύ δραστήριο μέλος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
drosos
Πολύ δραστήριο μέλος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
drosos
Πολύ δραστήριο μέλος
Εμενα παντως μου φανηκαν πολυ ωραια θεματα, δυσκολα(οεφε ειναι τι περιμεναμε ), και καλυπταν μεγαλο μερος της υλης. Το μονο αρνητικο οτι απουσιαζαν οι μιγαδικοι.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
-
Το forum μας χρησιμοποιεί cookies για να βελτιστοποιήσει την εμπειρία σας.
Συνεχίζοντας την περιήγησή σας, συναινείτε στη χρήση cookies στον περιηγητή σας.