ξαροπ
Πολύ δραστήριο μέλος
Ο Ιάσων αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Είναι 29 ετών, Φοιτητής και μας γράφει απο ΗΠΑ (Αμερική). Έχει γράψει 1,575 μηνύματα.
01-07-11
21:20
Έχει περάσει αρκετός καιρός από τότε που παρουσιάστηκε το πρόβλημα με το τετράγωνο και το εσωτερικό του ισόπλευρο τρίγωνο, οπότε ας δώσω και δυο τρόπους αντιμετώπισης, έναν σύντομο και έναν μάλλον αχρείαστα μεγάλο (αν χάνω κάπου, να μου το πει κανείς).
1ος Τρόπος:
Κατ' αρχάς υπάρχει σημείο στο εσωτερικό του τετραγώνου, ώστε να σχηματίζεται ισόπλευρο τρίγωνο με κορυφές αυτό το σημείο και άλλες δυο κορυφές του τετραγώνου; Η απάντηση είναι ναι, υπάρχει, και η απόδειξη δίνεται χωρίς λόγια με το παρακάτω σχήμα.
Αφού ξέρουμε ότι υπάρχει, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την εις άτοπον απαγωγή στο ερώτημα της άσκησης.
Έστω λοιπόν τετράγωνο ABCD, και σημείο Ε στο εσωτερικό του τέτοιο ώστε
(γωνίες) και έστω ότι το τρίγωνο EDC δεν είναι ισόπλευρο. Τότε θα υπάρχει στο εσωτερικό του τετραγώνου ένα σημείο F διάφορο του E ώστε το τρίγωνο FDC να είναι ισόπλευρο.
Τότε (δες σχήμα) θα ισχύει
και
.
Δηλαδή τα τρίγωνα AFD, FCB είναι ισοσκελή με γωνίες αντίστοιχα.
Επιπλέον, οι γωνίες ADF, FCB ισούνται με 30 μοίρες ως συμπληρωματικές των γωνιών του ισοπλεύρου τριγώνου FDC, άρα οι γωνίες
.
Δηλαδή έχουμε ότι οι γωνίες
ως συμπληρωματικές των
αντίστοιχα.
Επειδή , το σημείο κινείται επί της ευθείας και όμοια συμπεραίνουμε ότι κινείται και επί της , δηλαδή συμπίπτει με την τομή των ευθειών , άτοπο από τις αρχικές μας υποθέσεις.
Έτσι η αρχική πρόταση ισχύει και το τρίγωνο είναι ισόπλευρο.
2ος Τρόπος:
Προτού αντιμετωπίσουμε το αρχικό πρόβλημα, θα ασχοληθούμε με το παρακάτω υπο-πρόβλημα. Φυσικά μπορούμε να βρούμε από οπουδήποτε (κομπιουτεράκι, wolfram alpha κτλ.) αυτό που ζητάει και να προχωρήσουμε κατ' ευθείαν στο ζητούμενο, αλλά είναι διδακτικό σαν γεωμετρική άσκηση.
"Να βρεθεί το ημίτονο των και ."
Για να το βρω, χρησιμοποίησα απολύτως βασικά 'τεχνάσματα' (τίποτα δηλαδή από την τριγωνομετρία που διδάσκεται στις τάξεις του Λυκείου), όπως το Πυθαγόρειο Θεώρημα, αλλά φαντάζομαι υπάρχουν και πιο απλοί τρόποι να βρει κανείς το ζητούμενο.
Φέρουμε κύκλο και σημείο του κύκλου. Η μεσοκάθετος του τέμνει το στο και τον κύκλο (εκτός του τόξου BC) στο .
Έστω επίσης ότι η γωνία (για να αποφύγουμε μπλέξιμο με πρόσημα κτλ., λέω πως ).
Είναι
επειδή στο ισοσκελές τρίγωνο CAB το ύψος AE είναι και διχοτόμος, καθώς και
λόγω της σχέσης επίκεντρης - εγγεγραμμένης γωνίας που βαίνουν στο ίδιο τόξο.
Έχουμε
. (1)
Με εφαρμογή του Π.Θ. στο ίδιο τρίγωνο έχουμε
. (2)
Επίσης, αφού , με εφαρμογή του Π.Θ. πάλι έχουμε
. (3)
Τέλος έχουμε
. (4)
Από τη σχέση (4), θέτουμε
(δεν βάζω π/3 για να είναι πιο κατανοητό) και λαμβάνουμε έτσι
Επίσης
( γιατί; )
Πάμε τώρα στο κυρίως πρόβλημα.
Έστω πάλι τετράγωνο με , σημείο στο εσωτερικό του τέτοιο ώστε οι γωνίες και έστω το ίχνος της καθέτου από το Ε προς την ΑD.
Στο ορθ. τρίγωνο έχουμε , άρα
. (5)
Επίσης
(6)
Βρίσκουμε το εμαδόν του τριγώνου ΑΕΒ, το οποίο ισούται με
(7),
κι από την ισότητα των τριγώνων ΑΕΒ, EDC όπως είχαμε συζητήσει παραπάνω, προκύπτει και .
Βρίσκουμε και το εμβαδόν του τριγώνου ADE, το οποίο ισούται με
( 8 ).
Συνδυάζοντας τις (7), ( 8 ), προκύπτει πως
.
Έχουμε πρακτικά τελειώσει, διότι το είναι το εμβαδόν τριγώνου με πλευρά a.
(ένας τρόπος για να τελειώσουμε από εδώ και πέρα είναι ο παρακάτω)
Το τρίγωνo BCE έχει μια πλευρά ίση με BC = a, άρα αν φέρουμε το ύψος EG προς την BC θα το βρούμε ίσο με κι επειδή το BCE είναι ισοσκελές (λόγω της ισότητας των τριγώνων ΑΕΒ, ΕDC), θα ισχύει
,
οπότε εύκολα με μια εφαρμογή του Π.Θ. στο τρίγωνο EBG προκύπτει ότι .
1ος Τρόπος:
Κατ' αρχάς υπάρχει σημείο στο εσωτερικό του τετραγώνου, ώστε να σχηματίζεται ισόπλευρο τρίγωνο με κορυφές αυτό το σημείο και άλλες δυο κορυφές του τετραγώνου; Η απάντηση είναι ναι, υπάρχει, και η απόδειξη δίνεται χωρίς λόγια με το παρακάτω σχήμα.
Αφού ξέρουμε ότι υπάρχει, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την εις άτοπον απαγωγή στο ερώτημα της άσκησης.
Έστω λοιπόν τετράγωνο ABCD, και σημείο Ε στο εσωτερικό του τέτοιο ώστε
(γωνίες) και έστω ότι το τρίγωνο EDC δεν είναι ισόπλευρο. Τότε θα υπάρχει στο εσωτερικό του τετραγώνου ένα σημείο F διάφορο του E ώστε το τρίγωνο FDC να είναι ισόπλευρο.
Τότε (δες σχήμα) θα ισχύει
και
.
Δηλαδή τα τρίγωνα AFD, FCB είναι ισοσκελή με γωνίες αντίστοιχα.
Επιπλέον, οι γωνίες ADF, FCB ισούνται με 30 μοίρες ως συμπληρωματικές των γωνιών του ισοπλεύρου τριγώνου FDC, άρα οι γωνίες
.
Δηλαδή έχουμε ότι οι γωνίες
ως συμπληρωματικές των
αντίστοιχα.
Επειδή , το σημείο κινείται επί της ευθείας και όμοια συμπεραίνουμε ότι κινείται και επί της , δηλαδή συμπίπτει με την τομή των ευθειών , άτοπο από τις αρχικές μας υποθέσεις.
Έτσι η αρχική πρόταση ισχύει και το τρίγωνο είναι ισόπλευρο.
2ος Τρόπος:
Προτού αντιμετωπίσουμε το αρχικό πρόβλημα, θα ασχοληθούμε με το παρακάτω υπο-πρόβλημα. Φυσικά μπορούμε να βρούμε από οπουδήποτε (κομπιουτεράκι, wolfram alpha κτλ.) αυτό που ζητάει και να προχωρήσουμε κατ' ευθείαν στο ζητούμενο, αλλά είναι διδακτικό σαν γεωμετρική άσκηση.
"Να βρεθεί το ημίτονο των και ."
Για να το βρω, χρησιμοποίησα απολύτως βασικά 'τεχνάσματα' (τίποτα δηλαδή από την τριγωνομετρία που διδάσκεται στις τάξεις του Λυκείου), όπως το Πυθαγόρειο Θεώρημα, αλλά φαντάζομαι υπάρχουν και πιο απλοί τρόποι να βρει κανείς το ζητούμενο.
Φέρουμε κύκλο και σημείο του κύκλου. Η μεσοκάθετος του τέμνει το στο και τον κύκλο (εκτός του τόξου BC) στο .
Έστω επίσης ότι η γωνία (για να αποφύγουμε μπλέξιμο με πρόσημα κτλ., λέω πως ).
Είναι
επειδή στο ισοσκελές τρίγωνο CAB το ύψος AE είναι και διχοτόμος, καθώς και
λόγω της σχέσης επίκεντρης - εγγεγραμμένης γωνίας που βαίνουν στο ίδιο τόξο.
Έχουμε
. (1)
Με εφαρμογή του Π.Θ. στο ίδιο τρίγωνο έχουμε
. (2)
Επίσης, αφού , με εφαρμογή του Π.Θ. πάλι έχουμε
. (3)
Τέλος έχουμε
. (4)
Από τη σχέση (4), θέτουμε
(δεν βάζω π/3 για να είναι πιο κατανοητό) και λαμβάνουμε έτσι
Επίσης
( γιατί; )
Πάμε τώρα στο κυρίως πρόβλημα.
Έστω πάλι τετράγωνο με , σημείο στο εσωτερικό του τέτοιο ώστε οι γωνίες και έστω το ίχνος της καθέτου από το Ε προς την ΑD.
Στο ορθ. τρίγωνο έχουμε , άρα
. (5)
Επίσης
(6)
Βρίσκουμε το εμαδόν του τριγώνου ΑΕΒ, το οποίο ισούται με
(7),
κι από την ισότητα των τριγώνων ΑΕΒ, EDC όπως είχαμε συζητήσει παραπάνω, προκύπτει και .
Βρίσκουμε και το εμβαδόν του τριγώνου ADE, το οποίο ισούται με
( 8 ).
Συνδυάζοντας τις (7), ( 8 ), προκύπτει πως
.
Έχουμε πρακτικά τελειώσει, διότι το είναι το εμβαδόν τριγώνου με πλευρά a.
(ένας τρόπος για να τελειώσουμε από εδώ και πέρα είναι ο παρακάτω)
Το τρίγωνo BCE έχει μια πλευρά ίση με BC = a, άρα αν φέρουμε το ύψος EG προς την BC θα το βρούμε ίσο με κι επειδή το BCE είναι ισοσκελές (λόγω της ισότητας των τριγώνων ΑΕΒ, ΕDC), θα ισχύει
,
οπότε εύκολα με μια εφαρμογή του Π.Θ. στο τρίγωνο EBG προκύπτει ότι .
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.