ξαροπ
Πολύ δραστήριο μέλος
Ο Ιάσων αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Είναι 29 ετών, Φοιτητής και μας γράφει απο ΗΠΑ (Αμερική). Έχει γράψει 1,575 μηνύματα.
28-06-11
22:04
Ίσως είναι λίγο αργά, αλλά δίνω το 4ο θεματάκι που έπεσε στις εξετάσεις φέτος στη Γεωμετρία, για όποιον θέλει να ασχοληθεί.
Έστω τρίγωνο ΑΒΓ, ισοσκελές και ορθογώνιο στο Α. Έστω ΑΚ (Κ ανήκει στη ΒΓ) ύψος και ΓΜ διάμεσος (Μ ανήκει στην ΑΒ) του τριγώνου, κι έστω Σ το σημείο τομής τους. Αν ΑΕ κάθετη προς τη ΓΜ (Ε ανήκει στη ΒΓ), να αποδείξετε ότι
(ii) ΑΣ = BE
(ii) 3ΒΕ = ΒΓ
Να σημειώσω επίσης ότι υπήρχε και ένα (i) ερώτημα, που ζητούσε την απόδειξη ισότητας δυο συγκεκριμένων γωνιών, αλλά δεν θυμάμαι ποιών (έτσι κι αλλιώς προέκυπτε άμεσα από το θεώρημα που υποστηρίζει ότι αν δυο γωνίες έχουν κάθετες τις πλευρές τους, τότε είναι ίσες ή παραπληρωματικές, επομένως δεν χάσατε και τίποτα). Η απάντηση του (i) μάλλον διευκόλυνε την απάντηση του (ii) αλλά έτσι ήδη έδωσα ένα hint.
Να σημειώσω επίσης ότι όταν έγραφα, δεν μου πέρασε καν από το μυαλό να λύσω το (ii) όπως το έλυσαν οι περισσότεροι, σε δυο γραμμές και απλά. Κατάφερα να βρω μια λύση λίγο ό,τι-να-'ναι, αλλά με άρεσε. Θα την ανεβάσω αργότερα, αν χρειαστεί.
Έστω τρίγωνο ΑΒΓ, ισοσκελές και ορθογώνιο στο Α. Έστω ΑΚ (Κ ανήκει στη ΒΓ) ύψος και ΓΜ διάμεσος (Μ ανήκει στην ΑΒ) του τριγώνου, κι έστω Σ το σημείο τομής τους. Αν ΑΕ κάθετη προς τη ΓΜ (Ε ανήκει στη ΒΓ), να αποδείξετε ότι
(ii) ΑΣ = BE
(ii) 3ΒΕ = ΒΓ
Να σημειώσω επίσης ότι υπήρχε και ένα (i) ερώτημα, που ζητούσε την απόδειξη ισότητας δυο συγκεκριμένων γωνιών, αλλά δεν θυμάμαι ποιών (έτσι κι αλλιώς προέκυπτε άμεσα από το θεώρημα που υποστηρίζει ότι αν δυο γωνίες έχουν κάθετες τις πλευρές τους, τότε είναι ίσες ή παραπληρωματικές, επομένως δεν χάσατε και τίποτα). Η απάντηση του (i) μάλλον διευκόλυνε την απάντηση του (ii) αλλά έτσι ήδη έδωσα ένα hint.
Να σημειώσω επίσης ότι όταν έγραφα, δεν μου πέρασε καν από το μυαλό να λύσω το (ii) όπως το έλυσαν οι περισσότεροι, σε δυο γραμμές και απλά. Κατάφερα να βρω μια λύση λίγο ό,τι-να-'ναι, αλλά με άρεσε. Θα την ανεβάσω αργότερα, αν χρειαστεί.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
ξαροπ
Πολύ δραστήριο μέλος
Ο Ιάσων αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Είναι 29 ετών, Φοιτητής και μας γράφει απο ΗΠΑ (Αμερική). Έχει γράψει 1,575 μηνύματα.
12-10-10
19:33
Έπεσε σήμερα ένα απλό μεν, με "ψαρωτική" εκφώνηση δε θεματάκι πάνω στις παράλληλες. Δείτε το:
Για δυο ευθείες ε1, ε2 του επιπέδου δίνεται ότι για κάθε ευθεία εκτός αυτών ισχύει ότι αν τέμνει την ε1, θα τέμνει και την ε2. Δείξτε ότι ε1 // ε2.
Για δυο ευθείες ε1, ε2 του επιπέδου δίνεται ότι για κάθε ευθεία εκτός αυτών ισχύει ότι αν τέμνει την ε1, θα τέμνει και την ε2. Δείξτε ότι ε1 // ε2.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
ξαροπ
Πολύ δραστήριο μέλος
Ο Ιάσων αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Είναι 29 ετών, Φοιτητής και μας γράφει απο ΗΠΑ (Αμερική). Έχει γράψει 1,575 μηνύματα.
23-05-10
13:01
Για βοήθεια. Δεν είπα "μην ρωτάτε και κάντε τα μονοι σας", αντιθέτως αυτό πρέπει να κάνετε, αλλά τα ποστ τύπου "Δια σώωωωωωσε μας" δείχνουν λες και κάποιος εξαρτάται ολοκληρωτικά από τον εκάστοτε Dias - δεν είναι έτσι όμως.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
ξαροπ
Πολύ δραστήριο μέλος
Ο Ιάσων αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Είναι 29 ετών, Φοιτητής και μας γράφει απο ΗΠΑ (Αμερική). Έχει γράψει 1,575 μηνύματα.
13-01-10
22:11
Θα πρέπει να είναι αλλιώς άμα είναι τυχαία σημεία του επιπέδου μπορείς να βρεις τρίγωνο για το οποίο να μην ισχύει το (α)
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
ξαροπ
Πολύ δραστήριο μέλος
Ο Ιάσων αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Είναι 29 ετών, Φοιτητής και μας γράφει απο ΗΠΑ (Αμερική). Έχει γράψει 1,575 μηνύματα.
14-10-09
21:07
@ lefteris94:
Αφού ΔΜ//ΑΕ, ΜΕ//ΔΑ έπεται ότι ΔΜ=ΑΕ και ΜΕ = ΔΑ. Με πρόσθεση κατά μέλη προκύπτει ΜΔ+ΜΕ = ΑΕ + ΑΔ. Λόγω ιδιοτήτων της παραλληλίας όμως, είναι <ΒΑΓ = <ΜΕΓ, άρα (δεδομένου ότι είναι ισοσκελές) θα είναι και ΜΕ=ΔΑ=ΕΓ. Τότε ΑΕ+ΕΓ = ΑΓ = ΑΒ = ΜΔ+ΜΕ.
@ iwannak:
α1) Έστω τα μέσα των δύο ίσων πλευρών του ισοσκελούς τριγώνου αντίστοιχα. Φέρνουμε κάθετες από τα σημεία αυτά πάνω στη βάση. Τότε αρκεί να δείξουμε ότι τα δυο ορθογώνια τρίγωνα που σχηματίζονται είναι ίσα. (Hint: πλευρά-γωνία, το ότι είναι ισοσκελές λέει πολλά...)
α2) Φέρνεις πάλι κάθετες από τα σημεία αυτά στις ίσες πλευρές, φέρνεις και την ευθεία και πάλι το αποδεικνύεις με ισότητα τριγώνων. (Hint: Η ευθεία που συνδέει τα μέσα των δυο πλευρών τριγώνου είναι παράλληλη στην τρίτη πλευρά...)
β) Λάθος είπα, μάρκο σωστός. Φέρνουμε τις δυο κάθετες και μετά ισότητα τριγώνων κατ' ευθείαν.
γ) Πάλι με ισότητα τριγώνων (ορθογωνίων) βγαίνει εύκολα.
Αφού ΔΜ//ΑΕ, ΜΕ//ΔΑ έπεται ότι ΔΜ=ΑΕ και ΜΕ = ΔΑ. Με πρόσθεση κατά μέλη προκύπτει ΜΔ+ΜΕ = ΑΕ + ΑΔ. Λόγω ιδιοτήτων της παραλληλίας όμως, είναι <ΒΑΓ = <ΜΕΓ, άρα (δεδομένου ότι είναι ισοσκελές) θα είναι και ΜΕ=ΔΑ=ΕΓ. Τότε ΑΕ+ΕΓ = ΑΓ = ΑΒ = ΜΔ+ΜΕ.
@ iwannak:
α1) Έστω τα μέσα των δύο ίσων πλευρών του ισοσκελούς τριγώνου αντίστοιχα. Φέρνουμε κάθετες από τα σημεία αυτά πάνω στη βάση. Τότε αρκεί να δείξουμε ότι τα δυο ορθογώνια τρίγωνα που σχηματίζονται είναι ίσα. (Hint: πλευρά-γωνία, το ότι είναι ισοσκελές λέει πολλά...)
α2) Φέρνεις πάλι κάθετες από τα σημεία αυτά στις ίσες πλευρές, φέρνεις και την ευθεία και πάλι το αποδεικνύεις με ισότητα τριγώνων. (Hint: Η ευθεία που συνδέει τα μέσα των δυο πλευρών τριγώνου είναι παράλληλη στην τρίτη πλευρά...)
β) Λάθος είπα, μάρκο σωστός. Φέρνουμε τις δυο κάθετες και μετά ισότητα τριγώνων κατ' ευθείαν.
γ) Πάλι με ισότητα τριγώνων (ορθογωνίων) βγαίνει εύκολα.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
ξαροπ
Πολύ δραστήριο μέλος
Ο Ιάσων αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Είναι 29 ετών, Φοιτητής και μας γράφει απο ΗΠΑ (Αμερική). Έχει γράψει 1,575 μηνύματα.
19-09-09
16:47
ΕΛΕΟΣ ΡΕ ΠΑΙΔΙΑ!!! προετοιμασια για την Α λυκειου ??!!? μικρα δεν ειστε ακομα???
Γιατι να κουραστειτε απο τωρα...??? Σκεφτειτε οτι για αλλα δυο χρονια προετοιμασια θα κανετε..(και μαμω τα εκπαιδευτικα συστηματα ειναι το ελληνικο..)
Ο Ευκλείδης μάλλον αναφερότανε σε αυτούς που μόλις τελείωσαν τη Γ' Γυμνασίου (πρόσεχε την ημερομηνία αποστολής). Και πού το ξέρεις ότι θα κάνουμε προετοιμασία τα επόμενα 2 χρόνια? Προσωπικά εγώ δεν έχω κάνει και ούτε πρόκειται να κάνω (εκτός άμα προκύψει από Β' σε Γ' Λυκείου).
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
ξαροπ
Πολύ δραστήριο μέλος
Ο Ιάσων αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Είναι 29 ετών, Φοιτητής και μας γράφει απο ΗΠΑ (Αμερική). Έχει γράψει 1,575 μηνύματα.
02-08-09
18:08
Αν και δεν θα πάω Α' Λυκείου, βάζω λύσεις (πού είναι το σπόιλερ?), γι αυτό μην κοιτάτε όσοι θέλετε να τις προσπαθήσετε.
(ευχαριστώ Άη-Σκουλ που με πέταξες έξω όταν έκανα την Υποβολή γκρντμπξφτου.)
α) Το Η είναι μέσον της ΒΓ, διότι από τη διάμεσο του ορθογωνίου τριγώνου ΑΒΔ παίρνουμε ΕΒ = ΕΑ, κι επειδή ΕΖ // ΒΓ, τότε και ΖΑ = ΖΓ. Τέλος, επειδή ΖΗ // ΑΒ, τότε και ΒΗ = ΗΓ.
Έχουμε λοιπόν ότι ΕΖ = ΒΓ/2 = ΒΗ και ΕΖ // ΒΗ, οπότε το ΕΒΗΖ είναι παραλληλόγραμμο, με ΒΕ = ΖΗ.
β) Ιδιότητα ορθογωνίου τριγώνου. Φέρνουμε τον περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου ΑΒΔ, κι επειδή είναι ορθογώνιο, η ορθή γωνία θα βαίνει στη διάμετρο, άρα το Ε είναι το κέντρο του κύκλου. Έτσι έχουμε ΕΒ = ΕΔ, ως ακτίνες ίδιου κύκλου και ΕΒΔ ισοσκελές.
γ) Ξέρουμε ήδη ότι ΕΖ // ΔΗ. Όμως αποδείξαμε από το (α) ότι ΕΒ = ΖΗ και από το (β) ότι ΕΒ = ΕΔ, άρα από (α) και (β) παίρνουμε ΕΔ = ΖΗ και ΕΔΗΖ ισοσκελές τραπέζιο.
(ευχαριστώ Άη-Σκουλ που με πέταξες έξω όταν έκανα την Υποβολή γκρντμπξφτου.)
α) Το Η είναι μέσον της ΒΓ, διότι από τη διάμεσο του ορθογωνίου τριγώνου ΑΒΔ παίρνουμε ΕΒ = ΕΑ, κι επειδή ΕΖ // ΒΓ, τότε και ΖΑ = ΖΓ. Τέλος, επειδή ΖΗ // ΑΒ, τότε και ΒΗ = ΗΓ.
Έχουμε λοιπόν ότι ΕΖ = ΒΓ/2 = ΒΗ και ΕΖ // ΒΗ, οπότε το ΕΒΗΖ είναι παραλληλόγραμμο, με ΒΕ = ΖΗ.
β) Ιδιότητα ορθογωνίου τριγώνου. Φέρνουμε τον περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου ΑΒΔ, κι επειδή είναι ορθογώνιο, η ορθή γωνία θα βαίνει στη διάμετρο, άρα το Ε είναι το κέντρο του κύκλου. Έτσι έχουμε ΕΒ = ΕΔ, ως ακτίνες ίδιου κύκλου και ΕΒΔ ισοσκελές.
γ) Ξέρουμε ήδη ότι ΕΖ // ΔΗ. Όμως αποδείξαμε από το (α) ότι ΕΒ = ΖΗ και από το (β) ότι ΕΒ = ΕΔ, άρα από (α) και (β) παίρνουμε ΕΔ = ΖΗ και ΕΔΗΖ ισοσκελές τραπέζιο.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
-
Το forum μας χρησιμοποιεί cookies για να βελτιστοποιήσει την εμπειρία σας.
Συνεχίζοντας την περιήγησή σας, συναινείτε στη χρήση cookies στον περιηγητή σας.