Άλλα μηνύματα του μέλους RORY σε αυτό το thread

RORY · 28-04-09

Αρχική Δημοσίευση από maira_leo:
καλησπερα σαααας! σορρυ αν σας ταλαιπωρω αλλα οποιος εχει την διαθεση να βοηθησειιιι... ειναι 3 ασκησουλες! εκπεμπω SOS

1)α)Να μελετησετε ως προς την μονοτονια την συναρτηση $f$ με τύπο $f(x)={a}^{x}+lna, 0<aneq1$
β)Να βρειτε το λεR ωστε να ισχυει ${a}^{lambda (lambda -2)}-{α}^{lambda -2}=(lambda -2)(1-lambda )lna$

2)Εστω συναρτηση f:R-->R, οπου α>0, ετσι ωστε να ισχυει ${[f '(x)]}^{2}=2f(x)$ για καθε $xepsilon R$
α)Να αποδειξετε οτι υπαρχει σταθερος αριθμος c ωστε για καθε $xepsilon R$ να ισχυει $f(x)=frac{{(x+c)}^{2}}{2}$
β)Nα μελετησετε την f ως προς την μονοτονια.

3)Εστω η συναρτηση f:R-->R η οποια ειναι παραγωγισιμη με συνεχη πρωτη παραγωγο και τετοια, ωστε $int_{1}^{2}f(x)dx=-f(1)$ και $int_{2}^{3}f(x)dx=3f(3)$ . Nα αποδειξετε οτι:
i) $int_{1}^{2}xf '(x)dx=int_{3}^{2}xf '(x)dx$
ii)Η συναρτηση $g(x)=int_{1}^{x}tf '(t)dt$ , $xepsilon [1,3]$ δεν ειναι 1-1
iii)Υπαρχει $xi epsilon (1,3)$ τετοιος ωστε $f '(xi )=0$

Αρχική Δημοσίευση από RORY:
δεν ξέρω latex ίσωσ δυσκολευτείς λίγο.
1.f'(x)=a^xlna Aν α=1 είναι σταθερή.Αν α>1 η Φ(χ) είναι γνησίως αύξουσα,αν 0<α<1 είναι γνησίως φθίνουσα.
Η σχέση για α=1 ισχύει. Εστω α διάφορο του 1.Στο β mέλος της σχέσης παίρνω -(λ-2)λlna+(λ-2)lna. Tα πάω στο πρώτο
και παίρνω f(λ(λ-2)=f(λ-2).Η φ είναι 1-1 άρα πρέπει λ(λ-2)=λ-2

2.....Θα παραγωγίσω την σχέση που δίνεται.Πρώτα όμως θα αποδείξουμε οότι υπάρχει η δεύτερη παράγωγος.
limf'(x)-f'(x0)/x-x0=πολλ.τοf'(x)+f'(x0)στον αριθμητη και στον παρον.και κανω την διαφορά τετραγώνων.=lim(f'(x)^2-f'(x0)^2)/(x-x0)(f'(x)+f'(x0)=lim(2(f(x)-f(x0))/(x-x0)(f'(x)+f'(x0))=το όριο υπάρχει κιαι ισούται με=2f'(x0)/2f'(x0)=1
Παραγωγίζω την αρχικη σχέση.
2f'(x)f"(x)=2f'(x) επειδή f'(x) όχι μηδέν παίρνω ότι f''(x)=1.Oλοκληρώνοντας 2 φορρές παίρνω το ζητούμενο.
β)γνωστο
3)Χρησιμοποιώ ολοκλήρωση κατά παράγοντες
ολοκληρωμα από 1έως3 της xf'(x)=[xf(x)](1εως3)-ολοκλήρωμα απο 1 έως3 της f(x) σχεση 1
ολοκλ.από 1 έως 3 τησ f(x)=oλοκλ.απο 1 έως 2 της f(x)+ολοκλ.από 2 έως 3 της f(x) σχέση 2
Αντικαθιστώ τις σχέσεις που δίνει η άσκηση στην σχέση 2 και μετά την σχέση 2 στην 1
και παίρνω ολοκλ.χf'(x) από 1 έως 3=0
Αυτό είναι το ζητούμενο αν το σπάσω σε δύο ολοκληρώματα και αλλάξω μέλη και πλευρικά όρια λογω του μείον.
2)Πράγματι γιατί g(1)=g(3)=0
3)Για την g του β ερωτήματος ισχύει:
g συνεχης στο [1,3],παραγωγίσιμη στο (1,3) και g(1)=g(3).από θ Rοlle
υπάρχει ξε(1,3) με g'(ξ)=0 ή ξf'(ξ)=0 ή f'(ξ)=0 επειδή ξ διάφορο του μηδέν.klk
-----------------------------------------

Αρχική Δημοσίευση από vanato07:

Rory το lna>0 γιατι ισχυει?

Click για ανάπτυξη...

έχεις δίκιο vanato.ευχαριστώ.

RORY · 28-04-09

Αρχική Δημοσίευση από maira_leo:
καλησπερα σαααας! σορρυ αν σας ταλαιπωρω αλλα οποιος εχει την διαθεση να βοηθησειιιι... ειναι 3 ασκησουλες! εκπεμπω SOS

1)α)Να μελετησετε ως προς την μονοτονια την συναρτηση $f$ με τύπο $f(x)={a}^{x}+lna, 0<aneq1$
β)Να βρειτε το λεR ωστε να ισχυει ${a}^{lambda (lambda -2)}-{α}^{lambda -2}=(lambda -2)(1-lambda )lna$

2)Εστω συναρτηση f:R-->R, οπου α>0, ετσι ωστε να ισχυει ${[f '(x)]}^{2}=2f(x)$ για καθε $xepsilon R$
α)Να αποδειξετε οτι υπαρχει σταθερος αριθμος c ωστε για καθε $xepsilon R$ να ισχυει $f(x)=frac{{(x+c)}^{2}}{2}$
β)Nα μελετησετε την f ως προς την μονοτονια.

3)Εστω η συναρτηση f:R-->R η οποια ειναι παραγωγισιμη με συνεχη πρωτη παραγωγο και τετοια, ωστε $int_{1}^{2}f(x)dx=-f(1)$ και $int_{2}^{3}f(x)dx=3f(3)$ . Nα αποδειξετε οτι:
i) $int_{1}^{2}xf '(x)dx=int_{3}^{2}xf '(x)dx$
ii)Η συναρτηση $g(x)=int_{1}^{x}tf '(t)dt$ , $xepsilon [1,3]$ δεν ειναι 1-1
iii)Υπαρχει $xi epsilon (1,3)$ τετοιος ωστε $f '(xi )=0$

δεν ξέρω latex ίσωσ δυσκολευτείς λίγο.
1α)f'(x)=α^χlnα>0 άρα f γνησίως αύξουσα.
1β)Το β μελος γίνεται -λ(λ-2)lnα+(λ-2)lnα.Τα πάμε όλα στο πρώτο και παρατηρώ ότι είναι το f(λ(λ-2)-f(λ-2)=0 ή f(λ(λ-2))=f(λ-2) Όμως η f είναι γν.αύξουσα άρα 1-1.
Οπότε αρκει να ισχυει λ(λ-2)=λ-2 κτλ
2.Θα παραγωγίσω την σχέση που δίνεται.Πρώτα όμως θα αποδείξουμε οότι υπάρχει η δεύτερη παράγωγος.
limf'(x)-f'(x0)/x-x0=πολλ.τοf'(x)+f'(x0)στον αριθμητη και στον παρον.και κανω την διαφορά τετραγώνων.=lim(f'(x)^2-f'(x0)^2)/(x-x0)(f'(x)+f'(x0)=lim(2(f(x)-f(x0))/(x-x0)(f'(x)+f'(x0))=το όριο υπάρχει κι\αι ισούται με=2f'(x0)/2f'(x0)=1
Παραγωγίζω την αρχικη σχέση.
2f'(x)f"(x)=2f'(x) επειδή f'(x) όχι μηδέν παίρνω ότι f''(x)=1.Oλοκληρώνοντας 2 φορρές παίρνω το ζητούμενο.
β)γνωστο
3)Χρησιμοποιώ ολοκλήρωση κατά παράγοντες
ολοκληρωμα από 1έως3 της xf'(x)=[xf(x)](1εως3)-ολοκλήρωμα απο 1 έως3 της f(x) σχεση 1
ολοκλ.από 1 έως 3 τησ f(x)=oλοκλ.απο 1 έως 2 της f(x)+ολοκλ.από 2 έως 3 της f(x) σχέση 2
Αντικαθιστώ τις σχέσεις που δίνει η άσκηση στην σχέση 2 και μετά την σχέση 2 στην 1
και παίρνω ολοκλ.χf'(x) από 1 έως 3=0
Αυτό είναι το ζητούμενο αν το σπάσω σε δύο ολοκληρώματα και αλλάξω μέλη και πλευρικά όρια λογω του μείον.
2)Πράγματι γιατί g(1)=g(3)=0
3)Για την g του β ερωτήματος ισχύει:
g συνεχης στο [1,3],παραγωγίσιμη στο (1,3) και g(1)=g(3).από θ Rοlle
υπάρχει ξε(1,3) με g'(ξ)=0 ή ξf'(ξ)=0 ή f'(ξ)=0 επειδή ξ διάφορο του μηδέν.

Άλλα μηνύματα του μέλους RORY σε αυτό το thread

RORY

Νεοφερμένος

RORY

Νεοφερμένος

Λοιπές Σελίδες