Civilara
Περιβόητο μέλος
Ο Civilara αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Μας γράφει απο Δανία (Ευρώπη). Έχει γράψει 4,344 μηνύματα.
17-07-09
22:47
...τότε γιατί διαιρείς με τον όρο Ρ(Β') και όχι με τον P(Β'/Β') εκεί που βρίσκεις τα P(Α/Β') και Ρ(Γ/Β');
Γιατί έτσι είναι το θεώρημα της δεσμευμένης πιθανότητας. Γενικά αν Α και Β δύο ενδεχόμενα του δειγματικού χώρου Ω τότε ισχύει P(A|B)=P(AτομήB)/P(B). Εκφράζουμε την πιθανότητα του ενδεχομένου A|B στον δειγματικό χώρο Β σε συνάρτηση με τις πιθανότητες των ενδεχομένων ΑτομήΒ και Β του δειγματικού χώρου Ω. Ίσως η δεσμευμένη πιθανότητα να υπάρχει και στο βιβλίο των μαθηματικών γενικής παιδείας αλλά ήταν εκτός ύλης.
Η απόδειξη είναι απλή
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Civilara
Περιβόητο μέλος
Ο Civilara αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Μας γράφει απο Δανία (Ευρώπη). Έχει γράψει 4,344 μηνύματα.
17-07-09
11:49
Έχεις δίκιο ότι αλλάζει ο δειγματικός χώρος αλλά στη νέα κατάσταση που βρίσκεσαι λες ότι P(B')=1-P(B)=2/3, πράγμα που ισχύει για την προηγούμενη κατάσταση κατά την οποία ο παρουσιαστής δεν είχε ανοίξει κάποια κουρτίνα. Στη νέα κατάσταση ,όπως λες και εσύ, έχουμε αποκλείσει την πιθανότητα να είναι στη Β και άρα P(B')=1.
Το μυστικό είναι να καταλάβουμε ότι εφόσον την Α την επιλέξαμε τυχαία και χωρίς να έχει επέμβει κάπου ο παρουσιαστής, τότε αυτή διατηρεί την πιθανότητα 1/3 που είχε αρχικά. Δηλαδή αν παραμένουμε πάντα στην αρχική μας επιλογή, οι πιθανότητες τελικά θα είναι όσες ήταν και αρχικά(1/3)!
Έτσι αφού έχουμε 2 κουρτίνες να επιλέξουμε, θα επιλέξουμε τη διαφορετική από αυτή που είχαμε επιλέξει αρχικά.
Όπως έχει ήδη ειπωθεί, το κλειδί στην υπόθεση είναι ότι εμείς γνωρίζουμε ότι ο παρουσιαστής γνωρίζει που βρίσκεται το αμάξι και η κουρτίνα που ανοίγει είναι μέρος του παιχνιδιού που συμβαίνει πάντα ανεξάρτητα ποια είναι η δικιά μας αρχική επιλογή.
Τα ενδεχόμενα Α,Β,Γ αναφέρονται στον δειγματικό χώρο Ω οπότε P(B΄)=2/3 και όχι 1. Τα ενδεχόμενα Α|Β΄ και Γ|Β΄ αναφέρονται στον δειγματικό χώρο Ω΄=Β΄. Οι πιθανότητες των ενδεχομένων του δειγματικού χώρου Ω΄ υπολογίζονται με την βοήθεια των πιθανοτήτων των ενδεχομένων του δειγματικού χώρου Ω.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Civilara
Περιβόητο μέλος
Ο Civilara αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Μας γράφει απο Δανία (Ευρώπη). Έχει γράψει 4,344 μηνύματα.
16-07-09
20:57
Εδώ έχουμε δεσμευμένη πιθανότητα ενδεχομένου. Η πιθανότητα να βρίσκεται το αμάξι σε μία κουρίνα είναι 1/3. Έτσι μετά το άνοιγμα της μιας κουρτίνας, η οποία δεν έκρυβε το αμάξι, αν δεν αλλάξω κουρτίνα η πιθανότητα να κερδίσω είναι 1/3 ενώ αν αλλάξω κουρτίνα η πιθανότητα να κερδίσω είναι 2/3. Δεν είναι όμως ακριβώς έτσι τα πράγματα. Γιατί εδώ έχουμε δεσμευμένη πιθανότητα ενδεχομένου.
Θεωρούμε τα ενδεχόμενα
Α={το αυτοκίνητο βρισκεται στην κουρτίνα Α}
Β={το αυτοκίνητο βρίσκεται στην κουρτίνα Β}
Γ={το αυτοκίνητο βρίσκεται στην κουρτίνα Γ}
Τα ενδεχόμενα είναι ασυμβίβαστα μεταξύ τους (ανά δύο αλλά και τα 3 μαζί) καθώς το αυτοκίνητο δεν γίνεται να βρίσκεται σε δύο κουρτίνες αλλά μόνο σε μία.
Έστω ότι ανοίγει η κουρτίνα Β και δεν βρίσκεται το αυτοκίνητο σε αυτήν.
Όντως ισχύει P(A)=P(B)=P(Γ)=1/3. Στην συγκεκριμένη περίπτωση όμως με το που ανοίγει η κουρτίνα Β έχουμε δεδομένο ότι το αυτοκίνητο δεν βρίσκεται στην κουρτίνα Β, δηλαδή το ενδεχόμενο Β΄ λαμβάνεται ως δεδομένο. Αυτό πρακτικά σημαίνει ότι αλλάζει ο "δειγματικός χώρος" του πειράματος τύχης. Από Ω=AUBUΓ γίνεται Ω΄=Β΄. Πρόκειται για δεσμευμένη ή υπο συνθήκη πιθανότητα.
Το συμπλήρωμα Β΄ του Β έχει πιθανότητα P(Β΄)=1-P(Β)=2/3. Επειδή τα Α, Β, Γ είναι ασυμβίβαστα ενδεχόμενα ισχύει Α-Β=Α και Γ-Β=Γ.
Η πιθανότητα του ενδεχομένου Α|Β΄={το αυτοκίνητο βρίσκεται στην κουρτίνα Α με δεδομένο ότι δεν βρίσκεται στην κουρτίνα Β} είναι
Oμοίως βρίσκουμε ότι Η πιθανότητα του ενδεχομένου Γ|Β΄={το αυτοκίνητο βρίσκεται στην κουρτίνα Γ με δεδομένο ότι δεν βρίσκεται στην κουρτίνα Β} είναι
Με δεδομένο λοιπόν ότι το αυτοκίνητο δεν βρίσκεται στην κουρτίνα Β και βρίσκεται σε μία από τις Α και Γ, τότε υπάρχει 50% πιθανότητα να διαλέξουμε την κουρτίνα που κρύβει το αυτοκίνητο.
Θεωρούμε τα ενδεχόμενα
Α={το αυτοκίνητο βρισκεται στην κουρτίνα Α}
Β={το αυτοκίνητο βρίσκεται στην κουρτίνα Β}
Γ={το αυτοκίνητο βρίσκεται στην κουρτίνα Γ}
Τα ενδεχόμενα είναι ασυμβίβαστα μεταξύ τους (ανά δύο αλλά και τα 3 μαζί) καθώς το αυτοκίνητο δεν γίνεται να βρίσκεται σε δύο κουρτίνες αλλά μόνο σε μία.
Έστω ότι ανοίγει η κουρτίνα Β και δεν βρίσκεται το αυτοκίνητο σε αυτήν.
Όντως ισχύει P(A)=P(B)=P(Γ)=1/3. Στην συγκεκριμένη περίπτωση όμως με το που ανοίγει η κουρτίνα Β έχουμε δεδομένο ότι το αυτοκίνητο δεν βρίσκεται στην κουρτίνα Β, δηλαδή το ενδεχόμενο Β΄ λαμβάνεται ως δεδομένο. Αυτό πρακτικά σημαίνει ότι αλλάζει ο "δειγματικός χώρος" του πειράματος τύχης. Από Ω=AUBUΓ γίνεται Ω΄=Β΄. Πρόκειται για δεσμευμένη ή υπο συνθήκη πιθανότητα.
Το συμπλήρωμα Β΄ του Β έχει πιθανότητα P(Β΄)=1-P(Β)=2/3. Επειδή τα Α, Β, Γ είναι ασυμβίβαστα ενδεχόμενα ισχύει Α-Β=Α και Γ-Β=Γ.
Η πιθανότητα του ενδεχομένου Α|Β΄={το αυτοκίνητο βρίσκεται στην κουρτίνα Α με δεδομένο ότι δεν βρίσκεται στην κουρτίνα Β} είναι
Oμοίως βρίσκουμε ότι Η πιθανότητα του ενδεχομένου Γ|Β΄={το αυτοκίνητο βρίσκεται στην κουρτίνα Γ με δεδομένο ότι δεν βρίσκεται στην κουρτίνα Β} είναι
Με δεδομένο λοιπόν ότι το αυτοκίνητο δεν βρίσκεται στην κουρτίνα Β και βρίσκεται σε μία από τις Α και Γ, τότε υπάρχει 50% πιθανότητα να διαλέξουμε την κουρτίνα που κρύβει το αυτοκίνητο.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.