Civilara
Περιβόητο μέλος
Ο Civilara αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Μας γράφει απο Δανία (Ευρώπη). Έχει γράψει 4,344 μηνύματα.
17-07-09
22:47
...τότε γιατί διαιρείς με τον όρο Ρ(Β') και όχι με τον P(Β'/Β') εκεί που βρίσκεις τα P(Α/Β') και Ρ(Γ/Β');
Γιατί έτσι είναι το θεώρημα της δεσμευμένης πιθανότητας. Γενικά αν Α και Β δύο ενδεχόμενα του δειγματικού χώρου Ω τότε ισχύει P(A|B)=P(AτομήB)/P(B). Εκφράζουμε την πιθανότητα του ενδεχομένου A|B στον δειγματικό χώρο Β σε συνάρτηση με τις πιθανότητες των ενδεχομένων ΑτομήΒ και Β του δειγματικού χώρου Ω. Ίσως η δεσμευμένη πιθανότητα να υπάρχει και στο βιβλίο των μαθηματικών γενικής παιδείας αλλά ήταν εκτός ύλης.
Η απόδειξη είναι απλή
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Civilara
Περιβόητο μέλος
Ο Civilara αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Μας γράφει απο Δανία (Ευρώπη). Έχει γράψει 4,344 μηνύματα.
17-07-09
21:29
Εφόσον ο νέος σου δειγματικός χώρος είναι ο Ω'=Β', πώς είναι δυνατόν η πιθανότητα P(B')=P(Ω') να είναι ίση με 2/3;
Νομίζω ότι γενικά ισχύει το παρακάτω:
Αν Ω είναι ο δειγματικός μας χώρος, τότε P(Ω)=1.
Πρόκειται για δεσμευμένη πιθανότητα. Όταν γράφουμε P(A), P(B), P(Γ) και οποιαδήποτε πιθανότητα ενός ενδεχομένου που προκύπτει με πράξεις μεταξύ των Α, Β και Γ τότε αναφερόμαστε στον δειγματικό χώρο Ω. Στον δειγματικό χώρο Β΄ αναφερόμαστε μόνο όταν υπάρχει δέσμευση, δηλαδή Α|Β' και Γ|Β΄. Συνεπώς P(Β΄)=2/3 και P(Β΄|Β΄)=1.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Civilara
Περιβόητο μέλος
Ο Civilara αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Μας γράφει απο Δανία (Ευρώπη). Έχει γράψει 4,344 μηνύματα.
16-07-09
20:57
Εδώ έχουμε δεσμευμένη πιθανότητα ενδεχομένου. Η πιθανότητα να βρίσκεται το αμάξι σε μία κουρίνα είναι 1/3. Έτσι μετά το άνοιγμα της μιας κουρτίνας, η οποία δεν έκρυβε το αμάξι, αν δεν αλλάξω κουρτίνα η πιθανότητα να κερδίσω είναι 1/3 ενώ αν αλλάξω κουρτίνα η πιθανότητα να κερδίσω είναι 2/3. Δεν είναι όμως ακριβώς έτσι τα πράγματα. Γιατί εδώ έχουμε δεσμευμένη πιθανότητα ενδεχομένου.
Θεωρούμε τα ενδεχόμενα
Α={το αυτοκίνητο βρισκεται στην κουρτίνα Α}
Β={το αυτοκίνητο βρίσκεται στην κουρτίνα Β}
Γ={το αυτοκίνητο βρίσκεται στην κουρτίνα Γ}
Τα ενδεχόμενα είναι ασυμβίβαστα μεταξύ τους (ανά δύο αλλά και τα 3 μαζί) καθώς το αυτοκίνητο δεν γίνεται να βρίσκεται σε δύο κουρτίνες αλλά μόνο σε μία.
Έστω ότι ανοίγει η κουρτίνα Β και δεν βρίσκεται το αυτοκίνητο σε αυτήν.
Όντως ισχύει P(A)=P(B)=P(Γ)=1/3. Στην συγκεκριμένη περίπτωση όμως με το που ανοίγει η κουρτίνα Β έχουμε δεδομένο ότι το αυτοκίνητο δεν βρίσκεται στην κουρτίνα Β, δηλαδή το ενδεχόμενο Β΄ λαμβάνεται ως δεδομένο. Αυτό πρακτικά σημαίνει ότι αλλάζει ο "δειγματικός χώρος" του πειράματος τύχης. Από Ω=AUBUΓ γίνεται Ω΄=Β΄. Πρόκειται για δεσμευμένη ή υπο συνθήκη πιθανότητα.
Το συμπλήρωμα Β΄ του Β έχει πιθανότητα P(Β΄)=1-P(Β)=2/3. Επειδή τα Α, Β, Γ είναι ασυμβίβαστα ενδεχόμενα ισχύει Α-Β=Α και Γ-Β=Γ.
Η πιθανότητα του ενδεχομένου Α|Β΄={το αυτοκίνητο βρίσκεται στην κουρτίνα Α με δεδομένο ότι δεν βρίσκεται στην κουρτίνα Β} είναι
Oμοίως βρίσκουμε ότι Η πιθανότητα του ενδεχομένου Γ|Β΄={το αυτοκίνητο βρίσκεται στην κουρτίνα Γ με δεδομένο ότι δεν βρίσκεται στην κουρτίνα Β} είναι
Με δεδομένο λοιπόν ότι το αυτοκίνητο δεν βρίσκεται στην κουρτίνα Β και βρίσκεται σε μία από τις Α και Γ, τότε υπάρχει 50% πιθανότητα να διαλέξουμε την κουρτίνα που κρύβει το αυτοκίνητο.
Θεωρούμε τα ενδεχόμενα
Α={το αυτοκίνητο βρισκεται στην κουρτίνα Α}
Β={το αυτοκίνητο βρίσκεται στην κουρτίνα Β}
Γ={το αυτοκίνητο βρίσκεται στην κουρτίνα Γ}
Τα ενδεχόμενα είναι ασυμβίβαστα μεταξύ τους (ανά δύο αλλά και τα 3 μαζί) καθώς το αυτοκίνητο δεν γίνεται να βρίσκεται σε δύο κουρτίνες αλλά μόνο σε μία.
Έστω ότι ανοίγει η κουρτίνα Β και δεν βρίσκεται το αυτοκίνητο σε αυτήν.
Όντως ισχύει P(A)=P(B)=P(Γ)=1/3. Στην συγκεκριμένη περίπτωση όμως με το που ανοίγει η κουρτίνα Β έχουμε δεδομένο ότι το αυτοκίνητο δεν βρίσκεται στην κουρτίνα Β, δηλαδή το ενδεχόμενο Β΄ λαμβάνεται ως δεδομένο. Αυτό πρακτικά σημαίνει ότι αλλάζει ο "δειγματικός χώρος" του πειράματος τύχης. Από Ω=AUBUΓ γίνεται Ω΄=Β΄. Πρόκειται για δεσμευμένη ή υπο συνθήκη πιθανότητα.
Το συμπλήρωμα Β΄ του Β έχει πιθανότητα P(Β΄)=1-P(Β)=2/3. Επειδή τα Α, Β, Γ είναι ασυμβίβαστα ενδεχόμενα ισχύει Α-Β=Α και Γ-Β=Γ.
Η πιθανότητα του ενδεχομένου Α|Β΄={το αυτοκίνητο βρίσκεται στην κουρτίνα Α με δεδομένο ότι δεν βρίσκεται στην κουρτίνα Β} είναι
Oμοίως βρίσκουμε ότι Η πιθανότητα του ενδεχομένου Γ|Β΄={το αυτοκίνητο βρίσκεται στην κουρτίνα Γ με δεδομένο ότι δεν βρίσκεται στην κουρτίνα Β} είναι
Με δεδομένο λοιπόν ότι το αυτοκίνητο δεν βρίσκεται στην κουρτίνα Β και βρίσκεται σε μία από τις Α και Γ, τότε υπάρχει 50% πιθανότητα να διαλέξουμε την κουρτίνα που κρύβει το αυτοκίνητο.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.