Άλλα μηνύματα του μέλους stathismel σε αυτό το thread

Αρχική Δημοσίευση από Civilara:

Γιατί έτσι είναι το θεώρημα της δεσμευμένης πιθανότητας. Γενικά αν Α και Β δύο ενδεχόμενα του δειγματικού χώρου Ω τότε ισχύει P(A|B)=P(AτομήB)/P(B). Εκφράζουμε την πιθανότητα του ενδεχομένου A|B στον δειγματικό χώρο Β σε συνάρτηση με τις πιθανότητες των ενδεχομένων ΑτομήΒ και Β του δειγματικού χώρου Ω. Ίσως η δεσμευμένη πιθανότητα να υπάρχει και στο βιβλίο των μαθηματικών γενικής παιδείας αλλά ήταν εκτός ύλης.

Η απόδειξη είναι απλή

Click για ανάπτυξη...

Καταλαβαίνω τί λες...όλα αυτά που γράφεις όμως στην απόδειξή σου, ισχύουν στην περίπτωση που ο παρουσιαστής άνοιξε τυχαία την κουρτίνα Β και έτυχε να μην είναι μέσα το αμάξι.
Στην περίπτωσή μας όμως, ο παρουσιαστής ανοίγει υποχρεωτικά μια κουρτίνα που να μην έχει το αμάξι μέσα. Το γεγονός αυτό αλλάζει το πρόβλημα και κάνει λίγο πιο δύσκολη τη χρήση τύπων...

Αρχική Δημοσίευση από Civilara:

Πρόκειται για δεσμευμένη πιθανότητα. Όταν γράφουμε P(A), P(B), P(Γ) και οποιαδήποτε πιθανότητα ενός ενδεχομένου που προκύπτει με πράξεις μεταξύ των Α, Β και Γ τότε αναφερόμαστε στον δειγματικό χώρο Ω. Στον δειγματικό χώρο Β΄ αναφερόμαστε μόνο όταν υπάρχει δέσμευση, δηλαδή Α|Β' και Γ|Β΄. Συνεπώς P(Β΄)=2/3 και P(Β΄|Β΄)=1.

Click για ανάπτυξη...

...τότε γιατί διαιρείς με τον όρο Ρ(Β') και όχι με τον P(Β'/Β') εκεί που βρίσκεις τα P(Α/Β') και Ρ(Γ/Β');

Αρχική Δημοσίευση από Civilara:

Τα ενδεχόμενα Α,Β,Γ αναφέρονται στον δειγματικό χώρο Ω οπότε P(B΄)=2/3 και όχι 1. Τα ενδεχόμενα Α|Β΄ και Γ|Β΄ αναφέρονται στον δειγματικό χώρο Ω΄=Β΄. Οι πιθανότητες των ενδεχομένων του δειγματικού χώρου Ω΄ υπολογίζονται με την βοήθεια των πιθανοτήτων των ενδεχομένων του δειγματικού χώρου Ω.

Click για ανάπτυξη...

Εφόσον ο νέος σου δειγματικός χώρος είναι ο Ω'=Β', πώς είναι δυνατόν η πιθανότητα P(B')=P(Ω') να είναι ίση με 2/3;
Νομίζω ότι γενικά ισχύει το παρακάτω:
Αν Ω είναι ο δειγματικός μας χώρος, τότε P(Ω)=1.

Αρχική Δημοσίευση από Civilara:

Στην συγκεκριμένη περίπτωση όμως με το που ανοίγει η κουρτίνα Β έχουμε δεδομένο ότι το αυτοκίνητο δεν βρίσκεται στην κουρτίνα Β, δηλαδή το ενδεχόμενο Β΄ λαμβάνεται ως δεδομένο. Αυτό πρακτικά σημαίνει ότι αλλάζει ο "δειγματικός χώρος" του πειράματος τύχης. Από Ω=AUBUΓ γίνεται Ω΄=Β΄. Πρόκειται για δεσμευμένη ή υπο συνθήκη πιθανότητα.

Το συμπλήρωμα Β΄ του Β έχει πιθανότητα P(Β΄)=1-P(Β)=2/3. Επειδή τα Α, Β, Γ είναι ασυμβίβαστα ενδεχόμενα ισχύει Α-Β=Α και Γ-Β=Γ.

Click για ανάπτυξη...

Έχεις δίκιο ότι αλλάζει ο δειγματικός χώρος αλλά στη νέα κατάσταση που βρίσκεσαι λες ότι P(B')=1-P(B)=2/3, πράγμα που ισχύει για την προηγούμενη κατάσταση κατά την οποία ο παρουσιαστής δεν είχε ανοίξει κάποια κουρτίνα. Στη νέα κατάσταση ,όπως λες και εσύ, έχουμε αποκλείσει την πιθανότητα να είναι στη Β και άρα P(B')=1.
Το μυστικό είναι να καταλάβουμε ότι εφόσον την Α την επιλέξαμε τυχαία και χωρίς να έχει επέμβει κάπου ο παρουσιαστής, τότε αυτή διατηρεί την πιθανότητα 1/3 που είχε αρχικά. Δηλαδή αν παραμένουμε πάντα στην αρχική μας επιλογή, οι πιθανότητες τελικά θα είναι όσες ήταν και αρχικά(1/3)!
Έτσι αφού έχουμε 2 κουρτίνες να επιλέξουμε, θα επιλέξουμε τη διαφορετική από αυτή που είχαμε επιλέξει αρχικά.
Όπως έχει ήδη ειπωθεί, το κλειδί στην υπόθεση είναι ότι εμείς γνωρίζουμε ότι ο παρουσιαστής γνωρίζει που βρίσκεται το αμάξι και η κουρτίνα που ανοίγει είναι μέρος του παιχνιδιού που συμβαίνει πάντα ανεξάρτητα ποια είναι η δικιά μας αρχική επιλογή.

Αρχική Δημοσίευση από paganini666:

Εχουμε δυο κουρτινες την Α και την Γ και μας ζητανε να επιλεξουμε μια απο τις δυο.
Δε γνωριζουμε τι βρισκεται απο πισω αρα η αποφαση μας ειναι αμεροληπτη,δηλαδη η επιλογη ειναι τυχαια. Αρα τι επιλεξουμε την Α τι επιλεξουμε τη Γ δεν ειναι το ιδιο και το αυτο; Τι κανει τοσο σπουδαια τη Γ;
Μπορει καποιος με επιχειρηματα (ναι μελέκη καλα διαβασες) να αντικρουσει την παραπάνω επιχειρηματολογια;

Click για ανάπτυξη...

το γεγονός ότι η απόφασή σου είναι αμερόληπτη, σε σημαίνει κιόλας ότι οποιαδήποτε απόφαση και να πάρεις θα είναι η μαθηματικά σωστή (δηλαδή αυτή με τη μεγαλύτερη πιθανότητα επιτυχίας)
αγνοείς το γεγονός ότι οι 2 κουρτίνες με τις οποίες έχεις μείνει στο τέλος, έχουν προκύψει 2 στις 3 περιπτώσεις από το άνοιγμα από τον παρουσιαστή της μοναδικής κουρτίνας που δεν έχει το αμάξι και ταυτόχρονα δεν την έχεις επιλέξει...συνεπώς 2 στις 3 περιπτώσεις ο παρουσιαστής διάλεξε υποχρεωτικά την μία από τις 2 κουρτίνες καθώς στην άλλη ήταν το αμάξι...συνεπώς 2 στις 3 περιπτώσεις άμα επιλέξεις την κουρτίνα που δεν άνοιξε ο παρουσιαστής θα κερδίσεις!!!

O amalfi το εξήγησε πολύ απλά, αλλά δεν ξέρω κατά πόσο έγινε κατανοητός.

Υ.Γ.: Ελπίζω να μας εξηγήσει σύντομα το πρόβλημα με τον λόφο του και το σημειακό σωματίδιο!!

Αρχική Δημοσίευση από fasdag:

πρεπει να παρουμε πιθανοτητες;

Click για ανάπτυξη...

Τί εννοείς ακριβώς; Αν ρωτάς εάν χρειάζεται να πάρεις τύπους θα σου έλεγα καλύτερα όχι...πραγματικά δε χρειάζεται...μπορείς να το σκεφτείς με το μυαλό σου.

Απλά πρέπει να λάβεις υπ'όψιν σου όλες τις παραμέτρους που σου δίνονται και να μην αγνοείς καμία.
-----------------------------------------

Αρχική Δημοσίευση από mostel:

Είναι το γνωστό Monty Hall.. Check it here, virtually

https://math.ucsd.edu/~crypto/Monty/monty.html


Η απόδειξη είναι καθαρά πιθανοτική και χρησιμοποιεί θεωρήματα που ΔΕΝ διδάσκονται στο λύκειο, όπως π.χ. το θεώρημα του Bayes.

Για περισσότερες πληροφορίες για το παράδοξο, μπορείτε να δείτε εδώ:

https://en.wikipedia.org/wiki/Monty_Hall_problem


Φιλικά,

Στέλιος

Click για ανάπτυξη...

Ευχαριστούμε για τις πληροφορίες φίλε mostel, αλλά θα προτιμούσα να μην έδινες το link που περιλαμβάνει και την εξήγηση...ελπίζω όσοι ασχολήθηκαν και όσοι ασχοληθούν με το πρόβλημα να μην παραδωθούν εύκολα και κοιτάξουν αμέσως τη λύση.
Α, και δε χρειάζεται κανένας τύπος ή θεωρία για την επίλυση του προβλήματος...τώρα εάν υπάρχουν έτοιμες θεωρίες που να μπορούν να εφαρμοστούν δεν το γνωρίζω αλλά γνωρίζω σίγουρα ότι δεν είναι απαραίτητες σε αυτό το πρόβλημα.

Αρχική Δημοσίευση από Daskalenko7:

Η μία έχει 33 τα εκατό και η άλλη 50 ;

Click για ανάπτυξη...

Αυτό που λες δεν είναι δυνατόν, καθώς θα πρέπει το άθροισμα των πιθανοτήτων όλων των πιθανών ενδεχομένων να είναι ίσο με τη μονάδα (δλδ 100%)

Δεν υπάρχει κανένα επικοινωνιακό τρικ. Το πρόβλημα είναι καθαρά μαθηματικό και δε χρειάζεται ιδιαίτερες γνώσεις...απλά καλή χρήση της κοινής λογικής.

Για τη λύση του, χρησιμοποιείστε όλες τις πληροφορίες που δίνονται.
Υπάρχει μαθηματική απάντηση στο πρόβλημα ώστε να επιλέξουμε συγκεκριμένη κουρτίνα, έτσι ώστε να έχουμε τις περισσότερες πιθανότητες να κερδίσουμε.

Προσπαθήστε το...αξίζει τον κόπο!

Κατά το τελικό στάδιο ενός τηλεπαιχνιδιού, ο παίκτης καλείται να επιλέξει ανάμεσα σε τρεις κουρτίνες (έστω Α,Β,Γ) έτσι ώστε να κερδίσει το αμάξι που βρίσκεται πίσω από την τυχερή κουρτίνα.
Ο παίκτης μας (στην περίπτωσή μας) αποφασίζει τελικά να διαλέξει την κουρτίνα Α.
Ο τηλεπαρουσιαστής όμως, αντί να δώσει εντολή για άνοιγμα της κουρτίνας Α, θέλοντας να παρατείνει το παιχνίδι (όπως κάνει κάθε φορά για να μην τελειώσει αμέσως η εκπομπή) δίνει εντολή να ανοίξουν μια διαφορετική κουρτίνα από αυτή που διάλεξε ο παίκτης και μάλιστα για να μην τελειώσει το παιχνίδι όπως είπαμε, διαλέγει αυτή στην οποία ξέρει από πριν ότι δε βρίσκεται το αμάξι. Ας πούμε ότι στην περίπτωσή μας ανοίγει την κουρτινα Β.
Έτσι, όπως κάθε φορά, ο παρουσιαστής ρωτάει τον παίκτη "είσαι σίγουρος ότι θέλεις την κουρτίνα που επέλεξες αρχικά ή μήπως τώρα θέλεις να αλλάξεις κουρτίνα;"

Το ερώτημα, είναι τί θα κάνατε εσείς στη θέση του παίκτη...Α ή Γ;;;

Υ.Γ.:Το παράδοξο αυτό ίσως είναι γνωστό σε αρκετούς...οπότε ας απαντήσουν μόνο όσοι έρχονται για 1η φορά σε επαφή με το πρόβλημα ή όσοι τέλος πάντων δε γνωρίζουν τη λύση από πριν.