Civilara
Περιβόητο μέλος
Ο Civilara αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Μας γράφει απο Δανία (Ευρώπη). Έχει γράψει 4,344 μηνύματα.
09-09-12
02:10
Δινονται τα διανυσματα και για τα οποια ισχυουν .
Να αποδειξετε οτι
Α.
Β.Η γωνια των διανυσματων α και β ειναι 60 μοιρες.
Γ.Τα διανυσματα ειναι παραλληλα.
Α. υy=(α+2β)(5α-4β)=α(5α)+α(-4β)+(2β)(5α)+(2β)(-4β)=5(α^2)-4(αβ)+10(αβ)-8(β^2)=5(α^2)-8(β^2)+6(αβ)=5(|α|^2)-8(|β|^2)+6(αβ)
υ κάθετο y => (υ,y)=π/2 => υy=0 => 5(|α|^2)-8(|β|^2)+6(αβ)=0 => αβ=[5(|α|^2)-8(|β|^2)]/6 => αβ=[5*(1^2)-8*(1^2)]/6=3/6=1/2
Άρα αβ=1/2
Β. αβ=|α||β|συν(α,β) => συν(αβ)=αβ/(|α||β|) => συν(α,β)=(1/2)/(1*1)=1/2 => συν(α,β)=συν(π/3)
Άρα (α,β)=2κπ-(π/3) ή (α,β)=2κπ+(π/3) όπου κ ακέραιος. Ξέρουμε ότι 0<(α,β)<π/2
- 0<2κπ-(π/3)<π/2 => π/3<2κπ<5π/6 => 1/6<κ<5/12 => δεν υπάρχει ακέραιος κ στο διάστημα (1/6,5/12)
-0<2κπ+(π/3)<π/2 => -π/2<2κπ<π/6 => -1/4<κ<1/12 => ο μοναδικός ακέραιος στο διάστημα (-1/4,1/12) είναι ο κ=0, οπότε για κ=0 προκύπτει (α,β)=π/3
Άρα (α,β)=π/3 rad =60 μοίρες
Γ.
γ=υ+y => γ=(α+2β)+ (5α-4β) => γ=6α-2β
δ=3α-β
Επομένως γ=6α-2β=2(3α-β)=2δ => γ=2δ => άρα γ//δ και συγκεκριμένα γ ομόρροπο δ
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Civilara
Περιβόητο μέλος
Ο Civilara αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Μας γράφει απο Δανία (Ευρώπη). Έχει γράψει 4,344 μηνύματα.
09-09-12
01:05
Να αποδειχτεί ότι:
Με πλευρές τα μη συγγραμικά διανύσματα α,β,γ μπορούμε να σχηματισουμε τριγωνο αν και μόνο αν α+β+γ=0
Ευθύ και αντίστροφο λοιπόν. Για να δουμε.
α) Αν τα μη συγγραμμικά διανύσματα α, β, γ σχηματίζουν τρίγωνο τότε α+β+γ=0
Τα διανύσματα α, β, γ σχηματίζουν τρίγωνο ΑΒΓ όπου α=ΓΒ, β=ΑΓ και γ=ΒΑ (διανύσματα), οπότε έχουμε
α+β+γ=ΓΒ+ΑΓ+ΒΑ=ΑΓ+ΓΒ+ΒΑ=ΑΑ=0 => α+β+γ=0
β) Αν για τα μη συγγραμμικά διανύσματα α, β, γ ισχύει α+β+γ=0 τότε αυτά σχηματίζουν τρίγωνο
Σχεδιάζουμε τα διανύσματα έτσι ώστε α=ΓΒ, β=ΓΓ΄ και γ=ΒΑ (δηλαδή το πέρας του ενός είναι η αρχή του άλλου), οπότε έχουμε
α+β+γ=ΓΒ+ΑΓ΄+ΒΑ=ΓΒ+ΒΑ+ΑΓ΄=ΓΓ΄
Επειδή ισχύει α+β+γ=0 τότε πρέπει να ισχύει ΓΓ΄=0 που σημαίνει ότι το Γ΄ ταυτίζεται με το Γ και επομένως τα διανύσματα α, β και γ σχηματίζουν τρίγωνο
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Civilara
Περιβόητο μέλος
Ο Civilara αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Μας γράφει απο Δανία (Ευρώπη). Έχει γράψει 4,344 μηνύματα.
08-07-09
21:56
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Civilara
Περιβόητο μέλος
Ο Civilara αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Μας γράφει απο Δανία (Ευρώπη). Έχει γράψει 4,344 μηνύματα.
16-06-09
01:45
Άλλος τρόπος
Θεωρώ την συνάρτηση f(x)=6ημx-8συνx, x ανήκει R.
Η f είναι περιοδική με περίοδο T=2π αφού για κάθε x ανήκει R ισχύει:
f(x+nT)=f(x), όπου n ανήκει Z
Η f είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο R με παράγωγο f'(x)=6συνx+8ημx
f'(x)=0 <=> 6συνx+8ημx=0 <=> ημx=-(3/4)συνx
Αν συνx=0 τότε από την παραπάνω εξίσωση προκύπτει ημx=0 που είναι άτοπο αφού τότε (ημx)^2+(συνx)^2=0 διάφορο 1. Άρα για τις λύσεις την παραπάνω εξίσωσης ισχύει ημx διάφορο 0 και συνx διάφορο 0. Συνεπώς γράφεται ισοδύναμα
ημx=-(3/4)συνx <=> εφx=-3/4
Θέωρω τέτοιο ώστε . Επειδή τότε
Έτσι λοιπόν έχουμε
Αν κ=2λ άρτιος τότε οι λύσεις παίρνουν την μορφή και είναι:
Αν κ=2λ+1 περιττός τότε οι λύσεις παίρνουν την μορφή και είναι:
Η f είναι συνεχής στο , παραγωγίσιμη στο και ισχύει f'(x)<0 για κάθε . Συνεπώς η f είναι γνησίως φθίνουσα στο
Η f είναι συνεχής στο , παραγωγίσιμη στο και ισχύει f'(x)>0 για κάθε . Συνεπώς η f είναι γνησίως αύξουσα στο
Η f είναι συνεχής στο , παραγωγίσιμη στο και ισχύει f'(x)<0 για κάθε . Συνεπώς η f είναι γνησίως αύξουσα στο
Συνεπώς η f παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο στο με τιμή και τοπικό μέγιστο στο με τιμή τα οποία είναι και ολικά ακρότατα στο διάστημα αυτό.
Επειδή η f είναι περιοδική και σε διάστημα μιας περιόδου [2λπ, 2λπ+2π] έχει 1 ολικό ελάχιστο και ένα ολικό μέγιστο τα οποία είναι σταθερά για κάθε λ ανήκει Z, τότε τα ακρότατα αυτά είναι ολικά ακρότατα στο R και ισχύει
για κάθε x ανήκει R.
Άντε ρε παιδιά, βάλτε καμία δύσκολη άσκηση.
Θεωρώ την συνάρτηση f(x)=6ημx-8συνx, x ανήκει R.
Η f είναι περιοδική με περίοδο T=2π αφού για κάθε x ανήκει R ισχύει:
f(x+nT)=f(x), όπου n ανήκει Z
Η f είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο R με παράγωγο f'(x)=6συνx+8ημx
f'(x)=0 <=> 6συνx+8ημx=0 <=> ημx=-(3/4)συνx
Αν συνx=0 τότε από την παραπάνω εξίσωση προκύπτει ημx=0 που είναι άτοπο αφού τότε (ημx)^2+(συνx)^2=0 διάφορο 1. Άρα για τις λύσεις την παραπάνω εξίσωσης ισχύει ημx διάφορο 0 και συνx διάφορο 0. Συνεπώς γράφεται ισοδύναμα
ημx=-(3/4)συνx <=> εφx=-3/4
Θέωρω τέτοιο ώστε . Επειδή τότε
Έτσι λοιπόν έχουμε
Αν κ=2λ άρτιος τότε οι λύσεις παίρνουν την μορφή και είναι:
Αν κ=2λ+1 περιττός τότε οι λύσεις παίρνουν την μορφή και είναι:
Η f είναι συνεχής στο , παραγωγίσιμη στο και ισχύει f'(x)<0 για κάθε . Συνεπώς η f είναι γνησίως φθίνουσα στο
Η f είναι συνεχής στο , παραγωγίσιμη στο και ισχύει f'(x)>0 για κάθε . Συνεπώς η f είναι γνησίως αύξουσα στο
Η f είναι συνεχής στο , παραγωγίσιμη στο και ισχύει f'(x)<0 για κάθε . Συνεπώς η f είναι γνησίως αύξουσα στο
Συνεπώς η f παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο στο με τιμή και τοπικό μέγιστο στο με τιμή τα οποία είναι και ολικά ακρότατα στο διάστημα αυτό.
Επειδή η f είναι περιοδική και σε διάστημα μιας περιόδου [2λπ, 2λπ+2π] έχει 1 ολικό ελάχιστο και ένα ολικό μέγιστο τα οποία είναι σταθερά για κάθε λ ανήκει Z, τότε τα ακρότατα αυτά είναι ολικά ακρότατα στο R και ισχύει
για κάθε x ανήκει R.
Άντε ρε παιδιά, βάλτε καμία δύσκολη άσκηση.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.