miv
Επιφανές μέλος
Ο Babis αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Μας γράφει απο Βόρεια Μακεδονία (Ευρώπη). Έχει γράψει 8,275 μηνύματα.
22-03-08
16:05
Απαντήστε κάποιος! Κωλόσαμε, κωλόσαμε?
Καλά, ούτε εγώ μπορώ να τις λύσω όλες...
Καλά, ούτε εγώ μπορώ να τις λύσω όλες...
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
miv
Επιφανές μέλος
Ο Babis αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Μας γράφει απο Βόρεια Μακεδονία (Ευρώπη). Έχει γράψει 8,275 μηνύματα.
20-03-08
16:42
Αποφάσισα να βαλω κάποιες ασκήσεις απο έναν πολύ καλό Μαθηματικό (προσέξτε, το Μ κεφαλαίο γιατί είναι 100% μαθηματικός, οχι απλος καθηγητης) για να ξεφυγουμε λιγο από τη στρωτη και μπακαλίστικη οδό της μεθοδολογίας και του "τύπου" άσκησης. Προς αποφυγή παρεξηγήσεων. Οι ασκήσεις έχουν άγνωστη προέλευση και δεν είναι ασκήσεις του συγκεκριμένου μαθηματικού, απλά αυτός τις βρήκε, όπως λεει.
Έχω αρκετό υλικό και απο προηγούμενα κεφάλαια, αλλά τωρα θα βάλω παραβολή.
1. Α. Δίνεται η παραβολή C1: y^2=8x και το σημείο Μ(8,8).
i) Να βρεις την εξίσωση κύκλου C2 με κέντρο την εστία Ε της C1 και ακτίνα ρ=ΕΜ.
ii) Ποιες είναι οι συντεταγμένες των σημείων τομής του C2 με τον χχ'΄.
iii) Δείξε οτι η ευθεία ΒΜ εφάπτεται της C στο σημείο Μ.
Β. Δίνεται η παραβολή y^2=2px, σημείο αυτης Μ(χ1,y1) και σημείο Α(χ,0). Δείξε οτι το σημείο Β είναι συμμετρικό του Α, όπου Β το σημείο τομής της εφαπτομένης της παραβολής στο σημείο Μ.
2. Δίνεται η παραβολή C: y=1/4x^2, εα, εβ οι εφαπτομένες της C στα σημεία Α(Χα, Yα) και B(Xβ, Yβ). Το σημείο Μ είναι το σημείο τομής των εα, εβ και Ν το μέσον της χορδής ΑΒ. Δείξε:
α) Το Μ έχει συντεταγμένες (Χα+Υβ)/2, ΧαΥβ/4
β) Η χορδή ΑΒ διέρχεται από το σημείο Κ(0,4) αν και μόνο αν το Μ ανήκει στην ευθεία y=-4.
γ) ΜΝ//yy'
3. Δίνεται η παραβολή C: y^2=2x.
Α. Να αποδείξεις οτι δεν υπάρχουν σημεια της παραβολής, στα οποία οι εφαπτόμενες να είναι παράλληλες.
Β. Αν Α(Χα,Υα), Β(Χβ,Υβ) είναι σημεία της C και Μ το σημείο τομής των εφαπτομένων εα, εβ στα σημεία Α, Β αντιστοίχως, δείξτε οτι:
i) Οι συντεταγμένες του Μ είναι ΥαΥβ/2, (Υα+Υβ)/2
ii) Η χορδή ΑΒ διέρχεται από το σημείο Κ(2,0) αν και μόνο αν το Μ ανήκει στην ευθεία χ=-2.
iii) ΜΝ//χχ', όπου Ν το μέσο της χορδής ΑΒ.
4. Δίνεται η παραβολή C:y^2=10x και το σημείο αυτής Μ(α,β), με β διάφορο από το 0. Αν η εφαπτόμενη της παραβολής στο Μ τέμνει τους άξονες στα σημεία Α(Χα,0) και Β(0,Υβ), τότε:
i) Να εκφραστούν οι συντεταγμένες των Α, Β ως συνάρτηση του β.
ii) Να αποδείξετε ότι για κάθε πραγματικό β, εκτός του 0, το μέσον Ν του ΑΒ κινείται σε παραβολή, της οποίας να βρεις τη διευθετούσα.
Το μαυρισμένο αν και μόνο αν είναι βοήθεια που βάζω εγώ που σημαίνει οτι πρέπει να αποδείξεις και ευθύ και αντίστροφο υποχρεωτικά. Για να το κάνεις αυτό υπάρχουν δύο τρόποι. Ή ξεκινάς από το ένα και πας στο άλλο με ισοδυναμίες, τις οποίες όμως πρέπει να ελέγξεις προσεκτικά γιατί μπορεί και να μην ισχύουν. Αυτό ειναι πολύ δύσκολο για ένα μέσο μαθητή. Ο άλλος τρόπος, ο συνήθης είναι να αποδείξεις ξεχωριστά ευθύ κι αντίστροφο. Αυτό ο μαθηματικός μας το τονίζει συνεχώς γιατί οι συμβολισμοί συνεπαγωγής/ισοδυναμίας στα Μαθηματικά δεν μπαίνουν αυθαίρετα και για φιγούρα, αλλιώς υπάρχει ενδεχόμενο μαθηματικού λάθους.
Έχω αρκετό υλικό και απο προηγούμενα κεφάλαια, αλλά τωρα θα βάλω παραβολή.
1. Α. Δίνεται η παραβολή C1: y^2=8x και το σημείο Μ(8,8).
i) Να βρεις την εξίσωση κύκλου C2 με κέντρο την εστία Ε της C1 και ακτίνα ρ=ΕΜ.
ii) Ποιες είναι οι συντεταγμένες των σημείων τομής του C2 με τον χχ'΄.
iii) Δείξε οτι η ευθεία ΒΜ εφάπτεται της C στο σημείο Μ.
Β. Δίνεται η παραβολή y^2=2px, σημείο αυτης Μ(χ1,y1) και σημείο Α(χ,0). Δείξε οτι το σημείο Β είναι συμμετρικό του Α, όπου Β το σημείο τομής της εφαπτομένης της παραβολής στο σημείο Μ.
2. Δίνεται η παραβολή C: y=1/4x^2, εα, εβ οι εφαπτομένες της C στα σημεία Α(Χα, Yα) και B(Xβ, Yβ). Το σημείο Μ είναι το σημείο τομής των εα, εβ και Ν το μέσον της χορδής ΑΒ. Δείξε:
α) Το Μ έχει συντεταγμένες (Χα+Υβ)/2, ΧαΥβ/4
β) Η χορδή ΑΒ διέρχεται από το σημείο Κ(0,4) αν και μόνο αν το Μ ανήκει στην ευθεία y=-4.
γ) ΜΝ//yy'
3. Δίνεται η παραβολή C: y^2=2x.
Α. Να αποδείξεις οτι δεν υπάρχουν σημεια της παραβολής, στα οποία οι εφαπτόμενες να είναι παράλληλες.
Β. Αν Α(Χα,Υα), Β(Χβ,Υβ) είναι σημεία της C και Μ το σημείο τομής των εφαπτομένων εα, εβ στα σημεία Α, Β αντιστοίχως, δείξτε οτι:
i) Οι συντεταγμένες του Μ είναι ΥαΥβ/2, (Υα+Υβ)/2
ii) Η χορδή ΑΒ διέρχεται από το σημείο Κ(2,0) αν και μόνο αν το Μ ανήκει στην ευθεία χ=-2.
iii) ΜΝ//χχ', όπου Ν το μέσο της χορδής ΑΒ.
4. Δίνεται η παραβολή C:y^2=10x και το σημείο αυτής Μ(α,β), με β διάφορο από το 0. Αν η εφαπτόμενη της παραβολής στο Μ τέμνει τους άξονες στα σημεία Α(Χα,0) και Β(0,Υβ), τότε:
i) Να εκφραστούν οι συντεταγμένες των Α, Β ως συνάρτηση του β.
ii) Να αποδείξετε ότι για κάθε πραγματικό β, εκτός του 0, το μέσον Ν του ΑΒ κινείται σε παραβολή, της οποίας να βρεις τη διευθετούσα.
Το μαυρισμένο αν και μόνο αν είναι βοήθεια που βάζω εγώ που σημαίνει οτι πρέπει να αποδείξεις και ευθύ και αντίστροφο υποχρεωτικά. Για να το κάνεις αυτό υπάρχουν δύο τρόποι. Ή ξεκινάς από το ένα και πας στο άλλο με ισοδυναμίες, τις οποίες όμως πρέπει να ελέγξεις προσεκτικά γιατί μπορεί και να μην ισχύουν. Αυτό ειναι πολύ δύσκολο για ένα μέσο μαθητή. Ο άλλος τρόπος, ο συνήθης είναι να αποδείξεις ξεχωριστά ευθύ κι αντίστροφο. Αυτό ο μαθηματικός μας το τονίζει συνεχώς γιατί οι συμβολισμοί συνεπαγωγής/ισοδυναμίας στα Μαθηματικά δεν μπαίνουν αυθαίρετα και για φιγούρα, αλλιώς υπάρχει ενδεχόμενο μαθηματικού λάθους.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.