Γιώργος
Τιμώμενο Μέλος
Ο Γιώργος αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Είναι Διδακτορικός και μας γράφει απο Ελβετία (Ευρώπη). Έχει γράψει 30,791 μηνύματα.
08-09-07
15:07
Νομίζω οτι γενικά οποιαδήποτε σωστή απόδειξη είναι δεκτή, όχι μόνο αυτές του βιβλίου. Βέβαια πρέπει να είσαι σαϊνι για να βρείς δικιά σου απόδειξη .
Στην τελευταία σελίδα των θεμάτων των Πανελληνίων υπάρχει μία σημείωση: Κάθε απάντηση επιστημονικά τεκμηριωμένη είναι αποδεκτή
Αλλά συνιστώ τις αποδείξεις να τις κάνετε όπως τις δείχνει το σχολικό βιβλίο (ή αλλιώς το "Ευαγγέλιό" σας για φέτος) για να είστε σίγουροι. :iagree:
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Γιώργος
Τιμώμενο Μέλος
Ο Γιώργος αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Είναι Διδακτορικός και μας γράφει απο Ελβετία (Ευρώπη). Έχει γράψει 30,791 μηνύματα.
06-09-07
16:32
Σε αυτό το σημείο να θυμίσω ότι στο iSchool υπάρχει διαθέσιμη η λειτουργία του LaTeX, με τη βοήθεια της οποίας το e^x γίνεται .
Αναλυτικά η βοήθεια LaTeX βρίσκεται εδώ. και μπορείτε να τη βρείτε σε κάθε σελίδα καταχώρησης νέου μηνύματος. :no1:
Θα προσθέσω στα παραπάνω μηνύματα το LaTeX να δείτε πώς θα φανούν.
Αναλυτικά η βοήθεια LaTeX βρίσκεται εδώ. και μπορείτε να τη βρείτε σε κάθε σελίδα καταχώρησης νέου μηνύματος. :no1:
Θα προσθέσω στα παραπάνω μηνύματα το LaTeX να δείτε πώς θα φανούν.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Γιώργος
Τιμώμενο Μέλος
Ο Γιώργος αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Είναι Διδακτορικός και μας γράφει απο Ελβετία (Ευρώπη). Έχει γράψει 30,791 μηνύματα.
11-08-07
23:32
Σήμερα θα σας πω ένα πραγματάκι το οποίο ξεχωρίζει τα μαθηματικά του Λυκείου από τα μαθηματικά που κάνατε μέχρι τώρα: η έννοια της απόδειξης.
Μέχρι τώρα, χρησιμοποιούσαμε στα μαθηματικά κάποιες προτάσεις που τις παίρναμε έτοιμες. Στο Λύκειο η κατάσταση αλλάζει.
Αυτό που μπορούμε εύκολα να παρατηρήσουμε είναι ότι στην Α' Λυκείου ξεκινάμε και στην Άλγεβρα και στη Γεωμετρία από το μηδέν.
Θα δούμε ότι ξεκινούμε πάντα από βασικές προτάσεις, τις οποίες τις δεχόμαστε αναπόδεικτα. Αυτές ονομάζονται "αξιώματα" κι είναι βασικές προτάσεις που δομούν το σύστημα το οποίο θα μελετήσουμε.
Για παράδειγμα, ένα αξίωμα της Ευκλείδιας Γεωμετρίας είναι ότι από δύο σημεία του επιπέδου διέρχεται μοναδική ευθεία. Αυτήν την πρόταση τη δεχόμαστε και τη χρησιμοποιούμε μαζί με άλλα αξιώματα για να αποδείξουμε άλλες προτάσεις, που λέγονται θεωρήματα. Από τα θεωρήματα εξάγονται χρήσιμα συμπεράσματα που τα αποκαλούμε πορίσματα.
Στο Λύκειο θα αποδείξουμε τα περισσότερα θεωρήματα που παρουσιάζονται στο σχολικό βιβλίο. Όποιο θεώρημα ή πόρισμα αναφέρεται στο σχολικό βιβλίο μπορούμε να το χρησιμοποιήσουμε στις ασκήσεις μας. Αλλά εάν μας ζητήσουν να το αποδείξουμε (σε μία άσκηση θεωρίας) τότε θα πρέπει να παραθέσουμε την απόδειξη που χρησιμοποιεί το σχολικό βιβλίο. Σ' αυτές τις περιπτώσεις, βοηθάει πολύ αν κατανοήσουμε τον τρόπο που χρησιμοποιεί το σχολικό βιβλίο κι έτσι θα μας είναι εύκολο να μάθουμε και τις αποδείξεις - αλίμονο αν μαθαίναμε τόσες αποδείξεις παπαγαλία, κάτι που δεν το συνιστώ εγώ.
Επίσης πολλές φορές θα χρειαστεί να αποδείξουμε κάποιες ιδιότητες που ισχύουν σε συγκεκριμένες ασκήσεις. Για παράδειγμα, μία άσκηση γεωμετρίας μπορεί να μας λέει "Δείξτε ότι η πλευρά ΑΒ του τριγώνου είναι διπλάσια της ΑΓ". Σε αυτές τις περιπτώσεις δεν είναι δεκτές αποδείξεις όπως "Τις μετράω με το χαρακάκι και βλέπω ότι ισχύει" ή "Παίρνω τη μισή πλευρά ΑΒ, τη μεταφέρω πάνω στην ΑΓ και βλέπω ότι ταυτίζονται". Σε αυτές τις περιπτώσεις αποδεικνύονται βάση των θεωρημάτων που ξέρουμε, των ιδιοτήτων του σχήματος και των όποιων συμπερασμάτων βγάλαμε από τα προηγούμενα ερωτήματα.
Τονίζω εδώ πως σε κάθε ερώτημα μπορούν να χρησιμοποιηθούν χωρίς απόδειξη τα συμπεράσματα προηγούμενων ερωτημάτων (που ζητήθηκε να αποδειχθούν σε προηγούμενο ερώτημα), είτε τις αποδείξαμε είτε όχι στο προηγούμενο ερώτημα. :no1:
Έτσι, πολλές περιπτώσεις ερωτημάτων μπορούν να λυθούν εύκολα με τη χρήση των συμπερασμάτων από προηγούμενα (αλλά όχι και απ' τα επόμενα) ερωτήματα.
Μέχρι τώρα, χρησιμοποιούσαμε στα μαθηματικά κάποιες προτάσεις που τις παίρναμε έτοιμες. Στο Λύκειο η κατάσταση αλλάζει.
Αυτό που μπορούμε εύκολα να παρατηρήσουμε είναι ότι στην Α' Λυκείου ξεκινάμε και στην Άλγεβρα και στη Γεωμετρία από το μηδέν.
Θα δούμε ότι ξεκινούμε πάντα από βασικές προτάσεις, τις οποίες τις δεχόμαστε αναπόδεικτα. Αυτές ονομάζονται "αξιώματα" κι είναι βασικές προτάσεις που δομούν το σύστημα το οποίο θα μελετήσουμε.
Για παράδειγμα, ένα αξίωμα της Ευκλείδιας Γεωμετρίας είναι ότι από δύο σημεία του επιπέδου διέρχεται μοναδική ευθεία. Αυτήν την πρόταση τη δεχόμαστε και τη χρησιμοποιούμε μαζί με άλλα αξιώματα για να αποδείξουμε άλλες προτάσεις, που λέγονται θεωρήματα. Από τα θεωρήματα εξάγονται χρήσιμα συμπεράσματα που τα αποκαλούμε πορίσματα.
Στο Λύκειο θα αποδείξουμε τα περισσότερα θεωρήματα που παρουσιάζονται στο σχολικό βιβλίο. Όποιο θεώρημα ή πόρισμα αναφέρεται στο σχολικό βιβλίο μπορούμε να το χρησιμοποιήσουμε στις ασκήσεις μας. Αλλά εάν μας ζητήσουν να το αποδείξουμε (σε μία άσκηση θεωρίας) τότε θα πρέπει να παραθέσουμε την απόδειξη που χρησιμοποιεί το σχολικό βιβλίο. Σ' αυτές τις περιπτώσεις, βοηθάει πολύ αν κατανοήσουμε τον τρόπο που χρησιμοποιεί το σχολικό βιβλίο κι έτσι θα μας είναι εύκολο να μάθουμε και τις αποδείξεις - αλίμονο αν μαθαίναμε τόσες αποδείξεις παπαγαλία, κάτι που δεν το συνιστώ εγώ.
Επίσης πολλές φορές θα χρειαστεί να αποδείξουμε κάποιες ιδιότητες που ισχύουν σε συγκεκριμένες ασκήσεις. Για παράδειγμα, μία άσκηση γεωμετρίας μπορεί να μας λέει "Δείξτε ότι η πλευρά ΑΒ του τριγώνου είναι διπλάσια της ΑΓ". Σε αυτές τις περιπτώσεις δεν είναι δεκτές αποδείξεις όπως "Τις μετράω με το χαρακάκι και βλέπω ότι ισχύει" ή "Παίρνω τη μισή πλευρά ΑΒ, τη μεταφέρω πάνω στην ΑΓ και βλέπω ότι ταυτίζονται". Σε αυτές τις περιπτώσεις αποδεικνύονται βάση των θεωρημάτων που ξέρουμε, των ιδιοτήτων του σχήματος και των όποιων συμπερασμάτων βγάλαμε από τα προηγούμενα ερωτήματα.
Τονίζω εδώ πως σε κάθε ερώτημα μπορούν να χρησιμοποιηθούν χωρίς απόδειξη τα συμπεράσματα προηγούμενων ερωτημάτων (που ζητήθηκε να αποδειχθούν σε προηγούμενο ερώτημα), είτε τις αποδείξαμε είτε όχι στο προηγούμενο ερώτημα. :no1:
Έτσι, πολλές περιπτώσεις ερωτημάτων μπορούν να λυθούν εύκολα με τη χρήση των συμπερασμάτων από προηγούμενα (αλλά όχι και απ' τα επόμενα) ερωτήματα.
Από Γιώργος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.