Άλλα μηνύματα του μέλους thepigod762 σε αυτό το thread

Καλησπέρα, αντιμετωπίζω ένα πρόβλημα στην άσκηση 23 στο κεφάλαιο της έννοιας των ακροτάτων / θεωρήματος Fermat ενός παλιού τεύχους του Μιχαηλίδη (συγκεκριμένα του 17-18), και επειδή δεν έχω το ένθετο λύσεων θέλω τη βοήθειά σας.

Δίνεται η δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση f:R->R, για την οποία ισχύει:
f(x)<=x+(f(1)+f(-1))/2, για κάθε x στο R.

Να αποδείξετε ότι:
α) f(1)-f(-1)=2 (x=1, x=-1),
β) υπάρχει x0 στο (-1, 1) τέτοιο, ώστε f(x0)=1+f(-x0) (θετ ή bolzano),
γ) υπάρχουν x1, x2 στο (-1, 1), χ1<χ2, τέτοια, ώστε f'(x1)+f'(x2)=2,
δ) υπάρχει ξ στο (-1, 1) τέτοιο, ώστε f''(ξ)=0 (Fermat για να πάρω f'(1)=f'(-1)=1, Rolle στο [-1, 1]).

To (γ) είναι το δύσκολο της υπόθεσης. Εφαρμόζοντας ΘΜΤ για την g(x)=f(x)-f(-x) ή Rolle για την g(x)=f(x)-f(-x)-2x στο [-1, 1] παρατηρούμε ότι αρκεί να δείξουμε ότι δεν μπορούμε να έχουμε x1=0, δηλαδή f'(0)=1, αλλά δεν προχωράει.

Μια άλλη σκέψη εκμεταλλευόμενοι το (β) είναι ΘΜΤ στα [-1, -χ0], [χ0, 1] (είναι χ0>0), απ' όπου παίρνουμε f'(x1)+f'(x2)=[f(-1)-f(-x0)+f(x0)-f(1)]/(x0-1)=3/(x0-1), που δεν δουλεύει. Αλλά και τυχαίο γ αντί για x0 να πάρουμε θα θέλαμε να έχουμε f(γ)-f(-γ)=2γ, που επίσης δεν προχωράει.

Ουσιαστικά θεωρώντας την h(x)=f(x)-x το πρόβλημα είναι το εξής: h δύο φορές παραγωγίσιμη, h(x)<=h(1)=h(-1), νδο υπάρχουν x1, x2 στο (-1, 1) τέτοια, ώστε h'(x1)+h'(x2)=0.