Samael
Τιμώμενο Μέλος
Ο Samael αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Είναι Φοιτητής του τμήματος Ηλεκτρολόγων & Ηλεκτρονικών Μηχανικών ΠΑΔΑ και μας γράφει απο Πειραιάς (Αττική). Έχει γράψει 10,498 μηνύματα.
24-07-23
08:09
Προφανώς για όλα τα x1 = x2 θα είναι f(x1) = f(x2) βάσει του ορισμού της συνάρτησης . Η απόδειξη του Cade βασίζεται στο γεγονός ότι ξεκινάει με την παραδοχή ότι f(x1) = f(x2) και καταλήγει στο συμπέρασμα ότι η σχέση μεταξύ των x1 και x2 είναι :Γτ τετριμμενο οτι χ1=χ2 αφου την εξισωση λυνεις!Εμενα ο προβληματισμος μου ειναι στο ή.Το ή σημαινει οτι μπορει να ισχυει ειτε η μια σχεση ειτε η αλλη σχεση ειτε και οι δυο!Και αν ισχυει η μια σχεση χ1=χ2 τι γινεται σε αυτη την περιπτωση?Το θεωρω επισφαλη τροπο αποδειξης.Δεν ειναι απολυτα λαθος αλλα πολυ καλυτερο να το παει καποιος με αντιπαραδειγμα και να μην το μπλεξει με γενικοτητες που βαζουν προβληματα.
x1 = x2 ή x1+x2 = 4
Οπότε έχεις λύσεις που ισχύει απλώς x1 = x2 , που είναι οι τετριμμένες και δεν σε ενδιαφέρουν γιατί υπάρχουν για όλες τις συναρτήσεις είτε είναι 1-1 είτε όχι . Υπάρχει μια λύση x1 = x2 = 2 για την οποία ισχύουν ταυτόχρονα και οι δύο σχέσεις που πάλι δεν σε ενδιαφέρει γιατί ανήκει και αυτή στις τετριμμένες λύσεις...και τέλος υπάρχουν και λύσεις που ικανοποιούν μόνο την εξίσωση :
x1 + x2 = 4
Οπότε εάν πάρεις π.χ. :
x1 = 1 και x2 = 3 , βρίσκεις ότι f(x1) = f(x2) . Επί της ουσίας ο τρόπος του Cade είναι πιο ισχυρή απόδειξη του ζητούμενου καθώς σε αντίθεση με το αντιπαράδειγμα , δεν αποδεικνύει απλώς ότι η f είναι 1-1 αλλά και για ποια x1 != x2 ισχύει f(x1) = f(x2) .
Samael
Τιμώμενο Μέλος
Ο Samael αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Είναι Φοιτητής του τμήματος Ηλεκτρολόγων & Ηλεκτρονικών Μηχανικών ΠΑΔΑ και μας γράφει απο Πειραιάς (Αττική). Έχει γράψει 10,498 μηνύματα.
23-07-23
19:16
Είναι όλα θέμα παρουσίασης πιστεύω . Καθημερινά πολύς κόσμος σε υποσυνείδητο επίπεδο κάνει διάφορα μαθηματικά χωρίς να το αντιλαμβάνεται . Άλλωστε τα μαθηματικά σχετίζονται με την σκέψη κάποιου . Οπότε θεωρητικά μπορεί κάποιος που δεν έχει διδαχτεί formally μαθηματικά ποτέ να έχει μαθηματική σκέψη . Άλλοι περισσότερο άλλοι λιγότερο . Δεν λέμε να κάνουν όλη την λογική , αλλά κάποια βασικά στοιχεία θα ήταν χρήσιμα αφενός αλλά και ιδιαίτερα ενδιαφέρον αφετέρου . Άλλωστε και ο λογισμός εαν τον παρακολουθήσει κάποιος σε πανεπιστημιακό επίπεδο , με αυστηρή θεμελίωση , μόνο ευχάριστος όπως στο λύκειο δεν είναι . Κυρίως επειδή αναλώνεις τεράστιο χρόνο και προσπάθεια για να αποδείξεις πράγματα που κατά τα άλλα σου μπορεί να φαίνονται και εντελώς προφανείς . Η ουσία βέβαια δεν είναι να σκοτωθείς για να αποδείξεις το προφανές αλλά να εξασκηθείς στο να έχεις έναν συστηματικό τρόπο σκέψης για την αντιμετώπιση προβλημάτων , προφανή και μη .Την λογικη δεν την ακουμπανε στο λυκειο γτ ισως φοβουνται οτι επειδη ειναι αφηρημενο ως αντικειμενο θα δυσκολεψει τους μαθητες.Ειναι σαν να πας να μιλησεις για δακτυλιους,σωματα και ισομορφισμους στο λυκειο.Ακομα και ο πιο πορωμενος μαθητης θα κοιταει σαν χανος.Αντιθετα,ο διαφορικος λογισμος χρησιμοποιειται παντου μα παντου στις επιστημες και το κομματι της βελτιστοποιησης συναρτησεων ειναι πολυ διασημο κομματι.Το θεμα βεβαια ειναι οτι ως συνηθως παλι μπαινει το στοιχειο υπερβολης καθως αναζητουνται ασκησεις ακραιες του στυλ απεδειξε οτι υπαρχουν ξ1,ξ2 κτλπ για να ισχυει εκεινο κτλπ με χρηση 20 θμτ και ετσι δεν καταδεικνυεται η χρησιμοτητα του διαφορικου λογισμου.
Samael
Τιμώμενο Μέλος
Ο Samael αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Είναι Φοιτητής του τμήματος Ηλεκτρολόγων & Ηλεκτρονικών Μηχανικών ΠΑΔΑ και μας γράφει απο Πειραιάς (Αττική). Έχει γράψει 10,498 μηνύματα.
23-07-23
18:52
Πιστεύω οτι γενικά πρέπει να αφιερωθούν κάποια μαθήματα λίγο στο κομμάτι της λογικής , των αποδείξεων , των επιχειρημάτων κτλπ . Είναι κρίσιμο και βασικό γιατί είτε κάνεις άλγεβρα , είτε λογισμό , είτε γεωμετρία είτε οποιοδήποτε κλάδο των μαθηματικών , οι βασικές αποδεικτικές πρακτικές παραμένουν επί της ουσίας ίδιες . Είναι σαν να λέμε τα θεμέλια των μαθηματικών , όπως τα μαθηματικά αποτελούν τα θεμέλια για άλλες επιστήμες . Και μεταξύ μας τώρα η αλήθεια να λέγεται , ποιο χρήσιμη είναι η λογική σε καθημερινό επίπεδο και στον προγραμματισμό παρά ο λογισμός . Γιατί λογική όλοι θα χρησιμοποιήσουν στην ζωή τους , και ιδίως όσοι ασχοληθούν με υπολογιστές πρέπει να έχουν ένα πιο firm grasp . Απο την άλλη λογισμό , όχι , δεν θα χρησιμοποιήσουν όλοι . Τουλάχιστον όχι άμεσα .Σωστα.Ουσιαστικα με ενα απλο παραδειγμα αποδεικνυεις οτι δεν ισχυει καθολικα ο ορισμος και αρα καιγεται οτι ειναι 1-1 στην προκειμενη περιπτωση.Ηταν 2-3 χρονιες στις πανελληνιες που το αναδεικνυαν αυτο το κομματι του αντιπαραδειγματος κυριως στο πρωτο θεμα.Ομως θεωρηθηκε too much για πρωτο θεμα γτ οι μοναδες θεωρουνται στημενες,τους κραξανε ασχημα και εδω και καμια τριετια το ξαναεβγαλαν.
Samael
Τιμώμενο Μέλος
Ο Samael αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Είναι Φοιτητής του τμήματος Ηλεκτρολόγων & Ηλεκτρονικών Μηχανικών ΠΑΔΑ και μας γράφει απο Πειραιάς (Αττική). Έχει γράψει 10,498 μηνύματα.
23-07-23
18:42
Το ξέρω , αλλά το κορίτσι είναι της πληροφορικής , μάλλον για αυτό της ξύνισε αυτή η μέθοδος .Ναι εχεις ενα δικιο αλλα στα συγκεκριμενα παραδειγματα ειναι αρκετα προφανη τι τιμες θες.Στην μεν συναρτηση με το απολυτη αρκει ουσιαστικα να λυσεις την απολυτο(χ-2)=κατι θετικο και αμεσως θα βρεις τι τιμες θα βαλεις για να σου φτιαξει το αντιπαραδειγμα.....Αν λυσεις πχ την απολυτο(χ-2)=2023 παλι θα δουλεψει.
Στην περιπτωση του ριζικου και παλι δοκιμαζεις πχ εκει που μηδενιζει το υποριζο χ=3 και βλεπεις οτι δινει τιμη 1 αρα στον πανω κλαδο αν βαλεις μηδεν παιρνεις ιδια τιμη.Τετοιες ασκησεις ειναι αρκετα ευκολα τα αντιπαραδειγματα.
Πέρα απο την πλάκα όμως , γενικά το αντιπαράδειγμα είναι μια πολύ δυνατή μέθοδος . Ίσως περιορισμένη στην περίπτωση πιο γενικών συναρτήσεων( και επομένως real world συναρτήσεων , aka σήματα )που ούτε τον ορισμό μπορείς να ελέγξεις άμεσα , ούτε να παραγωγίσεις γίνεται ,ούτε να κάνεις εξίσωση εικόνων , οπότε εκεί ναι όντως θες υπολογιστή να ψάξει εξαντλητικά ή να κάνει χρήση κάποιου έξυπνου αλγόριθμου...αλλά πρέπει να δούμε την αξία της μεθόδου σε ένα ευρύτερο πλαίσιο :
Όσα παραδείγματα και να χρησιμοποιήσει κανείς για να αποδείξει την ισχύ μιας πρότασης δεν θα είναι αρκετά ορισμένες φορές ( εκτός εαν έχει να ελέγξει πεπερασμένο αριθμό περιπτώσεων οπότε αποδεικνύει το ζητούμενο εύκολα με εξαντλητικό τρόπο ). Για να λύσει κανείς τα χέρια του σε αυτή την περίπτωση πρέπει να βασιστεί σε κάποια αποδεικτική διαδικασία ευρύτερου βεληνεκούς ( λόγου χάρη μέθοδος της επαγωγής ) . Το αντιπαράδειγμα όμως είναι δυνατό ακριβώς επειδή με ένα και μόνο παράδειγμα μπορείς να αποδείξεις οτι σίγουρα κάτι δεν ισχύει .
@Helen06 εαν σε ενδιαφέρει σε περισσότερο βάθος το που πάει η κουβέντα θα σου πρότεινα να ψάξεις για το γνωστό N vs NP . Είναι ένα πολύ συναρπαστικό και πολύ ενδιαφέρον πρόβλημα που κάθεται μεταξύ μαθηματικών και επιστήμης υπολογιστών .