Samael
Τιμώμενο Μέλος
Ο Samael αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Είναι Φοιτητής του τμήματος Ηλεκτρολόγων & Ηλεκτρονικών Μηχανικών ΠΑΔΑ και μας γράφει απο Πειραιάς (Αττική). Έχει γράψει 10,404 μηνύματα.
11-06-22
22:38
Πάρε την συνάρτηση : f(x) = 1 - e^(-x) , x E R.Μπορείς να φέρεις ένα παράδειγμα;
Υπέθεσε οτι φτιάχνεις μια ακολουθία απο αυτή, την x[n] = 1 - e^(-n) , n E Z.
Εαν παραγωγήσεις την f θα βρεις οτι είναι γνησίως αύξουσα διότι :
f'(x) = e^(-x) > 0 , για κάθε x E R.
Όμως :
-e^(-x) < 0 , για κάθε x E R <=>
1 - e^(-x) < 1 <=>
f(x) < 1
Έτσι ενώ η f είναι γνησίως αύξουσα για κάθε x E R, βλέπουμε οτι είναι και άνω φραγμένη.
Και η ακολουθία λοιπόν που θα προκύπτει απο αυτή θα είναι αναγκαστικά γνησίως αύξουσα και άνω φραγμένη.
Ολίγον αντιδιαισθητικό, διότι έχεις στο μυαλό σου οτι κάτι που συνεχώς αυξάνεται, αναπόφευκτα κάποια στιγμή θα ξεπεράσει κάθε φράγμα. Άλλες πιο αργά, άλλες πιο γρήγορα(λόγου χάρη οι εκθετικές αυξάνουν πιο γρήγορα απο τις πολυωνυμικές).
Ωστόσο αποκτά ξανά μια λογική το πράγμα εαν σκεφτείς οτι κάτι θα μπορούσε να αυξάνεται συνεχώς, αλλά προσεγγίζοντας ασυμπτωματικά κάτι άλλο. Αυτό ακριβώς συμβαίνει και στην περίπτωση της γνησίως αύξουσας αλλά άνω φραγμένης συνάρτησης ή ακολουθίας :
Ελπίζω να βοήθησα.