Samael
Τιμώμενο Μέλος
Ο Samael αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Είναι Φοιτητής του τμήματος Ηλεκτρολόγων & Ηλεκτρονικών Μηχανικών ΠΑΔΑ και μας γράφει απο Πειραιάς (Αττική). Έχει γράψει 10,404 μηνύματα.
06-10-20
19:05
Ναι, κι αυτό υπάρχουν αρκετοί τρόποι για να το δεις - π.χ. με παραγώγιση και 2-3 κιλά πράξεις ή με απευθείας απόδειξη της παραπάνω ανισότητας - ή πιο απλά, από την ανισότητα Cauchy-Schwarz για u=(a,b) και v=(sinx,cosx):
,
με το = να επιτυγχάνεται αν και μόνο αν τα u,v είναι γραμμικώς εξαρτημένα, δηλαδή όταν:
Η καλύτερη απόδειξη για εμένα πιστεύω είναι του Βασίλη γιατί 1ον) είναι η απλούστερη, 2ον)Μαθηματικώς μιλώντας είναι η πιο αναλυτική , και 3ον)χρησιμοποιεί την ανισότητα Cauchy-Schwarz, βλέποντας ως διανύσματα τα χ1= <α,b> & χ2= <sinx,cosx>.
Η απόδειξη μπορεί να γίνει και με χρήση μιγαδικών, αν εκφραστούν τα sinx και cosx ως μιγαδικά εκθετικά. Συγκεκριμένα καταλήγουμε σε μια έκφραση της μορφής :
αsinx+bcosx = cos(x-θ)√(α²+b²) <= √(α²+b²) ,εφόσον cos(χ-θ)<=1
Όπου θ =
{atan(α/β) ,εαν α>0 & β>0
π-atan(-α/β) , εαν α>0 & β<0
-atan(-α/β), εαν α<0 & β>0
-π+atan(α/β) , εαν α<0 & α<0 }
Όπως και πριν εαν x = 2κπ+θ, για κ=0,1,2,...τότε ισχύει η ισότητα.
Για παράδειγμα εαν κ = 0, α>0 ^ b>0 =>
χ= θ =atan(α/β) =>
x-θ = 0 => cos(χ-θ) = 1 =>
αsinx+bcosx = √(α²+b²)
Η απλούστερη λύση όλων και μάλλον αυτό που θα αρκούσε σε μια εξέταση, αλλά η λιγότερο ας πούμε "εντυπωσιακή" είναι να σκεφτεί κανείς στο αρχικό πρόβλημα :
sinx+cosx = 2 , οτι το cosx προπορεύεται του sinx κατά π/2 . Κάνοντας το γράφημα των δυο συναρτήσεων λοιπόν για το διάστημα [0,2π] (ως περιοδικές συναρτήσεις) είναι φανερό οτι δεν παίρνουν ποτέ στο ίδιο σημείο την τιμή 1,σε όλο το R .
Διασκεδαστικό πρόβλημα θα έλεγα, από την άποψη οτι ώθησε σε αποδείξεις της γενίκευσης του.