Άλλα μηνύματα του μέλους Civilara σε αυτό το thread

Αρχική Δημοσίευση από Δήμος56103:

Μαθηματική επαγωγή.
να δείξετε με την μέθοδο της μαθηματικής επαγωγής ότι ν!<=ν^(ν) για κάθε ακέραιο ν>=1.
Λύση:
Για ν=1 ισχύει.
Υποθέτω ότι ισχύει για ν. Δηλαδή ότι ισχύει το ν!<=ν^(ν)
Ισχύει για την περίπτωση ν+1; δηλαδή (ν+1)! < = (ν+1)^(ν+1)
(ν+1)!=(ν! * (ν+1)) <= (ν^ν) * (ν+1)< [(ν+1) ^ ν] * (ν+1)= (ν+1)^ν+1

Δεν καταλαβαίνω πως την λύνει.Ξεκινά με το (ν+1)!= ??? και μετά χάνομαι....Αν μπορεί κάποιος να την εξηγήσει πιο αναλυτικά, πως προκύπτει το κάθε βήμα της λύσης θα ήμουν ευγνώμων.





ps όταν γράφω στο latex editor τα μαθηματικά μετά κάνω copy paste την μαθηματική έκφραση από το latex editor εδώ αλλά δεν μου τα δείχνει σωστά. πχ δε καταλαβαίνω τι μου διαφεύγει...Χρειάζεται να προσθέσω επιπλέον εντολές;

Click για ανάπτυξη...

Για ν=1 ισχύει ν!=ν^ν

ν!=1*2*...*ν
(ν+1)!=1*2*...*ν*(ν+1)=(1*2*...*ν)*(ν+1)=ν!*(ν+1)
(ν+1)^(ν+1)=[(ν+1)^ν]*(ν+1)

ν!<=ν^ν => ν!*(ν+1)<=(ν^ν)*(ν+1) => (ν+1)!<=(ν^ν)*(ν+1)
0<1 => ν<ν+1 => ν^ν<(ν+1)^ν => (ν^ν)*(ν+1)<[(ν+1)^ν]*(ν+1) => (ν^ν)*(ν+1)<(ν+1)^(ν+1)

Από τις δύο τελευταίες ανισότητες προκύπτει ότι (ν+1)!<(ν+1)^(ν+1) για ν ανήκει Ν* και (ν+1)!<=(ν+1)^(ν+1) για ν ανήκει Ν. Άρα:
ν!<=ν^ν για ν ανήκει Ν*.

Αρχική Δημοσίευση από arnold:

δινεται η συναρτηση f για την οποια ισχυουν x^2f ''(x)#-1 για καθε χεR και f(2)-f(1)=ln2 -1.να δειξετε οτι οι Cf ' και Cg ' οπου g(x)=lnx-x εχουν ενα μονο κοινο σημειο με τετμημενη στο (1,2)

Click για ανάπτυξη...

Η g είναι συνεχής και δύο φορές παραγωγίσιμη στο (0,+οο) με παραγώγους:
g(x)=lnx-x
g΄(x)=(1/x)-1
g΄΄(x)=-1/(x^2)

Η f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο R, οπότε και συνεχής στο R με συνεχή πρώτη παράγωγο και ισχύει (x^2)f΄΄(x)#-1 για κάθε x ανήκει R*.
Θεωρούμε τη συνάρτηση h(x)=f(x)-g(x). Επειδή οι f, g είναι δύο φορές παραγωγίσιμες στο (0,+oo) τότε και η h είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο (0,+οο), άρα και συνεχής με συνεχή πρώτη παράγωγο στο (0,+οο), με παραγώγους:
h(x)=f(x)-g(x)=f(x)-lnx+x
h΄(x)=f΄(x)-g΄(x)=f΄(x)-(1/x)+1
h΄΄(x)=f΄΄(x)-g΄΄(x)=f΄΄(x)+(1/(x^2))=[(x^2)f΄΄(x)+1]/(x^2) # 0 για κάθε x ανήκει (0,+οο)

Έχουμε:
f(2)-f(1)=ln2-1 => f(2)=f(1)+ln2-1
g(1)=-1
g(2)=ln2-2
h(1)=f(1)-g(1)=f(1)+1
h(2)=f(2)-g(2)=f(1)+ln2-1-ln2+2=f(1)+1=h(1)

Η h είναι συνεχής στο [1,2], παραγωγίσιμη στη (1,2) και h(1)=h(2). Επομένως σύμφωνα με το θεώρημα του Rolle υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ ανήκει (1,2) τέτοιο ώστε h΄(ξ)=0 <=> f΄(ξ)=g΄(ξ)

Για x<ξ έχουμε:
Η h΄ είναι συνεχής στο [x,ξ] και παραγωγίσιμη στο (x,ξ) οπότε σύμφωνα με το θεώρημα μέσης τιμής του διαφορικού λογισμού, υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ1 ανήκει (x,ξ) τέτοιο ώστε h΄΄(ξ1)=[h΄(ξ)-h΄(x)]/(ξ-x)=(-h΄(x))/(ξ-x)=h΄(x)/(x-ξ)
Είναι h΄΄(ξ1)#0 => h΄(x)#0

Για x>ξ έχουμε:
Η h΄ είναι συνεχής στο [ξ,x] και παραγωγίσιμη στο (ξ,x) οπότε σύμφωνα με το θεώρημα μέσης τιμής του διαφορικού λογισμού, υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ2 ανήκει (ξ,x) τέτοιο ώστε h΄΄(ξ2)=[h΄(x)-h΄(ξ)]/(x-ξ)=h΄(x)/(x-ξ)
Είναι h΄΄(ξ2)#0 => h΄(x)#0

Άρα για x ανήκει (0,ξ)U(ξ,+οο) ισχύει h΄(x)#0 και h΄(ξ)=0. Επομένως το ξ ανήκει (1,2) είναι μοναδικό.

Αρχική Δημοσίευση από klean:

Ωραίος, βγαίνει και κατευθείαν

Αν σου είναι εύκολο, δες και την προηγούμενη λύση και τον ΟΕΦΕ, ποια είναι η γνώμη σου;

Click για ανάπτυξη...

Μπορεί να αποδειχθεί ότι υπάρχει το ξ χωρίς κλαδική συνάρτηση. Θεωρούμε τη συνάρτηση
h(x)=f(x)lnx+(F(x)/x)=F΄(x)lnx+(F(x)/x) με πεδίο ορισμού το (0,+οο).

Η f είναι παραγωγίσιμη στο [0,+οο) οπότε και συνεχής σε αυτό. Επομένως η F είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο [0,+οο) με
F΄(x)=f(x)
F΄΄(x)=f΄(x)
Είναι F(0)=0 και F΄(0)=f(0)=1

Από προηγούμενα ερωτήματα έχει προκύψει ότι F(x)>0 και F΄(x)>1>0 για x>0.

Για x=1 προκύπτει h(1)=F(1)>0

H f είναι συνεχής στο [0,+οο), οπότε είναι συνεχής στο 0 και επομένως lim(x->0+)f(x)=f(0)=1>0
Η συνάρτηση F είναι παραγωγίσιμη στο [0,+οο), οπότε είναι παραγωγίσιμη στο 0 με F΄(0)=f(0)=1
Από τον ορισμό της παραγώγου σε σημείο έχουμε:
lim(x->0+){[F(x)-F(0)]/(x-0)}=F΄(0) => lim(x->0+)(F(x)/x)=1

Επειδή lim(x->0+)f(x)=f(0)=1>0 και lim(x->0+)lnx=-oo τότε lim(x->0+)[f(x)lnx]=-oo => lim(x->0+)[F΄(x)lnx]=-oo
Επειδή lim(x->0+)(F(x)/x)=1 και lim(x->0+)[F΄(x)lnx]=-oo τότε lim(x->0+)h(x)=-oo

Η h είναι συνεχής στο (0,1) και ισχύει lim(x->0+)h(x)=-oo τότε το διάστημα (lim(x->0+)h(x), h(1))=(-oo,h(1)) είναι υποσύνολο της εικόνας h((0,1)) του διαστήματος (0,1) (αν η h ήταν γνησίως αύξουσα στο (0,1) τότε θα θα ήταν η εικόνα του ακριβώς και το ζητούμενο ξ θα ήταν μοναδικό). Επειδή το 0 ανήκει στο διάστημα (-οο,h(1)), καθώς h(1)>0, τότε υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ ώστε h(ξ)=0.

Αρχική Δημοσίευση από klean:

Μπορείς να το βγάλεις αναλυτικά;

Click για ανάπτυξη...

[f΄(x)/f(x)]+σφx=1 => [f΄(x)/f(x)]+(συνx/ημx)=1 => f΄(x)ημx+f(x)συνx=f(x)ημx => (f(x)ημx)΄=f(x)ημx => (f(x)ημx)΄-f(x)ημx=0 =>
=> (f(x)ημx)΄(e^(-x))-f(x)ημx(e^(-x))=0 => (f(x)ημx)΄(e^(-x))+(f(x)ημx)(e^(-x))΄=0 => [f(x)ημx(e^(-x))]΄=0

Αρχική Δημοσίευση από akis95:

Έστω τα διανύσματα

τέτοια ώστε:

1)

2)

3)

4)

Να δείξετε ότι:

Click για ανάπτυξη...

a+b παράλληλο c => υπάρχει λ ανήκει R ώστε a+b=λc => b=λc-a
a+c κάθετο d => (a+c)d=0 => ac+cd=0 => ac=-cd
cd διάφορο 0 => c, d μη μηδενικά διανύσματα και δεν είναι κάθετα μεταξύ τους
(bd)c+(cd)d=0

Έχουμε
bd=(λc-a)d=λ(cd)-(ad)=λ(cd)+(cd)=(λ+1)(cd)
(bd)c+(cd)d=(λ+1)(cd)c+(cd)d=(cd)[(λ+1)c+d]

(bd)c+(cd)d=0 => (cd)[(λ+1)c+d]=0 => (λ+1)c+d=0 => d=-(λ+1)c εφόσον cd διάφορο 0

Συνεπώς

a+b+c+d=a+(λc-a)+c+[-(λ+1)c]=a+λc-a+c-(λ+1)c=a-a+(λ+1)c-(λ+1)c=0

Αρχική Δημοσίευση από loukas(^_^):

μπορει να με βοηθησει κανενας??
Να βρεθει ο γεωμετρικος τοπος των σημειων Μ(χ,y) του επιπεδου για τα οποια ισχυει : x(στη τριτη) + y(στην τριτη) + x(τετραγωνο)*y + x*y(τετραγωνο) =x+y

*=(επι)

Click για ανάπτυξη...

Σωστή μέχρι ενός σημείου η απάντηση του tebelis13 αλλά δεν έχει βρει όλα τα σημεία του ζητούμενου γεωμετρικού τόπου. Εγώ θα επιχειρήσω μια άλλη προσέγγιση με μετασχηματισμό σε πολικές συντεταγμένες που ξεφεύγει κάπως από τη σχολική ύλη.

Οι πολικές συντεταγμένες του σημείου M(x,y) δίνονται από τις σχέσεις:
x=ρ*συνφ
y=ρ*ημφ

όπου για οποιοδήποτε σημείο του επιπέδου Oxy, με εξαίρεση την αρχή Ο(0,0), είναι ρ=(ΟΜ)>0 και 0<=φ<2π η αριστερόστροφη γωνία (αντίθετα από τους δείκτες του ρολογιού) που σχηματίζει το μοναδιαίο διάνυσμα i στον θετικό ημιάξονα Ox με την διανυσματική ακτίνα ΟΜ. Για την αρχή Ο(0,0) είναι ρ=0 και δεν ορίζεται φ.

Αντικαθιστώντας στην αρχική εξίσωση έχουμε:

x^3+y^3+x^2y+xy^2=x+y
(ρσυνφ)^3+(ρημφ)^3+(ρσυνφ)^2ρημφ+ρσυνφ(ρημφ)^2=ρσυνφ+ρημφ
(ρ^3)συν^3φ+(ρ^3)ημ^3φ+(ρ^3)ημφσυν^2φ+ρ^3ημ^2φσυνφ=ρ(ημφ+συνφ)
(ρ^3)(συν^3φ+ημφσυν^2φ+ημ^3φ+ημ^2φσυνφ)-ρ(ημφ+συνφ)=0
(ρ^3)[συν^2φ(ημφ+συνφ)+ημ^2φ(ημφ+συνφ)]-ρ(ημφ+συνφ)=0
(ρ^3)(ημφ+συνφ)(ημ^2φ+συν^2φ)-ρ(ημφ=συνφ)=0
(ρ^3)(ημφ+συνφ)-ρ(ημφσυνφ)=0
ρ(ρ^2-1)(ημφ+συνφ)=0

α) Αν ρ=0 τότε x=y=0, οπότε η αρχή Ο(0,0) είναι σημείο του γεωμετρικού τόπου
β) Αν ρ^2-1=0 => ρ^2=1 τότε ρ=1 αφού ρ>0 που είναι η εξίσωση κύκλου (ρ=σταθερό) με ακτίνα R=1 και κέντρο την αρχή Ο(0,0). Δηλαδή τα σημεία της περιφέρειας του κύκλου με εξίσωση x^2+y^2=1 είναι σημεία του γεωμετρικού τόπου
γ) ημφ+συνφ=0 <=> ημφ=-συνφ
Αν συνφ=0 τότε θα ήταν και ημφ=0 αφού ημφ=-συνφ που είναι άτοπο γιατί τότε θα ήταν ημ^2φ+συν^2φ=0 διάφορο 1. Άρα συνφ διάφορο 0 και συνεπώς ημφ διάφορο 0. Επομένως έχουμε ισοδύναμα:

ημφ=-συνφ <=> εφφ=-1 <=> εφφ=-εφπ/4 <=> εφφ=εφ(-π/4) <=> φ=κπ-π/4 όπου κ ανήκει Z

0<=φ<2π => 0<=κπ-π/4<2π => π/4<κπ<9π/4 => 1/4<κ<9/4 => κ=1 ή κ=2

Αν κ=1 τότε φ=π-π/4=3π/4, οπότε
ημφ=ημ3π/4=ημ(π-π/4)=ημπ/4=SQRT(2)/2
συνφ=συν3π/4=συν(π-π/4)=-συνπ/4=-SQRT(2)/2
x=ρσυνφ=-(SQRT(2)/2)ρ
y=ρημφ=(SQRT(2)/2)ρ
Από τις 2 τελευταίες σχέσεις προκύπτει με απαλοιφή του ρ ότι x=-y => y=-x. Επειδή είναι ρ>0 η λύση αυτή περιλαμβάνει τα σημεία της ευθείας y=-x όπου x<0.

Αν κ=2 τότε φ=2π-π/4=7π/4, οπότε
ημφ=ημ7π/4=ημ(2π-π/4)=ημ(-π/4)=-ημπ/4=-SQRT(2)/2
συνφ=συν7π/4=συν(2π-π/4)=συν(-π/4)=συνπ/4=SQRT(2)/2
x=ρσυνφ=(SQRT(2)/2)ρ
y=ρημφ=-(SQRT(2)/2)ρ
Από τις 2 τελευταίες σχέσεις προκύπτει με απαλοιφή του ρ ότι y=-x. Επειδή είναι ρ>0 η λύση αυτή περιλαμβάνει τα σημεία της ευθείας y=-x όπου x>0.

Επομένως ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος αποτελείται από όλα τα σημεία του κύκλου x^2+y^2=1 και της ευθείας y=-x. Δηλαδή ισχύει (x+y)(x^2+y^2-1)=0.

Αρχική Δημοσίευση από evangelie :):

1) Αν τα διανυσματα α,β,γ ειναι μοναδιαια και ισχυεια*β+β*γ +2 = 0 να αποδειχτει οτι α=γ=-β

Click για ανάπτυξη...

|α|=|β|=|γ|=1

αβ=|α||β|συν(α,β)=συν(α,β)
βγ=|β||γ|συν(β,γ)=συν(β,γ)

αβ+βγ+2=0 => συν(α,β)+συν(β,γ)=-2
Για να ισχύει η παραπάνω ισότητα πρέπει συν(α,β)=συν(β,γ)=-1 αφού -1<=συν(α,β)<=1 και -1<=συν(β,γ)<=1.
συν(α,β)=συν(β,γ)=-1=συνπ => (α,β)=(β,γ)=π αφού 0<=(α,β)<2π και 0<=(β,γ)<2π

|α|=|β|
(α,β)=π => α αντίρροπο β
Άρα α=-β

|γ|=|β|
(β,γ)=π => γ αντίρροπο β
Άρα γ=-β

Επομένως α=γ=-β

Αρχική Δημοσίευση από evangelie :):

2) δινονται τα διανυσματα α και β για τα οποια ισχυουν: μετρο του α =4, μετρο του β =5 και προβαβ= 5/8 α.
να αποδειξετε οτι α*β=10
να βρειτε τη γωνια των α και β
να υπολογισετε το μετρο του διανυσματος u= α-β

Click για ανάπτυξη...

αβ=αΠροβ(α)β=α*((5/ 8 )α)=(5/ 8 )(α^2)=(5/ 8 )|α|^2=(5/ 8 )*(4^2)=10

συν(α,β)=(αβ)/(|α||β|)=10/(4*5)=1/2=συν(π/3) => (α,β)=π/3 ή (α,β)=5π/6 αφού 0<=(α,β)<2π

|u|^2=u^2=(α-β)^2=α^2+β^2-2αβ=|α|^2+|β|^2-2(αβ)=4^2+5^2-2*10=16+25-20=21
|u|=SQRT(|u|^2)=SQRT(21)

Αρχική Δημοσίευση από renia_1995:

Λοιπόν...
Αν |α|=2 , |β|=ριζα2 (συγγνωμη που τα γραφω ετσι) και γωνια α,β = π/6. να υπολογισετε την γωνια (β-α, α+β).

Εγω ξεκινησα με συν (α-β,α+β) = (α-β)(α+β)/|α-β||α+β| = α^2 + β^2 / |α-β||α+β|

και μετα κολλησα γιατι δεν ξερω τι να κανω με τα μετρα....

Click για ανάπτυξη...

Θεωρώ τα διανύσματα γ=β-α και δ=α+β=β+α. Έχουμε:

αβ=|α||β|συν(α,β)=2*SQRT(2)*συν(π/6)=2*SQRT(2)*(SQRT(3)/2)=SQRT(6)
|γ|^2=γ^2=(β-α)^2=β^2+α^2-2(βα)=|β|^2+|α|^2-2(αβ)=(SQRT(2))^2+2^2-2*SQRT(6)=6-2SQRT(6)=2(3-SQRT(6)) => |γ|=SQRT(2(3-SQRT(6)))
|δ|^2=δ^2=(β+α)^2=β^2+α^2+2(βα)=|β|^2+|α|^2+2(αβ)=(SQRT(2))^2+2^2+2*SQRT(6)=6+2SQRT(6)=2(3+SQRT(6)) =>
=> |δ|=SQRT(2(3+SQRT(6)))

γδ=(β-α)(β+α)=β^2-α^2=|β|^2-|α|^2=(SQRT(2))^2-2^2=2-4=-2

συν(γ,δ)=[(γδ)/(|γ||δ|)]=[(-2)/(SQRT(2(3-SQRT(6)))*SQRT(2(3+SQRT(6)))=-(2/SQRT(12))=-1/(SQRT(3)=-(SQRT(3)/3)

Υπάρχουν δύο λύσεις στο διάστημα [0,2π). Υπάρχει μία λύση φ1 στο διάστημα (π/2,π) και μία φ2 στο διάστημα (π,3π/2) για τις οποίες ισχύει φ2=2π-φ1

Αρχική Δημοσίευση από dora9:

3.να βρεθει εμβαδον τετραγωνου ΑΒΓΔ , Α(-3,1) Γ(0,6)

Click για ανάπτυξη...

Αν α είναι το μήκος της πλευράς του τετραγώνου τότε οι διαγώνιοι του τετραγώνου έχουν μήκος δ=αSQRT(2) => α=δ/SQRT(2)
Το εμβαδόν του τετραγώνου είναι Ε=α^2=(δ^2)/2

Έχουμε δ=(ΑΓ)=SQRT((0+3)^2+(6-1)^2)=SQRT(9+25)=SQRT(34)
Άρα E=34/2=17 τετραγωνικές μονάδες.

Αρχική Δημοσίευση από panos1994:

έστω α, β διανυσματα με μέτρο α=1 και εσωτερικό γινόμενο α*β=-4. Αν διανυσμα v τέτοιο ώστε 4v=8προβαv + 4β και εσωτερικό γινόμενο α*v=4

Να γράψετε το v σαν γραμμικό συνδυασμό των α,β.

Προβαv=προβολη του v στο α

Χρειάζομαι τη λύση το συντομότερο δυνατό!

Click για ανάπτυξη...

Επειδή α//προβαν υπάρχει λ στο R ώστε προβαν=λα
ν=2προβαν+β => ν=2λα+β
Άρα αν=2λ|α|²+αβ => λ=(αν-αβ)/(2|α|²)
Άρα ν=((αν-αβ)/|α|²)α+β => ν=8α+β

Αρχική Δημοσίευση από antonio2761994:

!x-a!x=!x+3a!a όλα αυτά διανύσματα και πρέπει να αποδείξω ότι το α=3χ. το α γνωρίζουμε πως είναι διάφορο του μηδενός. επίσης γνωρίζουμε πως το α είναι ομόρροπο του χ και χ διάφορο του α! πήρα ότι έστω χ=κα για να βρω το κ=3 αλλά δεν μου βγαίνουν οι πράξεις! μπορεί να βοηθήσει κάποιος?

Click για ανάπτυξη...

Πρέπει να υπάρχει λάθος και να ζητείται να δειχθεί ότι x=3α

Αρχική Δημοσίευση από Χαρουλιτα:

μπορει να με βοηθησει καποιος σε καποιες ασκησεις;;;

Ασκηση 1
αν α.β δυο διανυσματα με |α|=|β|=|α+β| να δειξω οτι |α-β|=|α|*3 *3= ριζα του τρια

Click για ανάπτυξη...

Θέτω |α|=|β|=|α+β|=ρ>=0.

|α+β|=ρ => |α+β|²=ρ² => (α+β)²=ρ² => α²+β²+2αβ=ρ² => |α|²+|β|²+2(αβ)=ρ² => ρ²+ρ²+2(αβ)=ρ² => αβ=-(ρ²/2)

|α-β|²=(α-β)²=α²+β²-2αβ=|α|²+|β|²-2(αβ)=ρ²+ρ²-2(-ρ²/2)=2ρ²+ρ²=3ρ² => |α-β|=sqrt(|α-β|²)=ρsqrt(3)=|α|sqrt(3)

Αρχική Δημοσίευση από Χαρουλιτα:

Να αποδειχω οτι τα διανυσματα υ=|α|β +|β|α και ω=|α|β-|β|α ειναι καθετα

Click για ανάπτυξη...

υ=|α|β +|β|α=ρβ+ρα=ρ(β+α)
ω=|α|β-|β|α=ρβ-ρα=ρ(β-α)

υω=[ρ(β+α)][ρ(β-α)]=ρ²(β²-α²)=ρ²(|β|²-|α|²)=ρ²(ρ²-ρ²)=0 => υ κάθετο ω

Αρχική Δημοσίευση από Ricky:

Στη 2η άσκηση, αφού το σημείο είναι στον άξονα yy' πρέπει να εχει συντεταγμένες



Αν κάνουμε τις πράξεις στη δοθείσα σχέση (που ζητείται η ελαχιστοποίησή της) θα πάρουμε τελικά



Η παραπάνω παράσταση είναι μια συνάρτηση του . Για την ακρίβεια, είναι μια παραβολή.

Γνωρίζουμε ότι αυτού του τύπου η παραβολή έχει ελάχιστο στο σημείο όπου μηδενίζεται η πρώτη παράγωγος.

Με μια απλή παραγώγιση εύκολα προκύπτει ότι στο σημείο



η πρώτη παράγωγος μηδενίζεται.

Συνεπώς το ζητούμενο σημείο είναι το



Ελπίζω να μην έχω κάνει λάθος στις πράξεις.

Click για ανάπτυξη...

Δεν κάνουν παραγώγους στη Β΄ Λυκείου.

Θα αφήσω την απόδειξη για εξάσκηση. Η λύση είναι ν=4 και οι 8 λύσεις τις εξίσωσης είναι x=π/12, 7π/12, 13π/12, 19π/12, 25π/12, 31π/12, 37π/12, 43π/12

Αρχική Δημοσίευση από ..anna maraki..:

1)Εστω οτι για τα διανύσματα α, β ισχυουν οτι ΙαΙ=1 και προβα β= -2α
Να βρειτε το γινομενο α*β
Να βρειτε το διανυσμα χ τετοιο ωστε χ//(α-β) και α καθετο στο (χ-2β)
Αν γωνια (α,β)=120 και ΑΒ=β να βρειτε το ΙΑΒΙ και το γεωμετρικο τόπο των σημειων Μ για τα οποια ισχυει ΜΑ*ΜΒ=1

Click για ανάπτυξη...

i) αβ=απροβαβ=α(-2α)=-2α²=-2|α|²=-2

ii) α κάθετο (x-2β) => α(χ-2β)=0 => αχ-2(αβ)=0 => αχ=2(αβ) => αx=-4

x//(α-β) => υπάρχει λ ανήκει R τέτοιο ώστε χ=λ(α-β)

Άρα α[λ(α-β)]=-4 => λ[α(α-β)]=-4 => λ(α²-αβ)=-4 => λ(|α|²-αβ)=-α => 3λ=-4 => λ=-4/3

Επομένως x=-(4/3)(α-β)

iii) αβ=|α||β|συν(α,β) => |β|=αβ/[|α|συν(α,β)] => |β|=4

Θεωρώ δεξιόστροφο σύστημα συντεταγμένων Αxy με αρχή το Α(0,0) τέτοιο ώστε ο άξονας x να έχει τη διεύθυνση του α και το α να έχει φορά προς τα θετικά του άξονα x. Η ευθεία που διέρχεται από τα Α και Β σχηματίζει γωνία φ=120° ως προς τον άξονα x. Το σημείο Β(χΒ, yB) έχει συντεταγμένες:

xB=|AB|συνφ => χΒ=-2
yB=|AB|ημφ => yB=2sqrt(3)

Αν Μ(x,y) τότε MA=(-x,-y) και MB=(-2-x, 2sqrt(3)-y), οπότε

MA MB=1 => x(x+2)+y(y+2sqrt(3))=1 => x²+y²+2x+(2sqrt(3))y-1=0

Η παραπάνω εξίσωση έχει τη μορφή x²+y²+Ax+By+Γ=0 όπου Α=2, Β=2sqrt(3) και Γ=-1.

Α²+Β²-4Γ=20>0 => Άρα το Μ ανήκει σε κύκλο κέντρο Κ(-Α/2, -Β/2) => Κ (-1, -sqrt(3)) και ακτίνας ρ=(sqrt(Α²+Β²-4Γ))/2=sqrt(5)

Για να ξεφορτωθούμε το σύστημα συντεταγμένων Αxy το οποίο εισάγαμε αυθαίρετα, θα εκφράσουμε το ΚΑ ως γραμμικό συνδυασμό των α και β. Έχουμε ΚΑ=(1,sqrt(3)), α=(1,0) αφού έχει τα θετικά του x και μέτρο 1 και β=ΑΒ=(-2,2sqrt(3)). Θεωρώ τους ακεραίους κ, μ ώστε ΚΑ=κα+μβ=(κ-2λ, 2sqrt(3)λ). Άρα κ-2λ=1 και 2sqrt(3)λ=sqrt(3). Συνεπώς λ=1/2 και κ=2.
Άρα ΚΑ=2α+(1/2)β => ΑΚ=-2α-(1/2)β

Συνεπώς το Μ ανήκει σε κύκλο κέντρου Κ τέτοιο ώστε ΑΚ=-2α-(1/2)β και ακτίνας ρ=sqrt(5).

Αρχική Δημοσίευση από ..anna maraki..:

2)Δινεται τριγωνο ΑΒΓ με Α(3,-1) Β (7,2) Γ(-5/7,-2) και ΑΜ διαμεσος.
Να βρειτε τη γωνια των διανυσματων ΑΒ,ΑΜ
να βρειτε το σημειο Ρ στον αξονα χ'χ ωστε το τριγωνο ΑΡΒ να ειναι ορθογωνιο στο Ρ
Να βρειτε την προβολη του ΑΜ στο ΑΒ

Click για ανάπτυξη...

i) Το Μ(xM, yM) είναι μέσο της ΒΓ, οπότε

xM=(7-(5/7))/2=22/7 και yM=(2-2)/2=0. Άρα Μ(22/7,0)

ΑΒ=(4,3) |ΑΒ|=5
ΑΜ=(1/7,1) |ΑΜ|=(5/7)sqrt(2)

AB AM=(4/7)+3=25/7

συν(AB,AM)=(ΑΒ ΑΜ)/(|ΑΒ||ΑΜ|)=sqrt(2)/2=συν(π/4) => (ΑΒ ΑΜ)=π/4 αφού 0<=(ΑΒ ΑΜ)<π

ii) Ρ(α,0) αφού ανήκει στον άξονα x.
ΡΑ=(3-α,-1)
ΡΒ=(7-α,2)

ΡΑ ΡΒ=α²-10α+19

Τα διανύσματα ΡΑ και ΡΒ είναι κάθετα οπότε

ΡΑ ΡΒ=0 => α²-10α+19=0 => α1=5+sqrt(6), α2=5-sqrt(6)

Τα σημεία Ρ, Α, Β δεν πρέπει να είναι συνευθειακά, οπότε πρέπει τα διανύσματα ΡΑ και ΡΒ να μην είναι συγγραμμικά που σημαίνει det(ΡΑ,ΡΒ) διάφορο του 0

det(ΡΑ,ΡΒ)=13-3α διάφορο του 0 => α διάφορο του 13/3. Άρα και για τις 2 λύσεις α1, α2 τα σημεία Ρ, Α, Β δεν είναι συγγραμμικά, οπότε είναι και οι 2 δεκτές. Συνεπώς υπάρχουν 2 σημεία Ρ:

Ρ1(5+sqrt(6),0)
Ρ2(5-sqrt(6),0)

iii) Η προβολή του ΑΜ sto AB είναι παράλληλη στο ΑΒ. Επομένως υπάρχει πραγματικός αριθμός λ τέτοιος ώστε
προβΑΒ ΑΜ=λΑΒ=(4λ,3λ)

(προβΑΒ ΑΜ) ΑΜ=ΑΒ ΑΜ=25/7
(προβΑΒ ΑΜ) ΑΜ=4λ(1/7)+(3λ)1=(25/7)λ

Άρα 25/7=(25/7)λ => λ=1

Συνεπώς προβΑΒ=ΑΒ=(4,3)

Αρχική Δημοσίευση από vavlas:

Παιδιά 3 σημεία ορίζουν πάντα κύκλο;

Click για ανάπτυξη...

3 μη συνευθειακά σημεία ορίζουν πάντα κύκλο.

Σωστή είναι:no1:.

Αρχική Δημοσίευση από twisted:

καλησπερα , ξερω οτι στο σχολειο δν τις διδασκομαστε , αλλα θα μπορουσε καποιος να μου πει πως τις λυνουμε?
πχ . ημχ > 1 ημχ < 1 (εβαλα ημχ γιατι πιστευω καλυπτει κ τ συν στ τροπο λυσης)

Click για ανάπτυξη...

Η ημx>1 δεν έχει καμία λύση αφού -1<=ημx<=1.

Οι τριγωνομετρικές ανισώσεις λύνονται χρησιμοποιώντας την μονοτονία των τριγωνομετρικών συναρτήσεων.

Αρχική Δημοσίευση από Alexander_P:

@ geoste
αν επιλέξει κανεις να δωσει μαθηματικα ΓΠ και ΑΟΘ τοτε ειναι υποχρεωμενος να δηλωσει σχολες απο το 5ο πεδιο? ή μπορει (παρ'ολο που επέλεξε μαθηματα αυτου του πεδιου) να μην δηλωσει καποια σχολη, αλλα να δηλωσει και ως εξεταζομενο μαθημα και το ΑΟΘ μονο για τα μορια??

Click για ανάπτυξη...

ΟΧΙ στην 1η ερώτηση
ΝΑΙ ΜΠΟΡΕΙ στην 2η ερώτηση

Αρχική Δημοσίευση από geoedessa:

ειμαι β λυκειου...του χρονου λεω να παω τεχνολογικη κατευθυνση δλδ θα παρω αναγκαστικα το 4ο πεδιο και θ επιλεξω το 5ο δλδ τα οικονομικα...γινεται να περασω μαθηματικο?

Click για ανάπτυξη...

Από τεχνολογική κατεύθυνση (όποιον και από τους 2 κύκλους της τεχνολογικής να επιλέξεις) μπορείς να πας 2ο και 4ο πεδίο ανεξάρτητα από το μάθημα γενικής παιδείας που θα επιλέξεις. Αν επιλέξεις μάθημα γενικής παιδείας μαθηματικά και στοιχεία στατιστικής και το μάθημα επιλογής αρχες οικονομικής θεωρίας τότε μπορείς να διαλέξεις και 5ο πεδίο.

Μπορείς να διαλέξεις το πολύ σχολές από 2 πεδία χωρίς περιορισμό στον ατιθμό των σχολών. Αν κάποιες σχολές που σε ενδιαφέρουν υπάρχουν σε 2 πεδία τότε τις δηλώνεις μόνο μία φορά από όποιο πεδίο θες. Στο 2ο και στο 4ο πεδίο υπάρχουν κοινές σχολές αλλά δεν έχει καμία απολύτως σημασία σε ποιο από τα δύο θα δηλώσεις κάποια κοινή σχολή καθώς τα μαθήματα βαρύτητας είναι τα ίδια. Οι φυσικομαθηματικές είναι στο 2ο και Πολυτεχνικές στο 4ο πεδίο.

Αν θες να δηλώσεις 2ο και 4ο πεδίο τότε από τεχνολογική θα εξεταστείς στα μαθήματα:

1)Νεοελληνική γλώσσα
2)Υποχρεωτικό μάθημα επιλογής γενικής παιδείας
(Επιλέγεις 1 από τα α)Ιστορία γενικής παιδείας β)Φυσική γενικής Παιδείας, γ)Βιολογία γενικής παιδείας, δ) Μαθηματικά και στοιχεία στατιστικής γενικής παιδείας)
3)Μαθηματικά κατεύθυνσης
4)Φυσική Κατεύθυνσης
5)Αρχές οργάνωσης και διοίκησης επιχειρήσεων ή Ηλεκτρολογία (ανάλογα με τον κύκλο της τεχνολογικής που θα επιλέξεις)
6) Εφαρμογές πληροφορικής σε προγραμματιστικό περιβάλλον ή Χημεία-Βιοχημεία (ανάλογα με τον κύκλο της τεχνολογικής που θα επιλέξεις)


Αν θες να δηλώσεις 5ο πεδίο τότε από τεχνολογική θα εξεταστείς στα μαθήματα:

1)Νεοελληνική γλώσσα
2)Μαθηματικά και στοιχεία στατιστικής γενικής παιδείας
3)Μαθηματικά κατεύθυνσης
4)Φυσική Κατεύθυνσης
5)Αρχές οργάνωσης και διοίκησης επιχειρήσεων ή Ηλεκτρολογία (ανάλογα με τον κύκλο της τεχνολογικής που θα επιλέξεις)
6) Εφαρμογές πληροφορικής σε προγραμματιστικό περιβάλλον ή Χημεία-Βιοχημεία (ανάλογα με τον κύκλο της τεχνολογικής που θα επιλέξεις)
7)Αρχές οικονομικής θεωρίας

Αρχική Δημοσίευση από riemann80:

να δειξετε οτι για καθε φυσικο αριθμο n ισχυει

Click για ανάπτυξη...

Έστω P(n) η σχέση που πρέπει να αποδειχτεί όπου ν ανήκει Ν

Για n=0 τότε 5^{2n+1} +6^{2n+1}=5+6=11=πολ11 -> P(0) αληθής

Αν ισχύει η P(n) τότε θα αποδειχτεί ότι ισχύει η P(n+1)

Άρα 5^{2n+1} +6^{2n+1}=11κ -> 6^{2n+1}=11κ-5^{2n+1} όπου κ ανήκει Ν

Έχουμε 5^{2n+3} +6^{2n+3}=25*5^{2n+1}+36*6^{2n+1}=
=25*5^{2n+1}+36*(11κ-5^{2n+1})=
=25*5^{2n+1}-36*5^{2n+1}+36*11κ=
=(25-36)*5^{2n+1}+36*11κ=-11*5^{2n+1}+36*11κ=
=11(36κ-5^{2n+1})=11λ=πολ11 όπου λ ανήκει Ν -> P(n+1) αληθής

Άρα P(n) αληθής για κάθε n ανήκει Ν σύμφωνα με την αρχή της μαθηματικής επαγωγής. Συνεπώς

[/quote] για κάθε n ανήκει Ν