PeterTheGreat
Πολύ δραστήριο μέλος
Ο Staphylococcus aureus αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Είναι Φοιτητής και μας γράφει απο Θεσσαλονίκη (Θεσσαλονίκη). Έχει γράψει 923 μηνύματα.
20-11-14
21:49
Τα όρια είναι Απαραίτητα για τις πανελλαδικές με Α κεφαλαίο! Υπάρχουν πολλά όρια που δεν περιέχουν μέσα συναρτήσεις με γνωστό τύπο, αλλά πολύπλοκες παραστάσεις με f(x) οι οποίες δεν αναφέρεται (ή αποδεικνύεται) ότι είναι παραγωγίσιμες, και έτσι δεν μπορεί να εφαρμοστεί l'Hospital! Τα ίδια και για την μονοτονία, με άπειρες θεωρητικές ασκήσεις που ζητείται να βρεθεί η μονοτονία μη-παραγωγίσιμων συναρτήσεων!
Επίσης, θα τα χρειαστείς για να αποδείξεις ότι κάποιες συναρτήσεις είναι παραγωγίσιμες (δίνονται στοιχεία για την f, μαζί με κάποια όρια, και πρέπει να υπολογίσεις παράγωγο με ορισμό) και να υπολογίσεις όρια συναρτήσεων, των οποίον ναι μεν δίνεται ο τύπος, αλλά δεν βοηθάει ο κανόνας l'Hospital. Παράδειγμα: πολλά όρια με ρίζες.
Επίσης, θα τα χρειαστείς για να αποδείξεις ότι κάποιες συναρτήσεις είναι παραγωγίσιμες (δίνονται στοιχεία για την f, μαζί με κάποια όρια, και πρέπει να υπολογίσεις παράγωγο με ορισμό) και να υπολογίσεις όρια συναρτήσεων, των οποίον ναι μεν δίνεται ο τύπος, αλλά δεν βοηθάει ο κανόνας l'Hospital. Παράδειγμα: πολλά όρια με ρίζες.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 9 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
PeterTheGreat
Πολύ δραστήριο μέλος
Ο Staphylococcus aureus αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Είναι Φοιτητής και μας γράφει απο Θεσσαλονίκη (Θεσσαλονίκη). Έχει γράψει 923 μηνύματα.
07-09-14
14:34
Αρχικά θα υπολογίσουμε την ελάχιστη απόσταση μεταξύ της ευθείας και του κέντρου του κύκλου.
d = |Ax0 + By0 + Γ|/sqrt(A^2 + B^2)
d = |8*3 + 7*4 - 6|/sqrt(113) = 46/sqrt(113)
Άρα η ζητούμενη απόσταση θα είναι η διαφορά της απόστασης που βρήκαμε και της ακτίνας του κύκλου, δηλαδή 46/sqrt(113) - 2
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 9 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
PeterTheGreat
Πολύ δραστήριο μέλος
Ο Staphylococcus aureus αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Είναι Φοιτητής και μας γράφει απο Θεσσαλονίκη (Θεσσαλονίκη). Έχει γράψει 923 μηνύματα.
18-08-14
19:47
Αν
=>
=>
=>
=>
=>
=>
=>
=>
=>
Δεν πρόλαβα να το γράψω πριν τους άλλους, αλλά είναι σε LATEX.
=>
=>
=>
=>
=>
=>
=>
=>
=>
Δεν πρόλαβα να το γράψω πριν τους άλλους, αλλά είναι σε LATEX.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 9 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
PeterTheGreat
Πολύ δραστήριο μέλος
Ο Staphylococcus aureus αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Είναι Φοιτητής και μας γράφει απο Θεσσαλονίκη (Θεσσαλονίκη). Έχει γράψει 923 μηνύματα.
17-08-14
16:01
Ναι, σωστός είναι.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 9 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
PeterTheGreat
Πολύ δραστήριο μέλος
Ο Staphylococcus aureus αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Είναι Φοιτητής και μας γράφει απο Θεσσαλονίκη (Θεσσαλονίκη). Έχει γράψει 923 μηνύματα.
15-08-14
17:06
20. f(-x) = x^2 -x -ln|x|
Θέτω ω = -χ => χ = -ω
f(ω) = (-ω)^2 - (-ω) - ln|-ω| = ω^2 + ω - ln|ω|
Οπότε f(x) = x^2 + x - ln|x|
22. α)
Πρέπει χ > 0 και 1 - χ >= 0 =>
χ > 0 και χ =< 1 =>
χ ε (0, 1]
β) Θα δείξουμε ότι η f είναι '1-1'. Αρκεί να δείξουμε ότι είναι γνησίως μονότονη.
Έστω χ1, χ2 που ανήκουν στο (0,1] τέτοια ώστε χ1 < χ2.
χ1 < χ2 => lnx1 < lnx2 (1)
x1 < x2 => -x1 > -x2 => 1-x1 > 1-x2 => ρίζα(1-χ1) > ριζα(1-χ2) => -ρίζα(1-χ1) < -ρίζα(1-χ2) (2)
Από πρόσθεση κατά μέλη των (1) και (2), προκύπτει ότι χ1 < χ2 => f(χ1) < f(χ2) για κάθε χ1, χ2 ε (0,1]. Άρα ή f είναι γνησίως μονότονη, άρα και '1-1', συνεπώς και αντιστρέφεται.
γ) Αφού το πεδίο ορισμού της f είναι το (0,1] και αυτή έχει αντίστροφη, το πεδίο ορισμού της f θα είναι το σύνολο τιμών της αντίστροφης. Συνεπώς, f-1(x) ε (0,1] για κάθε χ ανήκει στο πεδίο ορισμού της f-1, το οποίο θα βρούμε από το σύνολο τιμών της f. Αφού η f είναι γνησίως αύξουσα, τότε το f(Df) = (lim x->0 f(x), f(1)] = (-άπειρο, 0]. Άρα για κάθε χ =< 0, f-1(x) ε (0, 1]
δ) Αφού 0 < f-1(x) =< 1, => 0 < (x^2)*(f-1(x)) =< x^2. Από κριτήριο παρεμβολής, το ζητούμενο όριο είναι ίσο με 0.
Θέτω ω = -χ => χ = -ω
f(ω) = (-ω)^2 - (-ω) - ln|-ω| = ω^2 + ω - ln|ω|
Οπότε f(x) = x^2 + x - ln|x|
22. α)
Πρέπει χ > 0 και 1 - χ >= 0 =>
χ > 0 και χ =< 1 =>
χ ε (0, 1]
β) Θα δείξουμε ότι η f είναι '1-1'. Αρκεί να δείξουμε ότι είναι γνησίως μονότονη.
Έστω χ1, χ2 που ανήκουν στο (0,1] τέτοια ώστε χ1 < χ2.
χ1 < χ2 => lnx1 < lnx2 (1)
x1 < x2 => -x1 > -x2 => 1-x1 > 1-x2 => ρίζα(1-χ1) > ριζα(1-χ2) => -ρίζα(1-χ1) < -ρίζα(1-χ2) (2)
Από πρόσθεση κατά μέλη των (1) και (2), προκύπτει ότι χ1 < χ2 => f(χ1) < f(χ2) για κάθε χ1, χ2 ε (0,1]. Άρα ή f είναι γνησίως μονότονη, άρα και '1-1', συνεπώς και αντιστρέφεται.
γ) Αφού το πεδίο ορισμού της f είναι το (0,1] και αυτή έχει αντίστροφη, το πεδίο ορισμού της f θα είναι το σύνολο τιμών της αντίστροφης. Συνεπώς, f-1(x) ε (0,1] για κάθε χ ανήκει στο πεδίο ορισμού της f-1, το οποίο θα βρούμε από το σύνολο τιμών της f. Αφού η f είναι γνησίως αύξουσα, τότε το f(Df) = (lim x->0 f(x), f(1)] = (-άπειρο, 0]. Άρα για κάθε χ =< 0, f-1(x) ε (0, 1]
δ) Αφού 0 < f-1(x) =< 1, => 0 < (x^2)*(f-1(x)) =< x^2. Από κριτήριο παρεμβολής, το ζητούμενο όριο είναι ίσο με 0.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 9 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.