Civilara
Περιβόητο μέλος
Ο Civilara αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Μας γράφει απο Δανία (Ευρώπη). Έχει γράψει 4,344 μηνύματα.
09-09-12
02:10
Δινονται τα διανυσματα και για τα οποια ισχυουν .
Να αποδειξετε οτι
Α.
Β.Η γωνια των διανυσματων α και β ειναι 60 μοιρες.
Γ.Τα διανυσματα ειναι παραλληλα.
Α. υy=(α+2β)(5α-4β)=α(5α)+α(-4β)+(2β)(5α)+(2β)(-4β)=5(α^2)-4(αβ)+10(αβ)-8(β^2)=5(α^2)-8(β^2)+6(αβ)=5(|α|^2)-8(|β|^2)+6(αβ)
υ κάθετο y => (υ,y)=π/2 => υy=0 => 5(|α|^2)-8(|β|^2)+6(αβ)=0 => αβ=[5(|α|^2)-8(|β|^2)]/6 => αβ=[5*(1^2)-8*(1^2)]/6=3/6=1/2
Άρα αβ=1/2
Β. αβ=|α||β|συν(α,β) => συν(αβ)=αβ/(|α||β|) => συν(α,β)=(1/2)/(1*1)=1/2 => συν(α,β)=συν(π/3)
Άρα (α,β)=2κπ-(π/3) ή (α,β)=2κπ+(π/3) όπου κ ακέραιος. Ξέρουμε ότι 0<(α,β)<π/2
- 0<2κπ-(π/3)<π/2 => π/3<2κπ<5π/6 => 1/6<κ<5/12 => δεν υπάρχει ακέραιος κ στο διάστημα (1/6,5/12)
-0<2κπ+(π/3)<π/2 => -π/2<2κπ<π/6 => -1/4<κ<1/12 => ο μοναδικός ακέραιος στο διάστημα (-1/4,1/12) είναι ο κ=0, οπότε για κ=0 προκύπτει (α,β)=π/3
Άρα (α,β)=π/3 rad =60 μοίρες
Γ.
γ=υ+y => γ=(α+2β)+ (5α-4β) => γ=6α-2β
δ=3α-β
Επομένως γ=6α-2β=2(3α-β)=2δ => γ=2δ => άρα γ//δ και συγκεκριμένα γ ομόρροπο δ
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Civilara
Περιβόητο μέλος
Ο Civilara αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Μας γράφει απο Δανία (Ευρώπη). Έχει γράψει 4,344 μηνύματα.
08-07-09
21:56
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Civilara
Περιβόητο μέλος
Ο Civilara αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Μας γράφει απο Δανία (Ευρώπη). Έχει γράψει 4,344 μηνύματα.
16-06-09
01:45
Άλλος τρόπος
Θεωρώ την συνάρτηση f(x)=6ημx-8συνx, x ανήκει R.
Η f είναι περιοδική με περίοδο T=2π αφού για κάθε x ανήκει R ισχύει:
f(x+nT)=f(x), όπου n ανήκει Z
Η f είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο R με παράγωγο f'(x)=6συνx+8ημx
f'(x)=0 <=> 6συνx+8ημx=0 <=> ημx=-(3/4)συνx
Αν συνx=0 τότε από την παραπάνω εξίσωση προκύπτει ημx=0 που είναι άτοπο αφού τότε (ημx)^2+(συνx)^2=0 διάφορο 1. Άρα για τις λύσεις την παραπάνω εξίσωσης ισχύει ημx διάφορο 0 και συνx διάφορο 0. Συνεπώς γράφεται ισοδύναμα
ημx=-(3/4)συνx <=> εφx=-3/4
Θέωρω τέτοιο ώστε . Επειδή τότε
Έτσι λοιπόν έχουμε
Αν κ=2λ άρτιος τότε οι λύσεις παίρνουν την μορφή και είναι:
Αν κ=2λ+1 περιττός τότε οι λύσεις παίρνουν την μορφή και είναι:
Η f είναι συνεχής στο , παραγωγίσιμη στο και ισχύει f'(x)<0 για κάθε . Συνεπώς η f είναι γνησίως φθίνουσα στο
Η f είναι συνεχής στο , παραγωγίσιμη στο και ισχύει f'(x)>0 για κάθε . Συνεπώς η f είναι γνησίως αύξουσα στο
Η f είναι συνεχής στο , παραγωγίσιμη στο και ισχύει f'(x)<0 για κάθε . Συνεπώς η f είναι γνησίως αύξουσα στο
Συνεπώς η f παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο στο με τιμή και τοπικό μέγιστο στο με τιμή τα οποία είναι και ολικά ακρότατα στο διάστημα αυτό.
Επειδή η f είναι περιοδική και σε διάστημα μιας περιόδου [2λπ, 2λπ+2π] έχει 1 ολικό ελάχιστο και ένα ολικό μέγιστο τα οποία είναι σταθερά για κάθε λ ανήκει Z, τότε τα ακρότατα αυτά είναι ολικά ακρότατα στο R και ισχύει
για κάθε x ανήκει R.
Άντε ρε παιδιά, βάλτε καμία δύσκολη άσκηση.
Θεωρώ την συνάρτηση f(x)=6ημx-8συνx, x ανήκει R.
Η f είναι περιοδική με περίοδο T=2π αφού για κάθε x ανήκει R ισχύει:
f(x+nT)=f(x), όπου n ανήκει Z
Η f είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο R με παράγωγο f'(x)=6συνx+8ημx
f'(x)=0 <=> 6συνx+8ημx=0 <=> ημx=-(3/4)συνx
Αν συνx=0 τότε από την παραπάνω εξίσωση προκύπτει ημx=0 που είναι άτοπο αφού τότε (ημx)^2+(συνx)^2=0 διάφορο 1. Άρα για τις λύσεις την παραπάνω εξίσωσης ισχύει ημx διάφορο 0 και συνx διάφορο 0. Συνεπώς γράφεται ισοδύναμα
ημx=-(3/4)συνx <=> εφx=-3/4
Θέωρω τέτοιο ώστε . Επειδή τότε
Έτσι λοιπόν έχουμε
Αν κ=2λ άρτιος τότε οι λύσεις παίρνουν την μορφή και είναι:
Αν κ=2λ+1 περιττός τότε οι λύσεις παίρνουν την μορφή και είναι:
Η f είναι συνεχής στο , παραγωγίσιμη στο και ισχύει f'(x)<0 για κάθε . Συνεπώς η f είναι γνησίως φθίνουσα στο
Η f είναι συνεχής στο , παραγωγίσιμη στο και ισχύει f'(x)>0 για κάθε . Συνεπώς η f είναι γνησίως αύξουσα στο
Η f είναι συνεχής στο , παραγωγίσιμη στο και ισχύει f'(x)<0 για κάθε . Συνεπώς η f είναι γνησίως αύξουσα στο
Συνεπώς η f παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο στο με τιμή και τοπικό μέγιστο στο με τιμή τα οποία είναι και ολικά ακρότατα στο διάστημα αυτό.
Επειδή η f είναι περιοδική και σε διάστημα μιας περιόδου [2λπ, 2λπ+2π] έχει 1 ολικό ελάχιστο και ένα ολικό μέγιστο τα οποία είναι σταθερά για κάθε λ ανήκει Z, τότε τα ακρότατα αυτά είναι ολικά ακρότατα στο R και ισχύει
για κάθε x ανήκει R.
Άντε ρε παιδιά, βάλτε καμία δύσκολη άσκηση.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Civilara
Περιβόητο μέλος
Ο Civilara αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Μας γράφει απο Δανία (Ευρώπη). Έχει γράψει 4,344 μηνύματα.
15-06-09
19:04
Παρακινήθηκα από το αντίστοιχο thread της Α' Λυκείου και αποφάσισα να ανοίξω ένα και για εμάς. Εδώ, λοιπόν, θα ποστάρουμε ασκήσεις που βασίζονται στην ύλη των Μαθηματικών Κατεύθυνσης της Β' Λυκείου.
Ξεκινάμε με μια σχετικά εύκολη άσκηση:
Να αποδείξετε ότι:
Hint: Εκμεταλλευτείτε την ανισότητα των Cauchy-Schwarz (σχολικό βιβλίο: σελ. 44, εφαρμογή 1η).
1) Αν τότε
που ισχύει για κάθε x ανήκει R αφού για κάθε x ανήκει R
που ισχύει για κάθε x ανήκει R
2) Αν τότε
που ισχύει για κάθε x ανήκει R.
που ισχύει για κάθε xανήκει R αφού
3) Στα x για τα οποία ισχύει
η ανίσωση ικανοποιείται.
Άρα η ανίσωση είναι ταυτότητα και ισχύει για κάθε x ανήκει R.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.