Civilara
Περιβόητο μέλος
Ο Civilara αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Μας γράφει απο Δανία (Ευρώπη). Έχει γράψει 4,344 μηνύματα.
25-10-10
21:28
(χ²+y²)(y²+z²)(z²+x²) ≥ 8x²y²z²
Θα ηθελα να παραθεσω και εγω την λυση μου σε αυτην την ασκηση. Προσωπικα δεν θεωρω σωστο να χρησιμοποιουμε εξιδανικευμενες ανισοτητες τυπου ΑΜ-ΓΜ ,BCS κτλπ. Αυτη η ασκηση βγαινει πολυ απλα ως εξης :
Προφανως : χ²+y²≥2xy , y²+z²≥2yz , z²+x²≥2zx
πολλ κατα μελη και παιρνουμε: (χ²+y²)(y²+z²)(z²+x²) ≥ 2xy2yz2zx = 8x²y²z² ό.έ.δ.
Για να πολλαπλασιάζεις κατά μέλη θα πρέπει να ξέρεις ότι το 2ο μέλος είναι θετικό αφού και το 1ο μέλος κάθε ανίσωσης είναι θετικό. Δεν ξέρεις όμως αν οι αριθμοί x,y,z είναι ομόσημοι ώστε τα γινόμενά τους να είναι θετικά. Π.χ. πάρε τις ανισότητες 5>-3, 2>-20 και 3>1. Αν πολλαπλασιάσεις τις πρώτες 2 κατά μέλη προκύπτει 10>60 ενώ αν πολλαπλασιάσεις και τις 3 κατά μέλη προκύπτει 30>60. Δεν είναι άτοπο και στις 2 περιπτώσεις;
Επειδή (x+y)²>=0 και (x-y)²>=0 για κάθε πραγματικούς αριθμούς x,y προκύπτει ότι ισχύουν οι σχέσεις x²+y²>=-2χy και x²+y²>=2xy για κάθε x,y ανήκει R. Από τις 2 τελευταίες σχέσεις εύκολα αποδεικνύεται ότι ισχύει x²+y²>=2|x||y| για κάθε x,y ανήκει R (αποδεικνύεται με περιπτώσεις x,y>=0, x,y<0, x>=0 και y<0, x<0 και y>=0).
Άρα ισχύουν οι σχέσεις x²+y²>=2|x||y|, y²+z²>=2|y||z| και z²+x²>=2|z||x|. Αν πολλαπλασιάσω τις 3 ανισώσεις κατά μέλη των οποίων και τα 2 μέλη είναι μεγαλύτερα ή ίσα με το μηδέν, τότε προκύπτει:
(x²+y²)(y²+z²)(z²+x²)>=8|x|²|y|²|z|² => (x²+y²)(y²+z²)(z²+x²)>=8x²y²z²
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Civilara
Περιβόητο μέλος
Ο Civilara αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Μας γράφει απο Δανία (Ευρώπη). Έχει γράψει 4,344 μηνύματα.
02-07-10
20:44
και μια απο θεωρια αριθμων που
να λυθει στους ακεραιους
3χ+2y=7(γραμμικες διοφαντικες εξισωσεις) εδω να σας δω
3x+2y=7 => y=(7-3x)/2
Ευκλείδια διαίρεση του ακεραίου x με το 2 (δηλαδή αν είναι αρτιος ή περιττός) : x=2π+υ όπου υ=0, 1
- αν x άρτιος (υ=0) τότε x=2π όπου π ακέραιος
- αν x περιττός (υ=1) τότε x=2π+1 όπου π ακέραιος
Άρα οι λύσεις της διοφαντικής εξίσωσης είναι τα ζεύγη (x,y) όπου x=2π+1, y=2-3π και π οποιοσδήποτε ακέραιος.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.