Civilara
Περιβόητο μέλος
(ναι! αυτο ειναι μια αναδιατυπωση του ερωτηματος. η ερωτηση ειναι γιατι?
γιατι δεν ειναι αριθμησιμο το R?)
Το σύνολο R δεν είναι αριθμήσιμο γιατί είναι διάστημα. Το σύνολο Z αποτελείται μεν από άπειρα σε αριθμό στοιχεία, αλλά είναι μεμονομένα και δεν υπάρχει κανένα διάστημα στο R του οποίου όλα τα στοιχεία να ανήκουν στο Z. Άρα το Z είναι αριθμήσιμο.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Civilara
Περιβόητο μέλος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Civilara
Περιβόητο μέλος
Ναι, θα σας τρελλάνω όλους, το 'χω βάλει σοπό. Anyway, έκανα λάθος και το διόρθωσα.μα καλα θα μας τρελανεις;
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Civilara
Περιβόητο μέλος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Civilara
Περιβόητο μέλος
(Z ειναι οι ρητοι? (γιατι τα μπερδευω) )
Ζ είναι οι ακέραιοι και Q οι ρητοί.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Civilara
Περιβόητο μέλος
Και εκει που λεει για τον Cantor τι εννοει επι αντιστοιχια μεταξυ τους; Αυτα τα συνολα εχουν τον ιδιο αριθμο στοιχειων; Προφανως και τα δυο ειναι απειρα αλλα οι φυσικοι ειναι διπλασιοι απτους αρτιους
Όταν 2 σύνολα Α και Β περιέχουν στοιχεία πεπερασμένου πλήθους ίσα σε αριθμό και για τα 2 σύνολα, τότε είναι ισοδύναμα. Αν τα σύνολα Α και Β περιέχουν άπειρα σε πλήθος στοιχεία, αλλά είναι διακεκριμένα και μεμονομένα μεταξύ τους τότε θα πρέπει σε ένα στοιχείο του Α να αντιστοιχεί ένα στοιχείο του Β και αντίστροφα. Για παράδειγμα τα σύνολα Ν και Ζ περιέχουν άπειρο αριθμό στοιχείων και είναι ισοδύναμα. Τα σύνολα των άρτιων και περιττών ακεραίων είναι ισοδύναμα.
Οι φυσικοί μπορεί να είναι διπλάσιοι από τους άρτιους αλλά επειδή σε κάθε φυσικό Ν αντιστοιχεί ένας άρτιος φυσικός και αντίστροφα και επειδή τα στοιχεία και των δύο συνόλων είναι άπειρα σε αριθμό αλλά διακεκριμένα (δηλαδή τα σύνολα είναι αριθμήσιμα, σε σύνολα αριθμών αυτό σημαίνει ότι δεν σχηματίζουν διάστημα) τότε είναι ισοδύναμα.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Civilara
Περιβόητο μέλος
Ισως να καταλαβα κατι
Ανελυσε αυτα που εχω κανει bold
Με αυτο το "μπαλοκληρωμα" μπορουμε να βρουμε τι;Εμβαδο; Αφου λες για κλειστα σχηματα τοτε και για τον κυκλο;
Ας πω 2 πραγματάκια για τον λογισμό πραγματικών συναρτήσεων 2 πραγματικών μεταβλητών.
Μία (πραγματική) συνάρτηση 2 (πραγματικών) μεταβλητών f(x,y) συμβολίζεται με .
Τι είναι όμως ο χώρος ; Ας το ορίσουμε. Ως χώρος ορίζεται το σύνολο . Συνεπώς ο χώρος αποτελείται από τα σημεία (x,y) του επιπέδου Oxy όπου x,y πραγματικοί αριθμοί, ενώ ο γνωστός χώρος R αποτελείται από τα σημεία x της ευθείας Ox όπου x πραγματικός αριθμός.
Κάθε επίπεδο χωρίο του (π.χ. κυκλικός δίσκος) είναι υποσύνολο του . Επίσης κάθε επίπεδη καμπύλη του (π.χ. κυκλική περιφέρεια) είναι υποσύνολο του .
Τώρα θα οριστούν οι συντεταγμένες ενός σημείου στον 3διάστατο χώρο. Φανταστείτε 3 άξονες στον χώρο x, y, z που είναι ανά 2 κάθετοι και το σημείο τομής τους είναι το σημείο Ο. Οι άξονες x,y είναι κάθετοι μεταξύ τους και ο άξονας z είναι κάθετος στο επίπεδο των x,y και διέρχεται από το Ο που είναι το σημείο τομής και των 3 αξόνων. Η θετική φορά των αξόνων επιλέγεται αυθαίρετα αλλά συνήθως χρησιμοποιούνται δεξιόστροφα συτήματα. Η θέση ενός σημείου του χώρου καθορίζεται από 3 αριθμούς x,y,z κάθε ένας από τους οποίους δείχνει το προσημασμένο μήκος ευθύγραμμου τμήματος με άκρα την αρχή Ο και πέρας την προβολή του σημείου στον αντίστοιχο άξονα. Έτσι σε ένα σημείο του χώρου αντιστοιχεί μία μοναδική 3άδα (x,y,z) και σε μία 3άδα (x,y,z) αντιστοιχεί ένα μοναδικό σημείο του χώρου. Η x λέγεται τετμημένη, η y τεταγμένη και η z κατηγμένη του σημείου. Τα (x,y,z) αποτελούν τις συντεταγμένες του σημείου.
Ορίζουμε παρόμοια τον χώρο . Δηλαδή ο χώρος αποτελείται από όλα τα σημεία (x,y,z) όπου x,y,z πραγματικοί αριθμοί.
Ως γραφική παράσταση της συνάρτησης 2 μεταβλητών f(x,y) ορίζεται το σύνολο των σημείων (x,y,z) του για τα οποία ισχύει z=f(x,y). Δηλαδή το σύνολο των σημείων (x,y,f(x,y)). Η γραφική παράσταση αυτή αντιστοιχεί σε μία επιφάνεια του χώρου (π.χ. επίπεδο, ημισφαίριο κλπ.)
Το πεδίο ορισμού μίας συνάρτηση 2 μεταβλητών f(x,y) είναι υποσύνολο του , το πεδίο τιμών της υποσύνολο του R και η γραφική της παράσταση υποσύνολο του .
Αν μία συνάρτηση 2 μεταβλητών είναι ολοκληρώσιμη στα σημεία μιας καμπύλης C του (π.χ. κύκλος στο επίπεδο Oxy που είναι κλειστή καμπύλη ή ημικύκλιο που είναι ανοιχτή καμπύλη) τότε το ολοκλήρωμά της f κατά μήκος της C λέγεται επικαμπύλιο ολοκλήρωμα της f κατά μήκος της C. Το ολοκλήρωμα αυτό ορίζεται σε τόξο της καμπύλης C που σχηματίζεται από 2 σημεία A και Β της καμπύλης C. Αν η καμπύλη είναι κλειστή (π.χ. κύκλος) τότε τα Α και Β συμπίπτουν και χρησιμοποιείται αυτή "η μπάλα στη μέση"
Αν η f είναι θετική (z>0) στο τόξο ΑΒ της καμπύλης C τότε το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα της σε αυτό το τόξο ισούται με το εμβαδόν της επιφάνειας που προκύπτει από την προβολή του τόξου ΑΒ της C στην γραφική παράσταση της f.
Αυτά σαν εισαγωγή.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Civilara
Περιβόητο μέλος
just curious! Δε θελω να παω ιατρικη χωρις να το ξερω!
Είναι αδύνατον να καταλάβεις τι είναι αυτό το σύμβολο με την μπάλα στη μέση (ε ρε γέλια) αν δεν ξέρεις στοιχειωδώς λογισμό συναρτήσεων πολλών μεταβλητών.
Με λίγα λόγια αυτό το σύμβολο σημαίνει ότι το διάστημα ολοκλήρωσης είναι κλειστό και χρησιμοποιείται στα επικαμπύλια και στα επιφανειακά ολοκληρώματα. Αν μία συνάρτηση (πραγματική ή διανυσματική) 2 ή 3 πραγματικών μεταβλητών είναι ολοκληρώσιμη κατά μήκος της κλειστής καμπύλης C, (δηλαδή τα άκρα της συμπίπτουν) του επιπέδου αν πρόκειται για 2 μεταβλητές και του επιπέδου ή του χώρου αν πρόκειται για 3 μεταβλητές, τότε το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα της συνάρτησης αυτής συμβολίζεται με μία "μαγκούρα" (το σύμβολο του ολοκληρώματος) και "μία μπάλα στη μέση". Αν μία συνάρτηση (πραγματική ή διανυσματική) 3 πραγματικών μεταβλητών είναι ολοκληρώσιμη σε μία κλειστή επιφάνεια S του χώρου (π.χ. μία κούφια σφαίρα), τότε το επιφανειακό ολοκλήρωμα της συνάρτησης αυτής συμβολίζεται με δύο "μαγκούρες" και "μία μπάλα (πιο πολύ με έλλειψη μοιάζει παρά με κύκλο γιατί έχουμε 2 μαγκούρες) στη μέση".
Αν δεν κατάλαβες τίποτα θα μου φανεί απόλυτα λογικό. Αν κατάλαβες έστω και το παραμικρό θα μου φανεί το πιο παράξενο πράγμα του κόσμου.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Civilara
Περιβόητο μέλος
ρε συ σιφιλιαρα () θελω να μαθω για αυτα τα επικαμπυλια ολοκληρωματα,τα τριπλα και γιααυτο το συμβολο που μοιαζει με ολοκληρωμα αλλα εχει μια μπαλα στη μεση. Pleaseeeee! Βαλε μερικες πολυ πολυ απλες εφαρμογες να καταλαβω.
Ωραίος ρε μάγκα. Με πέθανες. Τι σε ενδιαφέρουν αυτά όμως ρε Ηλία, αφού ιατρική θες να πας.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Civilara
Περιβόητο μέλος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Civilara
Περιβόητο μέλος
Αν και βγαίνει και πιο σύντομα, σωστός:no1:. Για μαθητής Γ' Λυκείου είσαι πάρα πολύ καλός
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Civilara
Περιβόητο μέλος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Civilara
Περιβόητο μέλος
Να βρείτε τον τύπο της f όταν για οποιουσδήποτε πραγματικούς αριθμούς x,y ισχύει , f(0)=0
Λάθος λύση. Την έσβησα.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Civilara
Περιβόητο μέλος
https://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=51&t=1861&p=10639#p10639
θυμασαι εκεινο το προβλημα; δες εδω ποικιλια λυσεων!!!
Ο Χριστός και η Παναγία. Η δική μου η λύση ήταν πιο απλή στην σκέψη αν και μπελαλίδικη και αυτή στις πράξεις.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Civilara
Περιβόητο μέλος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Civilara
Περιβόητο μέλος
να ρωτήσω και εγώ κάτι?
έστω ότι έχω μια διανυσματική συνάρτηση του t πχ
r(t) = x(t)xo + y(t)yo
τι κάνω για να βρώ την φυσική παραμετρική εξίσωση
r(s) = x(s)xo + y(s)yo ?
αν γίνεται βάλτε και ένα παράδειγμα για να καταλάβω...
όπου bold διανύσματα...
Είναι μια διαδικασία που δεν είναι πάντα εφικτή. Πρώτα απ' όλα επιλέγεις αυθαίρετα ένα σημείο της καμπύλης C που είναι η αρχή του συτήματος καμπυλόγραμμων συντεταγμένων στο οποίο . Σε κάθε σημείο της καμπύλης C αντιστοιχεί μοναδική καμπυλόγραμμη συντεταγμένη s που δίνεται από τον τύπο:
όπου
Το πεδίο ορισμού της f καθορίζεται έτσι ώστε η f να είναι 1-1 σε αυτό. Έτσι σε κάθε σημείο A(x(t),y(t)) αντιστοιχεί μία καμπυλόγραμμη συντεταγμένη s και αντίστροφα. Στην περίπτωση αυτή έχουμε:
Τότε η εξίσωση της καμπύλης γίνεται:
Άρα
Αν μπορούμε να προσδιορίσουμε την αντίστροφη της f, τότε μπορεί να γραφεί η C στη μορφή
-----------------------------------------
Ας εξετάσουμε για παράδειγμα τον κύκλο κέντρου Ο(0,0) και ακτίνας ρ. Ως γνωστόν η εξίσωσή του στο επίπεδο Οxy είναι C: .
Οι παραμετρικές εξισώσεις του κύκλου αυτού είναι
όπου
Ας θεωρήσουμε ως αρχή του συστήματος καμπυλόγραμμων συντεταγμένων το σημείο του κύκλου που αντιστοιχεί στην τιμή :
οπότε η αρχή είναι το σημείο
Η φ θεωρείται θετική όταν διαγράφεται δεξιόστροφα. Όταν η φ είναι θετιή τότε και η s είναι θετική.
Καταλήξαμε στη γνωστή σχέση s=ρφ από την Ευκλείδεια Γεωμετρία.
Η f έχει πεδίο ορισμού , πεδίο τιμών και είναι 1-1.
όπου
Αντικαθιστώντας στις αρχικές παραμετρικές εξισώσεις προκύπτει:
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Civilara
Περιβόητο μέλος
Αν η f είναι συνεχής στο [α,β], παραγωγίσιμη στο (α,β) και f(α)=f(β)=0, τότε να αποδειχθεί ότι υπάρχει τέτοιο ώστε:
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Civilara
Περιβόητο μέλος
Θεωρείστε στις συναρτήσεις
Οι συναρτήσεις f, g, h είναι 1-1 στο πεδίο ορισμού τους άρα και αντιστρέψιμες
1) Ορίζεται ως συνάρτηση τόξου (ή αντίστροφου) ημιτόνου η αντίστροφη συνάρτηση της f ξεχωριστά σε κάθε υποσύνολο του R που η f είναι 1-1 και συμβολίζεται με τοξημx ή Arcsinx:
Στη συγκεκριμένη περίπτωση και . Γράφεται και
2) Ορίζεται ως συνάρτηση τόξου (ή αντίστροφου) συνημιτόνου η αντίστροφη συνάρτηση της g ξεχωριστά σε κάθε υποσύνολο του R που η g είναι 1-1 και συμβολίζεται με τοξσυνx ή Arccosx:
Στη συγκεκριμένη περίπτωση και . Γράφεται και
3) Ορίζεται ως συνάρτηση τόξου (ή αντίστροφης) εφαπτομένης η αντίστροφη συνάρτηση της h ξεχωριστά σε κάθε υποσύνολο του R που η h είναι 1-1 και συμβολίζεται με τοξεφx ή Arctanx:
Στη συγκεκριμένη περίπτωση και . Γράφεται και
-----------------------------------------
Μερικά θεωρήματα για την παραγώγιση αντίστροφων συναρτήσεων
1) Αν η συνάρτηση f είναι γνησίως μονότονη και συνεχής στο διάστημα Δ (οπότε η αντίστροφή της υπάρχει και είναι συνεχής στο διάστημα f(Δ)) και παραγωγίσιμη στο με , τότε η είναι παραγωγίσιμη στο και ισχύει:
2) Αν η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα και συνεχής στο διάστημα Δ και παραγωγίσιμη στο με , τότε
3) Αν η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα και συνεχής στο διάστημα Δ και παραγωγίσιμη στο με , τότε
4) Το υπάρχει αν και μόνο αν υπάρχει το όπου .
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Civilara
Περιβόητο μέλος
Έστω σύστημα Oxy στο επίπεδο.
Οι ροπές αδράνειας της καμπύλης C ως προς τους άξονες x και y υπολογίζονται από τα επικαμπύλια ολοκληρώματα
Επίσης ορίζεται και η φυγόκεντρη ροπή αδράνειας ως προς τους άξονες x και y:
Με αυτούς τους τύπους υπολογίζονται οι ροπές αδράνειας των επίπεδων καμπύλων, όπως της ευθύγραμμης ράβδου και της κυκλικής περιφέρειας
Οι ροπές αδράνειας του επίπεδου χωρίου Α που σχηματίζεται από μία κλειστή και συνεχή επίπεδη καμπύλη C ως προς τους άξονες x και y υπολογίζονται από τα διπλά ολοκληρώματα
Επίσης ορίζεται και η φυγόκεντρη ροπή αδράνειας ως προς τους άξονες x και y:
Με αυτούς τους τύπους υπολογίζονται οι ροπές αδράνειας των επίπεδων χωρίων, όπως του ορθογωνίου παραλληλογράμμου και του κυκλικού δίσκου.
Ανάλογοι τύποι υπαρχουν για καμπύλες και επιφάνειες στο χώρο καθώς και για συμπαγή στερεά σώματα.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Civilara
Περιβόητο μέλος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Civilara
Περιβόητο μέλος
Ayto δε το αναφερει πουθενα.
Αρα αν Αrg στο 1ο τοτε Α>0 ,Β>0
αν Arg στο 2ο, τοτε Α<0,Β>0 κλπ;
Τα Α και Β έχουν το ίδιο πρόσημο με συνArg και ημArg αντίστοιχα, οπότε ανάλογα με τη γωνία βγάζεις τα πρόσημα από τον τριγωνομετρικό κύκλο.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Civilara
Περιβόητο μέλος
αρα εχει λαθος το σχολικο;
Όταν είπα ότι δεν ισχύει κάτι τέτοιο εννοούσα στη γενική περίπτωση. Λάθος δικό μου. Στη συγκεκριμένη περίπτωση είναι και Α>0 και Β>0 αφού η γωνία π/6 ανήκει στο 1ο τεταρτημόριο. Το σχολικό βιβλίο είναι σωστό.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Civilara
Περιβόητο μέλος
Θελουμε να βρουμε το συνολο των εικονοων των μιγαδικων z:(1)
με πραξεις γραφουμε
και γραφει οτι η (1) ειναι ισοδυναμη μεκαι Β>0.
Αυτο με την εφαπτομενη το καταλαβα. Το Β>0 γιατι;
Δεν ισχύει κάτι τέτοιο. Ο παρανομαστής της έκφρασης του ημιτόνου και του συνημιτόνου του ορίσματος είναι θετικός αφού ισούται με το μέτρο του μιγαδικού, όχι της εφαπτομένης.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Civilara
Περιβόητο μέλος
και η συναρτησησ της καμπυλης ποια ειναι;
γιατι ειναι.
Και γενικα πώς τη μελεταμε; Πρεπεει να τησ σπασουμε σε 2;
Ο κύκλος είναι καμπύλη που δεν παριστάνεται από συνάρτηση. Αλλά κάθε καμπύλη του επιπέδου παριστάνεται με παραμετρικές εξισώσεις της μορφής x=f(t) και y=g(t) είτε είναι συνάρτηση είτε όχι. Τα σημεία της καμπύλης είναι για τις διάφορες τιμές του t τα (x,y)=(f(t),g(t)) στο επίπεδο Οxy. Αν είναι συνάρτηση τότε x=t και y=f(t) είναι οι παραμετρικές εξισώσεις της καμπύλης y=f(x).
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Civilara
Περιβόητο μέλος
1) Γενικευμένο θεώρημα της μέσης τιμής ή τύπος του Taylor
Αν η συνάρτηση f έχει συνεχείς παραγώγους τάξεως ν στο διάστημα Δ και είναι (ν+1) φορές παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του Δ (συμβολίζεται με ) τότε για κάθε με υπάρχει τέτοιο ώστε
2) Κριτήριο ν-στής παραγώγου
Δίνεται η συνάρτηση f ορισμένη στο διάστημα Δ και ν φορές παραγωγίσιμη στο σημείο , με
και
Αν ν άρτιος και , τότε το ξ είναι σημείο τοπικού ελαχίστου.
Αν ν άρτιος και , τότε το ξ είναι σημείο τοπικού μεγίστου.
Αν ν περιττός, τότε το ξ είναι σημείο καμπής με οριζόντια εφαπτομένη.
3) Δίνεται η συνάρτηση f συνεχής στο διάστημα Δ και παραγωγίσιμη στο . Αν η f' έχει όριο στο , τότε η f είναι παραγωγίσιμη και έχει συνεχή παράγωγο στο .
4) Θεώρημα Darboux
Αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσισμη στο διάστημα [α,β], τότε η παράγωγός της f' παίρνει όλες τις τιμές μεταξύ f'(α) και f'(β), δηλαδή το f'([α,β]) είναι διάστημα
5) Αν η f είναι παραγωγίσιμη στο [α,β] και ισχύει f'(α)f'(β)<0, τότε υπάρχει τέτοιο ώστε f'(ξ)=0
6) Αν η f είναι παραγωγίσιμη στο διάστημα Δ και ισχύει για κάθε , τότε η f είναι γνησίως μονότονη.
7) Θεώρημα Fermat
Έστω συνάρτηση f ορισμένη στο [α,β] και
Αν η f παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο στο α και είναι παραγωγίσιμη σε αυτό τότε .
Αν η f παρουσιάζει τοπικό μέγιστο στο α και είναι παραγωγίσιμη σε αυτό τότε .
Αν η f παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο στο β και είναι παραγωγίσιμη σε αυτό τότε .
Αν η f παρουσιάζει τοπικό μέγιστο στο β και είναι παραγωγίσιμη σε αυτό τότε .
Αν η f παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο και είναι παραγωγίσιμη σε αυτό τότε .
8) Ανισότητα Schwarz
Αν f,g ολοκληρώσιμες στο [α,β] τότε
9) Θεώρημα μέσης τιμής ολοκληρωτικού λογισμού
Αν f συνεχής στο [α,β] τότε υπάρχει τέτοιο ώστε
10) Κανόνας Leibnitz
Αν g,h παραγωγίσιμες συναρτήσεις στο διάστημα Δ και f συνεχής συνάρτηση στο , τότε η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο Δ και ισχύει
11) Αν μία συνάρτηση f είναι 1-1 και συνεχής στο [α,β] τότε η αντίστροφη συνάρτηση είναι συνεχής στο .
12) Αν μία συνάρτηση f είναι γνησίως μονότονη στο διάστημα Δ, φραγμένο ή μη, τότε η αντίστροφή της είναι συνεχής
13) Αν μία συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα Δ, τότε η αντίστροφή της είναι γνησίως αύξουσα στο f(Δ)
14) Αν μία συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα Δ, τότε η αντίστροφή της είναι γνησίως φθίνουσα στο f(Δ)
-----------------------------------------
αυτο που τονισα δε το καταλαβα. καλα.
το y δεν ειναι η εξαρτημενη μεταβλητη; Πώς γινεται να ειναι και οι δυο εξαρτημενες;
Νομίζω ότι αυτό ειναι απλό και δεν χρειάζεται κάποιος να γνωρίζει λογισμό συναρτήσεων πολλών μεταβλητών για να το καταλάβει. Στα μαθηματικά κατεύθυνσης της Β΄ Λυκείου μαθαίνετε ότι οι παραμετρικές εξισώσεις του κύκλου ακτίνας ρ και κέντρου Ο(0,0) είναι
x=ρcosφ=f(φ)
y=ρsinφ=g(φ)
όπου φ στο διάστημα [0,2π). Για φ=0 και φ=2π έχουμε το ίδιο σημείο αφού f(0)=f(2π)=ρ και g(0)=g(2π)=0.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Civilara
Περιβόητο μέλος
1) Αν η C είναι κλειστή καμπύλη, το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την καμπύλη C υπολογίζεται από την σχέση εφόσον και :
1) Το μήκος του τόξου S της καμπύλης C που ορίζεται από τα σημεία και υπολογίζεται από την σχέση:
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Civilara
Περιβόητο μέλος
"Της επί τις χρήμασι εκδιδωμένης γυνής το σιδηρούν κιγκλίδωμα"
Να ρωτήσω.
Αυτή η παράσταση ορίζεται ή όχι;
Έτσι μπράβο. Να συννενοούμαστε
Στο σύνολο των πραγματικών αριθμών, έχει καθιερωθεί να ορίζεται ρίζα ν τάξεως μόνο για τους θετικούς αριθμούς και αυτή να είναι θετικός αριθμός. Παρ' όλα αυτά εγώ διαφωνώ με αυτό αλλα είναι προσωπικό το θέμα. (Τα βάζω με τους μαθηματικούς τώρα)
Αφού γιατί να μην γράφουμε και ?. Μάλλον επειδή υπάρχουν 2 τετραγωνικές ρίζες, το σύμβολο της τετραγωνικής ρίζας το χρησιμοποιούμε για μία από τις 2 έτσι ώστε να αντιστοιχεί σε συνάρτηση και επιλέχθηκε η θετική.
Γιατί όμως να μην γράφουμε αφού ?. Κι εδώ πρέπει να είναι θέμα σύμβασης.
Γενικώς κάθε μιγαδικός αριθμός έχει ακριβώς ν ρίζες ν τάξεως οι οποίες προκύπτουν από την εξίσωση .
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Civilara
Περιβόητο μέλος
Αλλα δε θα ειναι δυσκολο να βρισκεις αυτο το ολοκληρωμα εφοσον ειναι κατω απο ριζα;
Της π******ς γίνεται (με το συμπάθιο).
Μια πιο ευπρεπής έκφραση είναι : "Της ιεροδούλου το κιγκλίδωμα".
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Civilara
Περιβόητο μέλος
και
Επίσης ορίζεται δύναμη μιγαδικού με εκθέτη μιγαδικό w. Ορίζεται:
η οποία παράσταση παίρνει άπειρες τιμές ανάλογα με το όρισμα του z καθώς και ο lnz παίρνει άπειρες τιμές.
Με βάση τα παραπάνω, η άλγεβρα των μιγαδικών πλέον είναι σχεδόν πλήρης και έχουν οριστεί οι πράξεις μεταξύ μιγαδικών αριθμών.
Όταν δεν αναφέρεται κάτι διευκρινιστικό για την τιμή του λογαρίθμου ενός μιγαδικού αριθμού, τότε εννοείται η πρωτεύουσα τιμή του (με κεφαλαίο L).
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Civilara
Περιβόητο μέλος
Φαίνονται υπέροχα!!! Κριμα που δεν μπορω να καταλάβω σχεδόν τιποτα όμως
Αυτα τα μαθηματικά, δηλαδη, διδασκονται στις σχολες που έχουν ανωτερα μαθηματικα μεσα στην ύλη???
Χεχε. Σ' αρέσουν μπαγάσα, ε? Μη βιάζεσαι να μεγαλώσεις, θα τα μάθεις στην ώρα τους. Η απάντηση στην ερώτηση είναι Ναι.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Civilara
Περιβόητο μέλος
-----------------------------------------
Και κάτι ενδιαφέρον για το λογισμό. Θα το πω με γνώσεις λυκείου.
Γνωρίζουμε ότι αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [α,β], τότε το εμβαδό του χωρίου που περικλείεται από την γραφική παράσταση της καμπύλης y=f(x), τον άξονα x'x και τις ευθείες με εξισώσεις x=α και x=β υπολογίζεται από την σχέση:
Αν η f έχει συνεχή παράγωγο στο [α,β] τότε το μήκος του τόξου της καμπύλης y=f(x) που ορίζεται από τα σημεία Α(α,f(α)) και Β(β,f(β)) προσδιορίζεται από την σχέση:
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Civilara
Περιβόητο μέλος
Θυμάστε που στο σχολείο στη Β΄ Λυκείου μας έλεγαν ότι μόνο οι θετικοί πραγματικοί έχουν λογάριθμο; Μπούρδες. Και οι αρνητικοί πραγματικοί έχουν και κάθε μιγαδικός εκτός από 0.
Όμως σε κάθε μιγαδικο z, δεν αντιστοιχεί μία μοναδική τιμή του λογαρίθμου με βάση πραγματικό αριθμό 0<α διάφορο 1 κι αυτό γιατί τα ορίσματα είναι άπειρα. Ας εξετάσουμε τους νεπέριους λογαρίθμους μιγαδικού.
Η πρωτεύουσα ή κύρια τιμή του λογαρίθμου του μη μηδενικού μιγαδικού z δίνεται από την παράσταση:
Η πρωτεύουσα τιμή είναι μοναδική και αντιστοιχεί στο πρωτεύων όρισμα. Στον z αντιστοιχούν άπειρες τιμές του λογαρίθμου καθώς έχει άπειρα ορίσματα. Αυτές δίνονται από την σχέση:
όπου θ οποιοδήποτε (όχι απαραίτητα πρωτεύων) όρισμα του z.
Ομοίως
Ας αναλύσουμε αυτό που μας έλεγαν στο σχολείο:
Η πρωτεύουσα τιμή ενός θετικού πραγματικού αριθμού είναι πραγματικός αριθμός και όλες οι άλλες τιμές του λογαρίθμου του μιγαδικοί αριθμοί.
Η πρωτεύουσα τιμή ενός αρνητικού πραγματικού αριθμού και ενός μιγαδικού που δεν είναι πραγματικός αριθμός είναι μιγαδικός αριθμός όπως και όλες οι άλλες τιμές του λογαρίθμου του.
Γενικά για κάθε ισχύει:
Ln(xy)=Lnx+Lny
Ln(x/y)=Lnx-Lny
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Civilara
Περιβόητο μέλος
wow πώς μπερδευονται ολα αυτα τα μαθηματικα συμβολα σε μια σχεση ε;
-----------------------------------------
και σε τι μας χρησιμευει η τριγωνομετρικη μορφη μιγαδικου;
Γενικα οι μιγαδικοι τι και πώς στο καλο χρησιμευουν; Αφου...δεν υπαρχουν!
Χεχε. Υπάρχουν και παραϋπάρχουν και τον κόσμο κυριεύουν. Οι μιγαδικοί αριθμοί έχουν μεγάλη εφαρμογή στη μηχανική και τον ηλεκτρομαγνητισμό καθώς και στην ηλεκτρονική. Γενικά έχουν μεγάλη εφαρμογή στις επιστήμες. Για παράδειγμα ένα σήμα μπορεί να παρασταθεί από έναν μιγαδικό όπου το πραγματικό μέρος είναι η τάση και το φανταστικό η ένταση του ρεύματος.
Σύμφωνα με την παραπάνω σχέση ισχύει
Στη συνέχεια θα ορίζουμε το ημίτονο και το συνημίτονο του μιγαδικού z. Ορίζονται ως ημίτονο και συνημίτονο του μιγαδικού αριθμού z,οι παραστάσεις:
Παρατηρείστε ότι ισχύει
Τα παραπάνω ισχύουν για κάθε
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Civilara
Περιβόητο μέλος
Κάθε μη μηδενικός μιγαδικός αριθμός γράφεται στη μορφή:
όπου και θ είναι η γωνία που σχηματίζει το διάνυσμα με τον άξονα x όπου M(x,y) η εικόνα του z=x+yi. Πρέπει
Η γωνία θ λέγεται όρισμα του μιγαδικού z και συμβολίζεται με arg(z). Το όρισμα του z που ανήκει στο διάστημα [0,2π) λέγεται προτεύων όρισμα και συμβολίζεται με Arg(z). Συνεπώς για κάθε όρισμα του z ισχύει . Για τον μιγαδικό z=0 δεν ορίζεται όρισμα.
Για το όρισμα θ ισχύουν οι σχέσεις:
Ας θεωρήσουμε δύο μη μηδενικούς μιγαδικούς αριθμούς σε τριγωνομετρική μορφή
Τότε το γινόμενο και το πηλίκο τους γράφονται σε τριγωνομετρική μορφή
Πολύ χρήσιμο είναι το Θεώρημα De Moivre:
Αν z μη μηδενικός μιγαδικός και γράφεται σε τριγωνομετρική μορφή , τότε , όπου .
Η ισότητα των μιγαδικών σε τριγωνομετρική μορφή γίνεται:
αν και μόνο αν και .
-----------------------------------------
Αναπτύσσοντας περισσότερο την άλγεβρα των μιγαδικών, οι γνωστές τριγωνομετρικές, εκθετικές και λογαριθμικές συναρτήσεις επεκτείνονται και στο σύνολο C. Ισχύει η σχέση:
όπου .
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Civilara
Περιβόητο μέλος
Συγγνωμη αν βγαινω οφ τοπικ αλλα με τον ναπστορ δεν καταφεραμε να βρουμε βιβλια σχετικα με διαγωνισμους της ΕΜΕ στον παπασωτηριου.. Ξερει κανεις απο που μπορουμε να προμηθευτουμε τετοια βιβλια?
Αν ψάξεις στη σελίδα του παπασωτηρίου θα βρεις βιβλία για μαθηματικές ολυμπιάδες. Κάνεις ένα λογαριασμό, τα παραγγέλνεις και στα φέρνουν με courier.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Civilara
Περιβόητο μέλος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Civilara
Περιβόητο μέλος
Λοιπον παιδια!
Τελειωσα φετος τις πανελληνιες πηρα και βαθμους (19600 περιπου).
Μου αρεσουν πολυ τα μαθηματικα,και απο κεκτημενη ταχυτητα μολις τελειωσα με τις πανελληνιες συνεχιζα να λυνω ασκησεις-γιατι υπαρχουν πολλα ωραια θεματα στη γ-λυκειου- με τη σκεψη πως αν δε παω καλα μπορω να ξαναδωσω πρακολουθωντας παραλληλα τη σχολη μου (δεν ειναι και δυσκολο για καποιον που εχει αφομοιωσει αριστα την υλη των μαθηματων). ευτυχως η βαθμολογια μου μου επιτρεπει να ειμαι σιγουρος οτι θα περασω στη σχολη της αρεσκειας μου οποτε το να λυνω ασκησεις της γ λυκειου το θεωρω πια...ασκοπο. Γιαυτο θελω να μπω στα βαθεια!
Θα ηθελα απο αυτο το topic- ή αν χρειαστει να ανοιξω αλλο- παιδια που σπουδαζουν σε μαθηματικο ή εχουν γνωσεις ανωτερων μαθηματικων να με εισαγαγουν σε νεα πεδια. χαλαρα,να παρουσιασουν τη νεα θεωρια και να παραθετουν ασκησουλες προς λυση.
Ενδιαφερεται κανεις;
Εσένα σε παω πάρα πολύ. Κατ' αρχήν έσκισες, οπότε τι εννοείς όταν λες αν δεν παώ καλά θα ξαναδώσω? Τεσπα. Και εμάνα θα μου άρεσε να ασχολούμαστε σε αυτό το forum με ανώτερα μαθηματικά, όχι περιορισμένα στα πλαίσια του λυκείου. Όμως το να σου παρουσιάσουμε μια καινούρια θεωρία από δω...πολύ γράψιμο ρε φίλε μου και δεν υπάρχουν και τα κατάλληλα σύμβολα στο latex.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Civilara
Περιβόητο μέλος
Ορίζονται ως εξής:
για κάθε
για κάθε
Δεν ορίζονται στο σύνολο οι πράξεις:
Οι 2 τελευταίες πράξεις δεν ορίζονται και στο .
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Civilara
Περιβόητο μέλος
Δίνεται η συνάρτηση f(x,y) που έχει μερικές παραγώγους 1ης τάξεως σε ένα ανοιχτό σύνολο A υποσύνολο του
όπου fx=θf/θx και fy=θf/θy
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Civilara
Περιβόητο μέλος
Ξεκινώντας την συζήτηση σε αυτό το thread, θέλω να ρωτήσω τους ειδικούς αν τα θεωρήματα Rolle και μέσης τιμής που αναφέρονται σε πραγματικές συναρτήσεις μιας πραγματικής μεταβλητής επεκτείνονται και σε πραγματικές συναρτήσεις 2 ή περισσότερων πραγματικών μεταβλητών και αν ναι πώς διατυπώνονται.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
-
Το forum μας χρησιμοποιεί cookies για να βελτιστοποιήσει την εμπειρία σας.
Συνεχίζοντας την περιήγησή σας, συναινείτε στη χρήση cookies στον περιηγητή σας.