Άλλα μηνύματα του μέλους Aggouri σε αυτό το thread

Αρχική Δημοσίευση από geoste:

Πολύ καλή και σωστή η σκέψη σου αν και λίγο ελλιπής. Θέτεις

g(x)=((f(β)-1)/(x-1))+((f(γ)-1)/(x-2)), x ανήκει Β=(-άπειρο,1)U(1,2)U(2,+άπειρο)

Η g είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο Β και ισχύει:

g'(x)=-[((f(β)-1)/((x-1)^2))+((f(γ)-1)/((x-2)^2))]<0 για κάθε x στο Β. Εμάς μας ενδιαφέρει το (1,2). Άρα η g είναι γνησίως φθίνουσα στο (1,2).

Αν πάρεις τα πλευρικά όρια της g στο 1 και 2, με δεδομένο ότι f(β)>1 και f(γ)>1, προκύπτει:

lim(x->1+)g(x)=+άπειρο και lim(x->2-)g(x)=-άπειρο. Επειδή η g είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα στο (1,2) τότε η εικόνα g((1,2)) του (1,2) είναι:

g((1,2))=(lim(x->2-)g(x), lim(x->1+)g(x))=(-άπειρο,+άπειρο)=R. Επειδή 0 ανήκει στο g((1,2))=R, υπάρχει ξ στο (1,2) ώστε g(ξ)=0 και μάλιστα επειδή η g είναι γνησίως φθίνουσα τότε το ξ είναι μοναδικό. Με την σκέψη σου καταλήξαμε σε πολύ ενδιαφέρον συμπέρασμα που αν ήθελαν να δυσκολέψουν λίγο τα πράγματα θα το ζητούσαν στις εξετάσεις.

Η σκέψη σου είναι πολύ σωστή. Η μόνη έλλειψη είναι ότι δεν αποδεικνύεις ότι η g είναι γνησίως φθίνουσα στο (1,2) ώστε να βρεις το πεδίο τιμών της g((1,2)). Αν τα πλευρικά όρια τα βρήκες ίδια με μένα, τότε είσαι σωστός. Η σκέψη σου είναι σωστή αλλά δεν την εξέφρασες πολύ σωστά.
Προσωπικά νομίζω ότι θα χάσεις 2 μόρια.

Ωραία σκέψη πάντως.
-----------------------------------------

Click για ανάπτυξη...