Civilara
Περιβόητο μέλος
1. Θεωρούμε την . Αν η f παρουσιάζει τοπικά ακρότατα στα σημεία και , τότε:
α) να αποδειχθεί ότι και ,
β) να μελετηθεί η f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα
f(x)=α(x^3)+β(x^2)+3x+β^2
α) Η συνάρτηση f είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο R ως πολυωνυμική με πρώτη παράγωγο:
f΄(x)=3α(x^2)+2βx+3, x ανήκει R
Επειδή συνάρτηση f παρουσιάζει τοπικά ακρότατα στα σημεία x1=1 και x2=3 και είναι παραγωγίσιμη σε αυτά τότε σύμφωνα με το θεώρημα του Fermat ισχύει f΄(1)=f΄(3)=0. Έχουμε:
f΄(1)=3α+2β+3
f΄(3)=27α+6β+3=3(9α+2β+1)
f΄(1)=0 <=> 3α+2β+3=0 <=> β=-((3α+3)/2) (1)
f΄(3)=0 <=> 9α+2β+1=0 <=> β=-((9α+1)/2) (2)
Από τις (1) και (2) προκύπτει ότι
-((3α+3)/2)=-((9α+1)/2) <=> 3α+3=9α+1 <=> 6α=2 <=> α=1/3
Αντικαθιστώντας σε οποιαδήποτε από τις (1) και (2) προκύπτει ότι β=-2
Επομένως f(x)=(1/3)(x^3)-2(x^2)+3x+4
β)
f(x)=(1/3)(x^3)-2(x^2)+3x+4
f΄(x)=(x^2)-4x+3=(x-1)(x-3)
Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο (-άπειρο,1], παραγωγίσιμη στο (-άπειρο,1) και ισχύει f΄(x)>0 για κάθε x στο (-άπειρο,1). Επομένως η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο (-άπειρο,1].
Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [1,3], παραγωγίσιμη στο (1,3) και ισχύει f΄(x)<0 για κάθε x στο (1,3). Επομένως η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα στο (1,3].
Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [3,+άπειρο), παραγωγίσιμη στο (3,+άπειρο) και ισχύει f΄(x)>0 για κάθε x στο (3,+άπειρο). Επομένως η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο (3,+άπειρο].
Συνεπώς η συνάρτηση f παρουσιάζει τοπικό μέγιστο στο x1=1 με τιμή f(1)=16/3 και τοπικό ελάχιστο στο x2=3 με τιμή f(3)=4
2. Δίνεται η . Να βρεθούν:
α) η ελάχιστη τιμή της f
β) η τιμή του α για την οποία η ελάχιστη τιμή της f γίνεται μέγιστη.
f(x)=(x^2)+2αx+4α, x ανήκει R
α) Η συνάρτηση f είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο R ως πολυωνυμική με πρώτη παράγωγο f΄(x)=2x+2α=2(x+α)
Η μοναδική ρίζα της εξίσωσης f΄(x)=0 είναι η x=-α.
Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο (-άπειρο,-α], παραγωγίσιμη στο (-άπειρο,-α) και ισχύει f΄(x)<0 για x ανήκει στο (-άπειρο,-α). Επομένως η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα στο (-άπειρο,α].
Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [-α,+άπειρο), παραγωγίσιμη στο (-α,+άπειρο) και ισχύει f΄(x)>0 για x ανήκει στο (-α,+άπειρο). Επομένως η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο [-α,+άπειρο).
Συνεπώς η συνάρτηση f παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο x0=-α με τιμή f(-α)=-(α^2)+4α
β) Θεωρώ την συνάρτηση g(α)=f(-α)=-(α^2)+4α, α ανήκει R
Η συνάρτηση g είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο R ως πολυωνυμική με πρώτη παράγωγο g΄(α)=-2α+4=2(2-α)
Παρατηρούμε ότι g΄(2)=0 και η εξίσωση g΄(α)=0 δεν έχει άλλη ρίζα
Η συνάρτηση g είναι συνεχής στο (-άπειρο,2], παραγωγίσιμη στο (-άπειρο,2) και ισχύει g΄(x)>0 για x ανήκει στο (-άπειρο,2). Επομένως η συνάρτηση g είναι γνησίως αύξουσα στο (-άπειρο,2].
Η συνάρτηση g είναι συνεχής στο [2,+άπειρο), παραγωγίσιμη στο (2,+άπειρο) και ισχύει g΄(x)>0 για x ανήκει στο (2,+άπειρο). Επομένως η συνάρτηση g είναι γνησίως αύξουσα στο [2,+άπειρο).
Συνεπώς η συνάρτηση g παρουσιάζει ολικό μέγιστο στο x3=2 με g(2)=f(-2)=4
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Civilara
Περιβόητο μέλος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Civilara
Περιβόητο μέλος
Και τώρα σε ευχαριστεί πάρα πολύ που της έδωσες μία απάντηση μετά από 1 έτος και 7 μήνες και αφού έχει κάνει την όποια επιλογή της και έχει δώσει και πανελλαδικές.
Oops! I did it again!
Δεν πειράζει...Κάλλιο αργά παρά ποτέ
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Civilara
Περιβόητο μέλος
Γεια σας, είμαι μαθήτρια της Β' Λυκείου , θεωρητική κατεύθυνση , και του χρόνου σκέφτομαι να πάρω μαθημα επιλογής τα Μαθηματικα-Στατιστική, για να δηλώσω κάποιες σχολές του 4ου πεδίου που με ενδιαφέρουν (και έχουν σχέση με το σχέδιο)....Εχουν καμία σχέση με τα Μαθηματικά που κάνω φέτος?? Αλγεβρα Γ.Π πιάνω ένα 15 μ.ο.... Αν ναι τι θα πρέπει να προσέξω...? και αν όχι ποιος είναι ο βαθμος δυσκολίας???....
Ξεκινάς με λάθος σκεπτικό. Άντε και πιάνεις την σχολή που θες από το 4ο πεδίο (μπορείς να μας πεις ποια ή ποιες σχολές ξεχωρίζεις από το 4ο πεδίο και θες να δηλώσεις για να είμαι πιο συγκεκριμένος). Μπαίνεις στη σχολή και εγγράφεσαι. Δεν θα έχεις εκεί μαθηματικά; Δεν θα έχεις και φυσικής. Πως θα τα βγάλεις πέρα χωρίς να ξέρεις τα μαθηματικά και τη φυσική κατεύθυνσης της Β΄ και Γ΄ Λυκείου; Θα τα βρεις μπαστούνια εγγυημένα γιατί τα μαθηματικά της Β΄ και Γ΄ Λυκείου είναι θεμελιώδη για να μπορέσεις να ανταπεξέλθεις σε πανεπιστημιακό επίπεδο στα μαθηματικά.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Civilara
Περιβόητο μέλος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Civilara
Περιβόητο μέλος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Civilara
Περιβόητο μέλος
σε ευχαριστω για την απαντηση!!Εχω και μια ακμη απορια!
στην περιπτωση που η παρενθεση λογαρθιθμου ειναι 2-χ^2 το περνω μεγαλυτερο του 0 και βγαλινει χ^2<2 μετα τι κανω????[/quote]
αν δυσκολευεσαι θα το λυσεις ως τριωνυμο δηλ
D=8
και βρισκεις ριζες χ1,χ2
αλλος τροπος ειναι οταν φτασεις στο χ^2<2 να βαλεις ριζες κατα μελη οποτε θα δημιουργειθει απολυτο ,και το λυνεις συμφωνα με την ιδιοτητα....
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Civilara
Περιβόητο μέλος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Civilara
Περιβόητο μέλος
Δεν θα χρειαστεί να χρησιμοποιήσεις στα μαθηματικά γενικής παιδείας De L' Hospital. Η μόνη απροσδιόριστη μορφή στα μαθηματικά γενικής είναι η 0/0 και αν πέσει τέτοιο όριο τότε θα βγαίνει με κάποιο απλό τέχνασμα χωρίς να χρειάζεται ο De L' Hospital.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
-
Το forum μας χρησιμοποιεί cookies για να βελτιστοποιήσει την εμπειρία σας.
Συνεχίζοντας την περιήγησή σας, συναινείτε στη χρήση cookies στον περιηγητή σας.