Άλλα μηνύματα του μέλους Athanachs σε αυτό το thread

Αρχική Δημοσίευση από lostG:

Σωστός ο Μάνος.

Οπωσδήποτε όμως όσοι βάζουν ασκήσεις γιά λύση, να προσέχουν και να μη λένε γιά παράδειγμα όπως εδώ ότι η δοσμένη σχέση ισχύει γιά κάθε R* γιατί αν θέσουμε όπου x = π φυσικά και δεν ισχύει!



Αλλά λύστε μου παιδιά μιά απορία.Το θέτω σαν προβληματισμό.Αφορά πάλι στην υπόθεση.
Λοιπόν.
Σαφώς ισχύει ότι f(x)xsinx>0
Ας πάρουμε το διάστημα που πήρε και ο Μάνος μιά και μας ενδιαφέρει περιοχή του 0 και μάλιστα κοντά στο 0.

επσιδή το xsinx εκεί είναι θετικό άρα και η συνάρτηση θα παίρνει θετικές τιμές,Δηλαδή f(x)>0
στο (-π/2,0)U(0, π/2).

Ναί αλλά το f(x)xsinx είναι μικρότερο τού f(x)x.1 όπότε και xf(x)>0!Έτσι
στο διάστημα (-π/2,0) η f(x) θα παίρνει αρνητικές τιμές, ενώ στο διάστημα (0, π/2) θα παίρνει θετικές!!

Πού είναι το λάθος?
(Έχω κάνει σκόπιμα ένα λάθος)

Click για ανάπτυξη...

Όντως για χ=π και όχι μόνο δεν ισχύει.Γενικότερα για τιμές που μηδενίζεται το ημίτονο.Ζητώ συγγνώμη για την απροσεξία. LostG τι ακριβώς εννοείτε με το ''f(x)x.1''?

Αρχική Δημοσίευση από viridian:

Γι'αυτό με έναν πρόχειρο χωρισμό του διαστήματος [α,β] έχω την εντύπωση ότι βγαίνει με ΘΜΤ για την f στα διαστήματα

[α, (β+2009α)/2010] και [(β+2009α)/2010, β] και πρόσθεση κατά μέλη...




Το 2ο το ψάχνω λίγο και αν καταλήξω σε κάτι θα απαντήσω.
-----------------------------------------
Την έχω ξανακάνει τελικά τη 2η άσκηση του Μάνου, η εκφώνηση θα μπορούσε βέβαια να περιέχει μία σημαντική βοήθεια προς τους επίδοξους λύτες καθώς θυμάμαι ότι στο φροντιστήριο μας την είχαν δώσει για να προσπαθήσουμε χωρίς το 1ο, ουσιαστικά, υποερώτημα που σου δείχνει το χωρισμό του διαστήματος.



*********Spoiler: Hint για τη λύση της άσκησης**********




Αποδείξτε ότι υπάρχει ξ στο (α, β) τέτοιο ώστε f(ξ) = α+β-ξ.

Click για ανάπτυξη...

Σημαντική η βοήθεια της viridian.
Για το 2:Θεωρώ την g(x)=f(x)-α-β+x x[α,β]
Με θεώρημα Bolzano στο [α,β] για την g βρίσκω ότι υπάρχει χο ώστε
g(xo)=0 δηλαδή f(χο)=α+β-χο
Στη συνέχεια κάνω 2 Θ.Μ.Τ.
για την f στο [α,χο] κ στο [χ0,β].
Προκύπτει και ακόμη .Προφανώς με πολλαπλασιασμό προκύπτει το ζητούμενο.

Αρχική Δημοσίευση από manos66:

• f συνεχής στο [-2 , 1]
• f (-2) = -3 < -1 < 1 = f (1)

από Θ.Ε.Τ. υπάρχει , τέτοιο ώστε

• f συνεχής στα [-2 , x0] και [x0 , 1]
• f παραγωγίσιμη στα (-2 , x0) και (x0 , 1)

από Θ.Μ.Τ. υπάρχουν :





Από (1) και (2) με πρόσθεση προκύπτει



Αυτό που πρέπει να συζητήσουμε παιδιά είναι η επιλογή του -1 για το Θ.Ε.Τ.

Click για ανάπτυξη...

Βασικά,αυτή η άσκηση σχετίζεται έμμεσα με την κατηγορία ασκήσεων διαίρεσης διαστήματος.Στην προκειμένη είναι περίπου η αντίστροφη διαδικασία,επειδή το f'βρίσκεται στον παρονομαστή.Δηλαδή από τους συντελεστές του ζητούμενου(2,2) ''βλέπουμε'' ότι πρέπει να διαιρέσουμε το διάστημα σε δύο διαστήματα [-2,χο] κ [χο,1]
ώστε το f(xo) να διαιρεί το διάστημα [f(-2),f(1)]=[-3,1] σε δύο ίσα μεταξύ τους διαστήματα δηλαδή στο [-3,-1] και [-1,1](πλάτους 2 το καθένα).Επομένως f(x0)=-1....κάπως έτσι.Γενικότερα αυτές οι ασκήσεις δουλεύονται με θ.μ.τ. ύστερα από διαίρεση σε κατάλληλα διαστήματα ανάλογα με τους συντελεστές του ζητουμενου.Η συγκεκριμένη είναι λίγο ιδιαίτερη γιατί δεν θέλει διαίρεση μόνο στο πεδίο ορισμού αλλά κ στο[f(a),f(b)] όπου a,b τα άκρα του πεδίου ορισμού.Νομίζω,αύτη περίπου είναι η εξήγηση.

Αν ισχύει για κάθε xR* να υπολογιστεί το

Αρχική Δημοσίευση από viridian:

Όντως αρκετά ενδιαφέρουσα η άσκηση αν και απ'όσο έχω υπόψη μου, αν δεν είσαι γνώστης της μεθοδολογίας που απαιτείται για να βγει (το Θ.Ε.Τ. για την εύρεση κατάλληλου x0 ώστε να εφαρμοστούν τα Θ.Μ.Τ.) θα καταλήξεις να κάνεις δοκιμές σχετικά με το ποια τιμή της f θες για να σου βγει με τα Θ.Μ.Τ.

Στο φροντιστήριο μας είχε δείξει με γραφικές παραστάσεις με ποια λογική βγαίνει να πάρουμε συγκεκριμένο x0 απ'το Θ.Ε.Τ.

Προς τον δημιουργό του thread: Από περιέργεια (), για Πολυτεχνείο πας;

Click για ανάπτυξη...

Βασικα βγαινει και εφαρμογη του θ.Bolzano στο[-2,1]για την
g(x)=f(x)+1 αλλα στην ουσια ειναι η ιδια λογικη καθως το θ.Bolzano ειναι
υποπεριπτωση του Θ.Ε.Τ.Οσον αφορα στο πολυτεχνειο...πραγματικα δεν ξερω.
Θα βγαλω οσα μορια μπορεσω και μετα θα δω.Ειμαι και θετικη οποτε εχω βλεψεις και για ιατρικη,φαρμακευτικη κ.τ.λ.

Αρχική Δημοσίευση από rolingstones:

o τροπος του denis ειναι ολοσωστος μονο δεν αντικαθιστα τις σχεσεις που βρηκε για να δουμε

Click για ανάπτυξη...

edit:κατόπιν βοήθειας από τον manos66

Η λύση του denis δίνει

και μετά εξισώνει το 2ο μέλος με το ζητούμενο,πράγμα που είναι
λάθος!

Αρχική Δημοσίευση από manos66:

Θεώρημα ενδιαμέσων τιμών στο [-2 , 1]
υπάρχει x0 στο (-2 , 1) τέτοιο ώστε f (x0) = -1

Μετά δύο Θ.Μ.Τ. στα [-2 , x0] και [x0 , 1]

Click για ανάπτυξη...

:iagree:

Αρχική Δημοσίευση από DennisTheMenace:

Αρχικά f συνεχής στο [-2,1]
f(-2)*f(1)<0
Άρα από Θ.Bolzano υπάρχει χ0 που ανήκει (-2,1):f(χ0)=0

f παρ στο [-2,χ0]=> από ΘΜΤ υπάρχει α1 στο (-2,χ0) ώστε f'(a1)=f(x0)-f(-2)/(x0+2) =>f'(a1)=3/(x0+2) (1)

f παρ στο [χ0,1]=> από ΘΜΤ υπάρχει α2 στο (χ0,1) ώστε f'(a2)=f(1)-f(x0)/(1-x0) => f'(a2)=1/(1-x0) (2)


Άρα βάζουμε τις σχέσεις (1), (2) στο ζητούμενο και βρίσκουμε ότι ισχύει για χ0=4/7
Πιστεύω η λύση είναι σωστή...

Click για ανάπτυξη...

Δεν μπορείς να χρησιμοποιήσεις το ζητούμενο για να το αποδείξεις!Δηλαδή είναι λάθος να θεωρήσεις ως δεδομένο της άσκησης αυτό που πρέπει να αποδείξεις και να κινηθείς αντίστροφα.Σε μερικές ασκήσεις βγαίνει αυτός ο τρόπος αλλά στην συγκεκριμένη είναι λανθασμένος.

Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση f/[-2,1] με f(-2)=-3 και f(1)=1.
Να αποδείξετε ότι υπάρχουν a1,a2(-2,1) ώστε: