Άλλα μηνύματα του μέλους Dr. N σε αυτό το thread

Dr. N · 12-01-09

ναι σε αυτό που λες ότι δεν συνεπάγεται συμφωνώ αλλά το κατάλαβα αμέσως μόλις δημοσιοποίησα το μνμ και βαριόμουν να το διορθώνω, άσε που δεν ήμουν και απόλυτα σίγουρος ότι ήταν λάθος :p τώρα όσον αφορά το άλλο που λες με ένα απόλυτο και μερικές παραπάνω πράξεις ξέρω γω λύνεται το πρόβλημα? (Καλύτερα στείλε μου pm :p)

Dr. N · 11-01-09

Αρχική Δημοσίευση από Dreamkiller:
Μια που 'ναι ο Ευκλείδης σε μια βδομάδα.

Έστω $a, b, c$ διαφορετικοί μεταξύ τους πραγματικοί αριθμοί. Να αποδείξετε ότι το παρακάτω δεν ισχύει.

$sqrt[3]{a-b} + sqrt[3]{b-c} + sqrt[3]{c-a} = 0$

(από το βιβλίο του Titu Andreescu - Mathematical Olympiad Treasures)

Για τη λύση χρησιμοποίησα euler :

Αφού $\sqrt[3]{\alpha -\beta } +\sqrt[3]{\beta -\alpha } +\sqrt[3]{\gamma -\alpha } =0$ τότε
${\sqrt[3]{(\alpha-\beta) }}^{3} + {\sqrt[3]{(\beta-\gamma) }}^{3} + {\sqrt[3]{(\gamma-\alpha) }}^{3} = 3\sqrt[3]{(\alpha-\beta) }\sqrt[3]{(\beta-\gamma) }\sqrt[3]{(\gamma-\alpha) } \rightarrow 0 = 27(\alpha-\beta)(\beta-\gamma)(\gamma-\alpha)$ Άρα θα πρέπει $(\alpha-\beta)(\beta-\gamma)(\gamma-\alpha) = 0 \rightarrow (\alpha-\beta)=0 \Leftrightarrow \alpha =\beta$ ή $(\beta-\gamma)=0 \Leftrightarrow \beta=\gamma$ ή $(\gamma-\alpha)=0 \Leftrightarrow \gamma=\alpha$
Έτσι για να ισχύει αυτό θα πρέπει 2 αριθμοί να είναι ίσοι κάτι το οποίο είναι άτοπο λόγω της υπόθεσης άρα $\sqrt[3]{\alpha -\beta } +\sqrt[3]{\beta -\alpha } +\sqrt[3]{\gamma -\alpha } \neq 0$

:thanks:

Dr. N · 10-01-09

Αρχική Δημοσίευση από Dreamkiller:
Dr. N, τα ριζικά μπορεί να είναι κάλλιστα αρνητικοί αριθμοί. Έτσι κι αλλιώς, οι περριτής τάξης ρίζες αρνητικού αριθμού μια χαρά ορίζονται.

ωχ, δίκιο έχεις τα μπέρδεψα με τα απόλυτα... Η δύναμη της συνήθειας βλέπεις...

Dr. N · 10-01-09

Δεν είμαι σίγουρος για αυτήν την τελευταία αλλά ίσως λύνεται έτσι :

Αφού $\sqrt[3]{α-b} = 0 \rightarrow a-b=0 \rightarrow a=b$
και $\sqrt[3]{b-c} = 0 \rightarrow b-c=0 \rightarrow b=c$
και $\sqrt[3]{c-a} = 0 \rightarrow c-a=0 \rightarrow c=a$
κάτι το οποίο δεν ισχύει γιατί μας δίνει ότι είναι 3 διαφορετικοί αριθμοί
-----------------------------------------
lol έλεος sry για τις βλακείες που γράφει το μνμ αλλά δεν ξέρω απ'οτι φαίνετα να use latex

-----------------------------------------
επιτέλους τα κατάφερα xD

Άλλα μηνύματα του μέλους Dr. N σε αυτό το thread

Dr. N

Νεοφερμένος

Dr. N

Νεοφερμένος

Dr. N

Νεοφερμένος

Dr. N

Νεοφερμένος

Λοιπές Σελίδες