Βοήθεια/Aπορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

JKaradakov · 13-02-13

Αααα! Το λάθος το έκανε ο Μερκ στο Latex. Οκ, got it!

bond_bill · 15-02-13

μπορει να μου πει καποιος πως λυνετε αυτη η ασκηση e^x >=a*x +b για καθε χ πραγματικο και α μεγαλυτερο απο το 0. νδο α^α<+e^ (a-b). Ειναι παραδειγμα του μπαρλα αλλα δεν βγαζω ακρη. επισης μπορει να μου εξησηση καποιος αυτο που λεει στην σελ 157 δηλαδη οτι
Αν η f εχει ελαχιστο τοτε f(x)>=0 συνεπαγεται minf>=o

Aris90 · 16-02-13

μια βοηθεια σε αυτη την ασκηση
Δινεται η συναρτηση $f(x)={2}^{x}+{3}^{x}+{\alpha }^{x}-{5}^{x}-{6}^{x}$ , $\alpha > 0$
Να βρεθει η τιμη του α ωστε να ειναι
$f(x)\leq 1$ για καθε χΕR

rebel · 16 Φεβρουαρίου 2013

$f(0)=1$ οπότε αρκεί να βρούμε το $a$ ώστε η συνάρτηση να παρουσιάζει μέγιστο για $x=0$ το $1$ . Τότε όμως από FErmat είναι
$f'(0)=0 \Rightarrow \ln 2 + \ln 3 + \ln a - \ln 5 - \ln 6 =0 \Rightarrow \\ \ln a= \ln \frac{5\cdot 6}{2 \cdot 3} \Rightarrow \ln a = \ln5 \Rightarrow a = 5$

Αντίστροφα αν $a=5$ η $f$ έχει τον τύπο
$f(x)=2^x+3^x-6^x$
με
$f'(x)=2^x \ln 2 +3^x \ln 3- 6^x \ln 6 =2^x \ln 2 +3^x \ln 3-6^x \ln 2 - 6^x \ln 3 = 2^x \ln 2 (1-3^x) + 3^x \ln 3 (1-2^x)$
απ' όπου βλέπουμε εύκολα ότι
$x>0 \Leftrightarrow f'(x)< 0$
$x<0 \Leftrightarrow f'(x)> 0$
κι έτσι πράγματι η $f$ παρουσιάζει μέγιστο για $x=0$ το $f(0)=1$ όπως θέλαμε. Άρα λοιπόν $a=5$

Mercury · 18-02-13

Χρειάζομαι μία επαλήθευση:
Δίνεται:
$f(z)=\frac{z+i}{z}$
και
$\left|f(z) \right|=1$
Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος του z.
Λύση:

$\left|\frac{z+i}{z} \right|=1\Rightarrow \frac{\left|z+i \right|}{\left|z \right|}=1\Rightarrow \left|z+i \right|=\left|z \right|\Rightarrow \left|x+yi+i \right|=\left|x+yi \right|\Rightarrow \left|x+(y+1)i \right|=\left|x+yi \right|\Rightarrow \sqrt{{x}^{2}+{(y+1)}^{2}}=\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}\Rightarrow {\sqrt{{x}^{2}+{(y+1)}^{2}}}^{2}={\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}}^{2}\Rightarrow {x}^{2}+{(y+1)}^{2}={x}^{2}+{y}^{2}\Rightarrow (y+1)(y+1)={y}^{2}\Rightarrow {y}^{2}+2y+1={y}^{2}\Rightarrow y=-\frac{1}{2}$

JKaradakov · 18-02-13

Αρχική Δημοσίευση από Mercury:
Χρειάζομαι μία επαλήθευση:
Δίνεται:
$f(z)=\frac{z+i}{z}$
και
$\left|f(z) \right|=1$
Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος του z.
Λύση:

$\left|\frac{z+i}{z} \right|=1\Rightarrow \frac{\left|z+i \right|}{\left|z \right|}=1\Rightarrow \left|z+i \right|=\left|z \right|\Rightarrow \left|x+yi+i \right|=\left|x+yi \right|\Rightarrow \left|x+(y+1)i \right|=\left|x+yi \right|\Rightarrow \sqrt{{x}^{2}+{(y+1)}^{2}}=\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}\Rightarrow {\sqrt{{x}^{2}+{(y+1)}^{2}}}^{2}={\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}}^{2}\Rightarrow {x}^{2}+{(y+1)}^{2}={x}^{2}+{y}^{2}\Rightarrow (y+1)(y+1)={y}^{2}\Rightarrow {y}^{2}+2y+1={y}^{2}\Rightarrow y=-\frac{1}{2}$

Σωστό είναι.

tweetyslvstr · 18-02-13

Καλησπερα. Επειδή βρήκα μια άσκηση στις ευθείες στο βοήθημα του κ. Μπάρλα και δεν μπορώ να την λύσω θα μπορούσατε να μου πείτε τον τρόπο λύσης? Λοιπόν η ασκηση έχει ως εξής
Δίνεται εξισωση χ2-ψ2+6χ+9=0(σημ. όπου 2 είναι στο τετραγωνο αλλά δεν μπορώ να το βάλω)
α). Να δείξετε ότι η παραπάνω εξίσωση παριστάνει δύο ευθείες ε1 και ε2
β). Να δείξετε ότι οι ευθείες είναι κάθετες.
γ) Να βρείτε ένα σημείο Μ(κ.λ) με κ>0 και λ>0 τέτοιο, ώστε το διάνυσμα α=(3,κ) να είναι παράλληλο προς τη μια από τις δύο ευθείες ε1 και ε2 και το διάνυσμα β(-16,4λ) να είναι παράλληλο προς την άλλη ευθεία.
δ) Ν γράψετε την εξίσωση της παραβολής που έχει κορυφη την αρχή των αξόνων Ο, άξονα συμμετρίας τον άξονα χ'χ και διερχεται από το σημείο Μ.

vimaproto · 19-02-13

Αρχική Δημοσίευση από tweetyslvstr:
Καλησπερα. Επειδή βρήκα μια άσκηση στις ευθείες στο βοήθημα του κ. Μπάρλα και δεν μπορώ να την λύσω θα μπορούσατε να μου πείτε τον τρόπο λύσης? Λοιπόν η ασκηση έχει ως εξής
Δίνεται εξισωση χ2-ψ2+6χ+9=0(σημ. όπου 2 είναι στο τετραγωνο αλλά δεν μπορώ να το βάλω)
α). Να δείξετε ότι η παραπάνω εξίσωση παριστάνει δύο ευθείες ε1 και ε2
β). Να δείξετε ότι οι ευθείες είναι κάθετες.
γ) Να βρείτε ένα σημείο Μ(κ.λ) με κ>0 και λ>0 τέτοιο, ώστε το διάνυσμα α=(3,κ) να είναι παράλληλο προς τη μια από τις δύο ευθείες ε1 και ε2 και το διάνυσμα β(-16,4λ) να είναι παράλληλο προς την άλλη ευθεία.
δ) Ν γράψετε την εξίσωση της παραβολής που έχει κορυφη την αρχή των αξόνων Ο, άξονα συμμετρίας τον άξονα χ'χ και διερχεται από το σημείο Μ.

Τόσες φορές το είπε ο Δίας σε ελληνικό πληκτρολόγιο Ctrl+Alt+2=² Ctrl+Alt+3=³ Και εγώ δεν τα ήξερα αλλά τα έμαθα
Στο θέμα μας τώρα.
α) χ²+6χ+9-y²=0 ==> (χ+3)²-y²=0 ==> (x+3-y)(x+3+y)=0 ==.>y=x+3 (ε1) ή y=-x-3 (ε2) ==> λ1=1 και λ2=-1
β) Αρα κάθετες
γ) Τα διανύσματα πρέπει να έχουν αντίστοιχα την ίδια κλίση με τις ευθείες κ/3=λ1 =1 ==> κ=3 και 4λ/(-16)=λ2=-1 ==> λ=4 (αν τις πάρω -1 και 1 βρίσκω αρνητικά κ, λ που απορρίπτονται από την υπόθεση) Άρα Μ(3,4)
δ) y²=2ρχ και επειδή διέρχεται από το Μ(3,4) έχω 4²=2ρ.3 ==> 2ρ=16/3 και ${y}^{2}=\frac{16}{3}x$

bond_bill · 19-02-13

f(x)= e^x * (x-2) + λ*χ +2, λ>1
να αποδειξετε f'(X)>= λ -1 για καθε χ ανηκει στο R
ξερεται πως λυνεται αυτο ?

rebel · 19-02-13

Δοκίμασε να εξετάσεις την μονοτονία της f' και κάτι θα βγάλεις.

Mercury · 20-02-13

Λοιπόν...νέες απορίες(μπόλικες)
Ξεκινάμε...
Μαθηματικά του Μπάρλα,τεύχος πρώτο,
Σελίδα 65 ασκηση 56:
Έστω $\lambda \in R$ και ο μιγαδικός z για τον οποίο ισχύει \lambda z+\bar{z}=\left|z \right|
Να δείξετε ότι λ=1

Σελιδα 65 άσκηση 59.
Έστω έ η ευθεία που ορίζουν οι εικόνες των μιγαδικών ${z}_{1},{z}_{2}$ στο μιγαδικό επίπεδο για τους οποίους ισχύει:
${z}_{1}+{z}_{2}=1-2i$ και ${z}_{1}-{z}_{2}=3-4i$
Να βρείτε το μιγαδικό w που η εικόνα του βρίσκεται στην ευθεία και έχει το μικρότερο δυνατό μέτρο.

Εδώ βρίσκω τους μιγαδικούς,καταφέρνω να βρώ να την εξίσωση ευθείας,αλλά μετά κολλάω...

Σελίδα 66 ασκηση 63
Έστω $z\in C$ με $\left|\left(1-i \right)z+2i \right|2$
i)Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των σημειων Μ(z) για τα οποία ισχύει η παραπάνω σχέση.(αυτό το έλυσα)
ii)Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των σημείων Ν(w) για τα οποία ισχύει wz=1 (εδώ πρέπει να έχει να κάνει με αντίστροφο του z σωστα; )

Σελιδα 66 ασκηση 66
Αν η εικόνα του μιγαδικού z ανήκει στον κύκλο κέντρου Κ(0,2) και ακτίνας ρ=1 να βρείτε που ανήκει η εικόνα του
$w={\left|1-i \right|}^{2}z+3-4i$

rebel · 20-02-13

Στην πρώτη πρέπει να έχεις ξεχάσει ότι $z \not \in \mathbb{R}$ . Με δεδομένο αυτό παίρνουμε συζυγείς και έχουμε
$\lambda \bar{z} + z = |z|$ . Από την αρχική σχέση έχουμε $\lambda z + \bar{z} = |z|$ . Άρα $\lambda \bar{z} + z = \lambda z + \bar{z} \Rightarrow (\lambda-1)(z-\bar{z})=0 \stackrel{z \not \in \mathbb{R}}{\Rightarrow} \lambda=1$

Civilara · 20-02-13

Αρχική Δημοσίευση από Mercury:
Σελιδα 66 ασκηση 66
Αν η εικόνα του μιγαδικού z ανήκει στον κύκλο κέντρου Κ(0,2) και ακτίνας ρ=1 να βρείτε που ανήκει η εικόνα του
$w={\left|1-i \right|}^{2}z+3-4i$

Ο κύκλος C κέντρου Κ(0,2) και ακτίνας ρ=1 έχει εξίσωση στο σύστημα αναφοράς Oxy:
(x^2)+[(y-2)^2]=1

Οι παραμετρικές εξισώσεις του κύκλου C είναι:
x=συνθ
y=2+ημθ
0<=θ<2π

Επομένως για τον μιγαδικό w=x+yi του οποίου η εικόνα Μ(w) ανήκει στον C ισχύει
x=συνθ
y=2+ημθ
Επομένως z=x+yi=συνθ+(2+ημθ)i

Επειδή |1-i|=SQRT((1^2)+((-1)^2))=SQRT(1+1)=SQRT(2) τότε έχουμε

w=2z+3-4i=2(x+yi)+3-4i=2x+2yi+3-4i=(2x+3)+2(y-2)i=(2συνθ+3)+(2ημθ)i
Αν θέσουμε w=X+Yi όπου X,Y ανήκουν R τότε έχουμε:

X=2x+3=2συνθ+3
Y=2(y-2)=2ημθ

Συνεπώς προκύπτει:

((X-3)^2)+(Y^2)=((2συνθ)^2)+((2ημθ)^2)=4[((ημθ)^2)+((συνθ)^2)]=4*1=4

Άρα
[(X-3)^2]+(Y^2)=4

Επομένως η εικόνα M(w) του w ανήκει σε κύκλο C΄ στο σύστημα αναφοράς Oxy με κέντρο Κ΄(3,0) και ακτίνα ρ΄=2

Mercury · 20-02-13

Αρχική Δημοσίευση από Civilara:
Ο κύκλος C κέντρου Κ(0,2) και ακτίνας ρ=1 έχει εξίσωση στο σύστημα αναφοράς Oxy:

(x^2)+[(y-2)^2]=1

Οι παραμετρικές εξισώσεις του κύκλου C είναι:
x=συνθ
y=2+ημθ
0<=θ<2π

Επομένως για τον μιγαδικό w=x+yi του οποίου η εικόνα Μ(w) ανήκει στον C ισχύει
x=συνθ
y=2+ημθ
Επομένως z=x+yi=συνθ+(2+ημθ)i

Επειδή |1-i|=SQRT((1^2)+((-1)^2))=SQRT(1+1)=SQRT(2) τότε έχουμε

w=2z+3-4i=2(x+yi)+3-4i=2x+2yi+3-4i=(2x+3)+2(y-2)i=(2συνθ+3)+(2ημθ)i
Αν θέσουμε w=X+Yi όπου X,Y ανήκουν R τότε έχουμε:

X=2x+3=2συνθ+3
Y=2(y-2)=2ημθ

Συνεπώς προκύπτει:

((X-3)^2)+(Y^2)=((2συνθ)^2)+((2ημθ)^2)=4[((ημθ)^2)+((συνθ)^2)]=4*1=4

Άρα
[(X-3)^2]+(Y^2)=4

Επομένως η εικόνα M(w) του w ανήκει σε κύκλο C΄ στο σύστημα αναφοράς Oxy με κέντρο Κ΄(3,0) και ακτίνα ρ΄=2

Ευχαριστώ!!
Πάντως βγαίνει και πιό απλά χωρίς τριγωνομετρικούς αριθμούς:

$w={\left|1-i \right|}^{2}z+3-4i\Rightarrow w=2z+3-4i\Rightarrow w=2(x+yi)+3-4i\Rightarrow w=2x+2yi+3-4i\Rightarrow w=(2x+3)+(2y-4)i\Rightarrow \alpha +\beta i=(2x+3)+(2y-4)i\Rightarrow \begin{cases}& \alpha =2x+3\Rightarrow x=\frac{\alpha -3}{2} \\ & \beta =2y-4\Rightarrow y=\frac{\beta +4}{2} \end{cases}$

Αντικαθιστούμε τα x,y που βρήκαμε στην αρχική εξίσωση κύκλου που μας δίνεται:
${x}^{2}+{(y-2)}^{2}=1\Rightarrow ({\frac{\alpha -3}{2}})^{2}+{(\frac{\beta +4}{2}-2)}^{2}=1\Rightarrow \frac{{(\alpha -3)}^{2}}{4}+\frac{{(\beta +4-4)}^{2}}{4}=1\Rightarrow {(\alpha -3)}^{2}+{\beta }^{2}={2}^{2}$

t00nS · 20-02-13

έστω f(0,+oo)->R μια συνάρτηση με f(1)=0 καi f(τόνος)(χ)>1 +lnx, για κάθε χ>0
1)Να δείξετε ότι:
f(x)<xlnx,για κάθε χε(0,1),f(x)>xlnx για κάθε χ>1 και μετά να λύσετε την εξίσωση f(x)=0
2)να βρείτε τα όρια lim(x->+oo)f(x),lim(x->+oo) f(x)-λ-χ/χ
3)να δείξετε ότι υπάρχει ξε(1,2)τέτοιο ώστε f(τόνος)(ξ)>ln2
βρήκα το πρώτο αλλά δεν είμαι σίγουρος

Sansy16 · 21-02-13

Γεια σας παιδια εχω μια απορια οσον αφορα την θεωρια του ολοκληρωματος ενα ολοκληρωμα για μια συναρτηση θετικη μας δινει το εμβαδον του χωριου που εμεις καθοριζουμε αν η συναρτηση ειναι αρνητικη τι μας δειχνει??

rebel · 21-02-13

Αν δεν κάνω λάθος, το βιβλίο ορίζει το εμβαδόν χωρίου $\Omega$ που περικλείεται ανάμεσα στον χ'χ, την $C_f$ και τις ευθείες $x=a,\,\,x=b$ ως
$E(\Omega):=\int_a^b \! \left|f(x)\right| \, \mathrm{d}x$
Αν λοιπόν είναι $f(x) < 0,\,\,x \in [a, b]$ έχουμε
$E(\Omega)=\int_a^b \! \left|f(x)\right| \, \mathrm{d}x = \int_a^b \! -f(x) \, \mathrm{d}x=- \int_a^b \! f(x) \, \mathrm{d}x$
δηλαδή
$\int_a^b \! f(x) \, \mathrm{d}x=-E(\Omega)$

Sansy16 · 21-02-13

Δεν καναμε ακομα το κεφαλαιο αυτο η απορια μου ειναι απτα αρχικα που λεει οτι παντα αν f(x)>0 υπαρχει περιπτωση να μην εχουμε απολυτα και να ειναι μια συναρτηση αρντικη σε ενα διαστημα και συνεχης εκει το ολοκληρωμα της παλι θα δειχνει εμβαδον ακομα και αν g(x)<0

rebel · 21-02-13

Σου εξήγησα τι δηλώνει το ολοκλήρωμα αν η συνάρτηση είναι αρνητική στο διάστημα [α,β] αν και το πήγα δια της πλαγίας οδού. Είναι το -(εμβαδόν Ω). Για ποιο απόσπασμα λες ακριβώς, γιατί δεν καταλαβαίνω; Σε ποια σελίδα;

Sansy16 · 21-02-13

σχολικο σελ 330 στο τελευταιο αποσπασμα

Βοήθεια/Aπορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

Τιμώμενο Μέλος

Νεοφερμένος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Επιφανές μέλος

Τιμώμενο Μέλος

Δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένος

Πολύ δραστήριο μέλος

Επιφανές μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Περιβόητο μέλος

Επιφανές μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Νεοφερμένος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένος