Συλλογή ασκήσεων και τεστ στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

_sentenced_ · 11-07-08

εγώ αυτό που σκέφτηκα είναι ότι αν έχουμε πχ a^2=b^2 τότε |a|=|b| άρα a=b ή a=-b
έτσι με την ίδια λογική ότι 1^(1/2) = 1 ή -1 οπότε αν απορ τη λύση 1 βγαίνει σωστό..
αλλά μάλλον είμαι λάθος...

mostel · 11-07-08

Ύστερα από το thread που άνοιξε η _ann_ , με την εύλογη απορία της , σας δίνω ακόμη μία παραπλήσια άσκηση στους μιγαδικούς. Να την κοιτάξετε προσεχτικά και μη βιαστείτε να δώσετε λύση στο δεύτερο ερώτημα !

Για τον μιγαδικό $z$ , ισχύει: $|z|=1$ . Επίσης, δίνεται ο μιγαδικός: $w=\frac{2z-i}{iz+2}$ .

i) Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος της εικόνας του $w$ .

ii) Να βρεθεί η μέγιστη τιμή της παράστασης $|z-w|$ , καθώς το $z$ μεταβάλλεται.

Στέλιος

169 · 14-07-08

α) z*zσυζηγης=1
αρα w=(2z-i)/(iz+2)=...=1/wσυζηγης οποτε |w|=1 ο γτ και των δυο μιγαδικων ειναι ο μοναδιαιος κυκλος
β)η |z-w|max θα ειναι ιση με την διαμετρο (δηλ |z-w|max=2)

mostel · 14-07-08

To 1o ερώτημα το έχεις απαντήσει σωστά. Το β όμως είναι λάθος! Γι' αυτό ακριβώς την έβαλα την άσκηση. Βρείτε το λάθος λοιπόν!

Στέλιος

169 · 14-07-08

ειναι 1/2; πολυ ωραια ασκηση

mostel · 14-07-08

Όντως, 1/2 είναι. Αλλά πώς το έβγαλες, μπορείς να μας πεις ;

Στέλιος

169 · 14-07-08

κατι θα κανω για σενα...

καθως το z μεταβαλλεται , μεταβαλεται και το w εχωντας σταθερη αποσταση παντα
οταν z=i
θα ειναι w=i/2 αρα |z-w|=1/2

169 · 14-07-08

να ρωτησω κατι ασχετο; μπορουμε να πουμε οτι η ριζα του i ειναι -1 ,αν ναι η τριτη ριζα του i ποια ειναι ; μπορει να ειναι απλο αλλα εχω μπερδευτει λιγο

miv · 15-07-08

Το συζήτησα με μαθηματικούς και τελικά ειναι αυτό που έλεγε η Δέσποινα. Δεν ορίζεται μη ακέραιος εκθέτης πέραν του R, για τον πολύ απλό λόγο οτι δεν υφίσταται η ιδιότητα α εις τη ν/μ = μιοστή ρίζα του α εις τη ν. Αυτό είναι απόρροια του γεγονότος οτι πέραν του R οι ρίζες ορίζονται με κάπως διαφορετικό τρόπο, αφού αξίζει να σημειωθεί οτι δεν υπάρχει καν το γνωστό ριζικό σύμβολο που χρησιμοποιούμε στο R. Αλλά εντάξει. Όλα αυτά δεν υπάρχουν καν σε σχολικά εγχειρίδια, όχι απλώς είναι εκτός ύλης...

mostel · 15-07-08

Αρχική Δημοσίευση από miv:
Το συζήτησα με μαθηματικούς και τελικά ειναι αυτό που έλεγε η Δέσποινα. Δεν ορίζεται μη ακέραιος εκθέτης πέραν του R, για τον πολύ απλό λόγο οτι δεν υφίσταται η ιδιότητα α εις τη ν/μ = μιοστή ρίζα του α εις τη ν. Αυτό είναι απόρροια του γεγονότος οτι πέραν του R οι ρίζες ορίζονται με κάπως διαφορετικό τρόπο, αφού αξίζει να σημειωθεί οτι δεν υπάρχει καν το γνωστό ριζικό σύμβολο που χρησιμοποιούμε στο R. Αλλά εντάξει. Όλα αυτά δεν υπάρχουν καν σε σχολικά εγχειρίδια, όχι απλώς είναι εκτός ύλης...

Εννοείς ας πούμε ότι δεν ορίζεται π.χ. εκθέτης: $\frac{1}{2}$ ;

Αν σου 'χουν πει τέτοιο πράγμα, θα πρέπει να πάνε στη φιλολογία οι τυπάδες.

miv · 15-07-08

Τέλος πάντων, σου είπα, μπορει κάτι να μην κατάλαβα. Στην τελική δεν μας αφορά κιόλας ως μαθητές.

Φιλιον_Τερας · 15-07-08

Αρχική Δημοσίευση από mostel:
Ναι, αλλά είμαστε off-topic

τι βιβλια εχεις διαβασει αφου ειναι εκτος υλης το θεμα?

mostel · 15-07-08

Οποιοδήποτε σωστό βιβλίο πάνω στη μιγαδική ανάλυση πάρεις, το έχει.

Vorbulon · 15-07-08

Ώρα να φρεσκάρω και εγώ τα μαθηματικά μου!
Σίγουρα η μέγιστη τιμή είναι 1/2; Γιατί πχ για z=1, το w βγαίνει 3/5-(4/5)i δηλαδή το |z-w| βγαίνει 2/5*5^(1/2) που είναι μεγαλύτερο από το 1/2. Τι λάθος κάνω;

169 · 15-07-08

το οτι |w|=|3/5+(4/5)i| δεν δινει οτι w=3/5+(4/5)i
οταν 2 μιγαδικοι ειναι ισοι τοτε εχουν ισα μετρα ... το αντιστροφο δεν ισχυει

mostel · 15-07-08

Απλώς το w εξαρτάται από το z, και δε παίρνει τυχαίες τιμές. Με $z=x+yi$ , προκύπτει, ύστερα από πράξεις, ότι:

$|z-w|=\sqrt{\frac{1-y^2}{5-4y}}$ .

Ύστερα από παραγώγιση, εύκολα προκύπτει ότι παρουσιάζει max για $y=\frac{1}{2}$ το $1$ .

Ps: Πριν είχα κάνει λάθος... το μέγιστο είναι το 1 και όχι το 1/2.

169 · 15-07-08

λιγο δυσκολο να λυσω ασκηση με παραγωγους δεν γνωριζω τιποτα εκτος απο τον ορισμο

mostel · 15-07-08

Υπάρχει και λύση με μιγαδικούς, αλλά είναι καθαρά γεωμετρική και δύστροπη, γι' αυτό δεν την έβαλα.

Στέλιος

_sentenced_ · 15-07-08

νομίζω το βρήκα...
Δε χρησιμοποιούμε ριζικά με υπόριζο μη πραγματικό αριθμό και εκθέτη μη ακέραιο όπως είναι το i^(1/2)...

miv · 15-07-08

Μα δεν ορίζεται ριζικό για μη πραγματικό, αυτό ειναι δεδομένο. Αυτό για τον εκθέτη το ξέρω κι εγώ, αλλά ο Στέλιος το δείχνει κάπως αλλιώς που δε μπορώ να το αντιληφθώ.

Συλλογή ασκήσεων και τεστ στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

Νεοφερμένος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένος

Νεοφερμένος

Επιφανές μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Επιφανές μέλος

Διάσημο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένος

Νεοφερμένος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένος

Επιφανές μέλος