Ασκήσεις προς επίλυση στους Μιγαδικούς

who · 14-07-08

Άλλη μία,
Αν ισχύει $z^4-4z+6=0$ , να αποδείξετε ότι $|z|>1$ .

169 · 14-07-08

το παλευω αλλα τιποτα μη βαλεις γρηγορα την λυση please

169 · 14-07-08

θελω λιγη βοηθεια εδω κανενας αλλος δεν προσπαθει ....?

mostel · 14-07-08

Εγώ περιμένω επαλήθευση πως όντως είναι τετάρτου βαθμού και όχι δευτέρου, για να βάλλω μπρος τη λύση

Στέλιος

169 · 14-07-08

ουτε με δευτερου ειναι << καλη>> νομιζω

mostel · 14-07-08

Είναι καλή τότε. Οι ρίζες είναι :

$2\pm i2\sqrt{2}$

και έχουν μέτρο μεγαλύτερο της μονάδας.

169 · 14-07-08

λογικα αρκει νδο |4z-6|>1 σωστα?

mostel · 14-07-08

Ενδεχόμενα, ναι.

ηλεκτρα22481 · 14-07-08

Αρχική Δημοσίευση από 169:
λογικα αρκει νδο |4z-6|>1 σωστα?

απο οσα εχω στο μυαλο μου το αδειο προτεινω αν εχετε ορεξη να το λυσετε απλα ξαπλωστε και θα σας περασει......απο μια τρελη φαν της 169

ξερει αυτη..μισο λεπτο να σκεφτω σοβαρα τη λυση να σας πω....

169 · 14-07-08

για να σκεφτεις σοβαρα πρεπει αρχικα να σκεφτεσαι καλη μου :lol:

παλεψε το ομως

ευχαριστω mostel μηπως μπορεσες να το δειξεις

mostel · 14-07-08

Όχι, δε το επιχείρησα κάν. Περιμένω επαλήθευση από τον who..

Στέλιος

169 · 14-07-08

αν ειναι ευκολο θα ηθελα την λυση

αν |z|=|w|=|u|=1 και z+w+u=0
α)νδο |z-w|=|w-u|=|u-z|
β)νδο |z-w|<ή= 4

169 · 14-07-08

τελικα ειναι πολυ καλη την προτεινω...:no1:

exc · 14-07-08

Λοιπόν...
Από την πρώτη σχέση καταλαβαίνουμε πως οι z,w,u κινούνται στον μοναδιαίο κύκλο. Τρία διανύσματα για να έχουν μηδενικό άθροισμα όταν κινούνται στον ίδιο κύκλο πρέπει να έχουν μία "γωνιακή απόσταση" (ας μου επιτραπεί ο όρος αυτός) 120 μοιρών (δε χρειάζεται περισσότερη εξήγηση). Άρα και οι μιγαδικοί z,w,u έχουν "απόσταση" 120 μοιρών. Άρα η εικόνα τους σχηματίζει ένα ισόπλευρο τρίγωνο και έτσι αποδεικνύεται το α.
Τώρα όσον αφορά το β ερώτημα... Μάλλον είναι λάθος να θεωρήσουμε <ή=4... Τι να πω...

Συγγνώμη για την περίεργη λύση... Tουλάχιστον είναι σωστή!

169 · 14-07-08

μηπως μπορεις να αναλυσεις αυτο με την γωνιακη αποσταση μια
αποδειξη θα βοηθουσε εγω το εβγαλα αλλιως

exc · 14-07-08

μηπως μπορεις να αναλυσεις αυτο με την γωνιακη αποσταση

Βεβαίως μπορώ. Έχουμε τον μοναδιαίο κύκλο και παίρνουμε τρία σημεία Α(z), B(w), C(u) έτσι ώστε τα τόξα ΑΒ, ΒC, CA να είναι ίσα μεταξύ του και άρα 120 μοιρών. Οπότε οι εγγεγραμμένες γωνίες που βαίνουν σε αυτά είναι 60 και συνεπώς το τρίγωνο ΑΒC είναι ισόπλευρο.

ΥΓ: Μπορούμε ανά πάσα στιγμή να θεωρούμε τους μιγαδικούς ως διανύσματα και το αντίθετο.

edit: με το νόμο των συνημιτόνων βρίσκουμε το β. Σημ.: συν120=-0,5

manos66 · 14-07-08

Το σωστό είναι
β) ν.δ.ο. $|z - w|\leq \sqrt{3}$

169 · 14-07-08

ευχαριστω ειναι πραγματικα ομορφο

manos66 · 14-07-08

Αν θέλουμε ν.δ.ο. |z - w| = |w - u| "ξεφορτωνόμαστε" τον κοινό w
w = -z - u
Αρκεί ν.δ.ο. |2z + u| = |-z - 2u|
Υψώνω στο τετράγωνο ...

Όμοια |w - u| = |u - z|

mostel · 14-07-08

Λοιπόν:

$z+w+u=0$ ή

$w+u=-z$ (1)

Όμως και:

$\overline{z+w+u}=0$

$\frac{1}{z}+\frac{1}{u}+\frac{1}{w}=0$

$\frac{zw+zu+wu}{zwu}=0$

$zw+zu+wu=0$ (2)

$z(w+u)+wu = 0$ ( από (1) )

$-z^2 + wu = 0$

$wu=z^2$ (3)

Ακόμη:

$z+w+u=0$

$(z+w+u)^2=0$

$z^2+w^2+u^2+2wz+2wu+2zu=0$

$z^2+w^2+u^2+2(wz+wu+zu)=0$

$z^2+w^2+u^2=0$ (από (2) )

Όμως $z^2=wu$

Άρα

$w^2+u^2+wu = 0$ (από (3) )

ή

$w^2+u^2-2wu+wu = -2wu$

$(w-u)^2=-3wu$

$|w-u|^2=3$

$|w-u|=\sqrt{3}$

Αντίστοιχα και για τα άλλα βγαίνει ότι:

$|w-u|=|u-z|=|z-w|=\sqrt{3}<4$

(Μάλιστα βρήκα ακριβώς το μέτρο

)

Υπάρχει και δεύτερος τρόπος όμως για να βρούμε το μέτρο των $|w-u|$ , κ.λπ.

Γενικά το εμβαδόν ισοπλεύρου, είναι γνωστό από τη γεωμετρία ότι δίνεται από τον τύπο:

$E=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$ (4)

Όμως και το εμβαδόν τριγώνου, περιγεγραμμένου σε κύκλο, είναι επίσης γνωστό από γεωμετρία ότι δίνεται από τον τύπο:

$E=\frac{abc}{4R}$

όμως στην προκειμένη $R=1$ και $a=b=c$ . Άρα:

$E=\frac{a^3}{4}$ (5)

Ταυτίζοντας τις (4) και (5), παίρνουμε:

$\frac{a^3}{4}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$

$a=\sqrt{3}$

Άρα:

$|u-w|=\sqrt{3}$ , και το ίδιο για τα άλλα.

Στέλιος

Ασκήσεις προς επίλυση στους Μιγαδικούς

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένος

Νεοφερμένος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένος

Νεοφερμένος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένος

Νεοφερμένος

Διάσημο μέλος

Νεοφερμένος

Διάσημο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Νεοφερμένος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος