Ασκήσεις προς επίλυση στους Μιγαδικούς

nova · 16-12-07

Αρχική Δημοσίευση από giannis:
Παραθέτω μια αγαπημένη μου άσκηση στους μιγαδικούς και πιστεύω αξίζει να ασχοληθείτε!!!

Έστω οι μιγαδικοί $z_1,z_2,z_3$ ώστε να ικανοποιούν τις σχέσεις
$|z_1|=|z_2|=|z_3|=1$ και $z_1+z_2+z_3=1$
Να δείξετε ότι
$z_1=1$ ή $z_2=1$ ή $z_3=1$

Θεωρούμε την παράσταση $A = (z_1-1)(z_2-1)(z_3-1)$

Έχουμε:

$A = z_1z_2z_3-z_1z_2-z_2z_3-z_3z_1+z_1+z_2+z_3-1$

$= z_1z_2z_3-(z_1z_2+z_2z_3+z_3z_1)$

$= z_1z_2z_3-z_1z_2z_3(\frac{1}{z_1}+\frac{1}{z_2}+\frac{1}{z_3})$

$= z_1z_2z_3-z_1z_2z_3(\overline{z_1}+\overline{z_2}+\overline{z_3})$

$= z_1z_2z_3-z_1z_2z_3\overline{(z_1+z_2+z_3)}$

$= z_1z_2z_3-z_1z_2z_3 = \\ = 0$

Επομένως
$z_1=1$ ή $z_2=1$ ή $z_3=1$

Scandal · 14-04-08

Άσκηση Α
Η εικόνα του μιγαδικοί z κινείται στην ευθεία 3x + 4y - 60 = 0. Να βρείτε την ελάχιστη τιμή του l z-3-4i l.

Λύση: 7

Εύκολη πρέπει να 'ναι αλλά δε ξέρω πως να αξιοποιήσω την ευθεία.

Άσκηση Β
Δίνονται οι μιγαδικοί z και w οι οποίοι ικανοποιούν τις σχέσεις:
l z-3-4i l=5 και l w-6-8i l=10

α) Να βρείτε το μέγιστο μέτρο των μιγαδικών z και w.
β) Να βρείτε τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή του lz-wl
γ) Να βρείτε τους μιγαδικούς αριθμούς για τους οποίους η τιμή του lz-wl γίνεται μέγιστη ή ελάχιστη αντίστοιχα.

Λύσεις: α) το μέγιστο του lzl είναι 10, το μέγιστο του lwl είναι 20 β) 0<= lz-wl <=20 γ) (w1= 12+16i, z1= 0+0i) ή (w2= 0+0i και z2=0+0i)

:thanks:

-petros

Kristal · 15-04-08

Αρχική Δημοσίευση από Petros:
Άσκηση Α
Η εικόνα του μιγαδικοί z κινείται στην ευθεία 3x + 4y - 60 = 0. Να βρείτε την ελάχιστη τιμή του l z-3-4i l.

Λύση: 7

Εύκολη πρέπει να 'ναι αλλά δε ξέρω πως να αξιοποιήσω την ευθεία.

Άσκηση Β
Δίνονται οι μιγαδικοί z και w οι οποίοι ικανοποιούν τις σχέσεις:
l z-3-4i l=5 και l w-6-8i l=10

α) Να βρείτε το μέγιστο μέτρο των μιγαδικών z και w.
β) Να βρείτε τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή του lz-wl
γ) Να βρείτε τους μιγαδικούς αριθμούς για τους οποίους η τιμή του lz-wl γίνεται μέγιστη ή ελάχιστη αντίστοιχα.

Λύσεις: α) το μέγιστο του lzl είναι 10, το μέγιστο του lwl είναι 20 β) 0<= lz-wl <=20 γ) (w1= 12+16i, z1= 0+0i) ή (w2= 0+0i και z2=0+0i)

:thanks:

-petros

Στην πρώτη άσκηση γνωρίζεις οτι επειδή ο μιγαδικός ανήκει στην ευθεία οι συντεταγμένες του ικανοποιούν την εξίσωση...Άρα απο αυτό θα βρείς την ελάχιστη απόσταση του Ο απο την ευθεία που θα είναι και ο z(min)=[A*0+B*0+Γ]/(Ριζα(Α^2+Β^2))... Απο εκεί και πέρα θα πάρεις για την παράσταση που θέλεις τριγωνική ανισότητα και θα σπάσεις την παράσταση σε μέτρο z και σε μετρο 3+4i οποτε απο εκει θα προκύψει οτι το ελάχιστο μέτρο ειναι 7.
Για την 2η άσκηση έχεις οτι οι γεωμετρικοί τόποι είναι κύκλοι και ξέρεις ακτίνα και κέντρο άρα το μέγιστο μέτρο των μιγαδικών θα είναι η απόσταση Των κέντρων τους απο το Ο αν προσθέσεις την ακτίνα του καθενός...Για το β)ερωτημα κανε σχήμα και παίξε με την διάκεντρο και στο γ θα λύσεις σύστημα ευθείας που διέρχεται απο τα κέντρα με τους κύκλους..
Με κάθε επιφύλαξη...

Sior_Tapas · 07-05-08

Έστω ο μιγαδικός αριθμός w με |w|=((|Ζ||Ζ|-{Ζ}w+Z{w})/|w|-3)-3 και |w| διάφορο του 3. Να δείξετε οτι οι εικόνες του w κινούνται στους άπειρους κύκλους με κέντρα τις εικόνες του Ζ και ακτίνα 3.

Σημείωσεις:
1) |Ζ||Ζ|=μέτρο του Ζ στο τετράγωνο
2) {Z}= Ζ συζηγής
3) {w}= w συζυγής

dal_kos · 07-05-08

Σίγουρα είναι -{z}w+z{w} η παράσταση στον αριθμητη? Γιατί κάνοντας όλες τις πράξεις, κολλάω στα πρόσημα

Βασικά πρέπει να δείξουμε ότι $|w-z|=3$

$|w|+3= \frac{|z|^2+zw-zw}{|w|-3} \\ |w|^2-3^2 = |z|^2+zw-zw \\ |w|^2-|z|^2-zw+zw=9 $

169 · 13-07-08

(z^2+w^2)(z^2+w^2+2zw)=0<=>
(z^2+w^2)^2+2zw(z^2+w^2)=0 <=>
(z^2+w^2)(z+w)^2=0(1)
άρα
έστω ότι (z+w)^2=0άτοπο διοτι |(z+w)^2|=1
έστω ότι z^2+w^2=0δεκτή διότι |z^2|=|w^2|
οπότε
(1)<=>0=0 που ισχύει

169 · 13-07-08

(z^2+w^2)(z^2+w^2+2zw)=0
έστω ότι (z+w)^2=0άτοπο διότι |(z+w)^2|=1
έστω ότι z^2+w^2=0<=>Z^2=-w^2 μετράρεις και... |z^2|=|w^2|που ισχύει διότι |z|=|w| :hmm:

who · 13-07-08

Πάρτε και μία από εμένα,
Αν ισχύει z^100+z^99+z^98+...+z+1=0, να αποδείξετε ότι z+1/z E R.

169 · 13-07-08

για να δω ...τι κανετε σε ενα αληθινο προβλημα

αποδείξτε οτι ο u=(z^2004-i)^2005-(i+(zσυζηγης)^2004)^2005 ειναι φανταστικος

mostel · 13-07-08

Κλασικό , αλλά ωραίο ασκησάκι.

Έχουμε:

$z^{100}+\ldots+1=0$

$(z-1)(z^{100}+\ldots+1)=0 $

$z^{101}-1=0$

$z^{101}=1$

$|z|=1$

Άρα:

$\overline{z}=\frac{1}{z}$

Δηλαδή:

$\overline{z+\frac{1}{z}}=\ldots=\frac{1}{z}+z$

Qed!

Στέλιος

gossipgirl · 13-07-08

ενα μαθημα εχω κανει στους μιγαδικους...οποτε αποκλειεται να το λυσω...το σημειωνω ομως!

mostel · 13-07-08

Αρκεί να ζείξουμε ότι :

$u=-\overline{u}$

Stelios

PS: Το πόσταρες σε λάθος τόπικ!

gossipgirl · 13-07-08

ή μαλλον μπορεις να μου στειλεις τη λυση αν δεν ειναι κοπος;;;;;

gossipgirl · 13-07-08

να ρωτησω κατι;;;αυτο οτι u=-u δεν ειναι απο ασκηση στο βιβλιο στη β ομαδα;;;δηλ μπορουμε να το παρουμε έτοιμο;;;;;;ή κανουμε την αποδειξη;;;

mostel · 13-07-08

Η λύση είναι ουσιαστικά πιο πάνω:

Δηλαδή:

$\overline{u}=(\overline{z}^{2004}+i)^{2005}-(z^{2004}+i)^{2005}=-u$

Stelios

mostel · 13-07-08

Πρέπει να κάνεις την απόδειξη! Αλλά θεωρείται από τις SOS εφαρμογές.

Στέλιος

gossipgirl · 13-07-08

Αρχική Δημοσίευση από mostel:
Πρέπει να κάνεις την απόδειξη! Αλλά θεωρείται από τις SOS εφαρμογές.

Στέλιος

α!οκ!ευχαριστω!θα την μαθω καλα!

169 · 13-07-08

το u=uσυζηγης οταν u ειναι πραγματικος θεωρηται αυτονοητη αρχη ομως το θεικο μας βιβλιο δεν την περιεχει αρα πρεπει να την αποδειξεις ομως στις ασκησεις των πανελληνιων δοθηκε οδηγια να μην λαμβανεται ως λαθος αν δεν υπαρχει η αποδειξη

169 · 13-07-08

η λυση στηριζεται στο οτι η διαφορα 2 συζηγων μιγαδικων είναι φανταστικος

miv · 14-07-08

Απο τη στιγμή που δεν περιλαμβάνεται στο βιβλίο, πάντως, για μεγαλύτερη σιγουριά, όπου εφαρμόζεται πρέπει ν'αποδεικνύεται.

Ασκήσεις προς επίλυση στους Μιγαδικούς

Νεοφερμένος

Διαχειριστής

Εκκολαπτόμενο μέλος

Νεοφερμένος

Νεοφερμένος

Νεοφερμένος

Νεοφερμένος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένος

Πολύ δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Νεοφερμένος

Νεοφερμένος

Επιφανές μέλος