Εφαρμογές των Μιγαδικών Αριθμών

μπορειτε να μου πειτε που χρησιμοποιουμε τους μιγαδικους αριθμους?αν μπορουμε να τους αντιληφθουμε στην ζωη μας..αν μπορουμε να τους αντιληφθουμε καπως?στους μιγαδικους δεν ισχυει ο ορισμος της ριζας που ειχαμε στους πραγματικους?οι μιγαδικοι ισχυουν μονο σε δισδιαστατο χωρο?
γενικα οποιος μπορει να γραψει κατι για να τους καταλαβω θα χαιρομουν ιδιαιτερως!

Αρχική Δημοσίευση από _ann_:

μπορειτε να μου πειτε που χρησιμοποιουμε τους μιγαδικους αριθμους?αν μπορουμε να τους αντιληφθουμε στην ζωη μας..αν μπορουμε να τους αντιληφθουμε καπως?στους μιγαδικους δεν ισχυει ο ορισμος της ριζας που ειχαμε στους πραγματικους?οι μιγαδικοι ισχυουν μονο σε δισδιαστατο χωρο?
γενικα οποιος μπορει να γραψει κατι για να τους καταλαβω θα χαιρομουν ιδιαιτερως!

Click για ανάπτυξη...

Οι μιγαδικοί αριθμοί εφευρέθηκαν από αναγκαιότητα για να λυθούν διάφορες πολυωνυμικές εξισώσεις που δεν έχουν πραγματικές ρίζες όπως η . Έτσι λοιπόν ορίστηκε ως "φανταστική μονάδα" ο αριθμός i για τον οποίον ισχύει . Στη συνέχεια δημιουργήθηκαν όλοι οι αριθμοί της μορφής αi όπου α πραγματικός αριθμός και οι οποίοι ονομάστηκαν "φανταστικοί αριθμοί". Σε ένα στάδιο παραπάνω εφευρέθηκαν οι αριθμοί της μορφής α+βi όπου α και β πραγματικοί αριθμοί. Όλοι οι αριθμοί της μορφής α+βi όπου α και β πραγματικοί αριθμοί ονομάζονται "μιγαδικοί αριθμοί" και το σύνολο των μιγαδικών αριθμών είναι το ευρύτερο δύνατο. Ο αριθμός α ονομάζεται "πραγματικό μέρος" και συμβολίζεται με Re(z) και ο αριθμός β "φανταστικό μέρος" και συμβολίζεται με Im(z) του μιγαδικού z=α+βi.

Το σύνολο των πραγματικών αριθμών συμβολίζεται με R, το σύνολο των φανταστικών αριθμών με Ι (νομίζω) και το σύνολο των μιγαδικών αριθμών με C. Ο αριθμός 0 μπορεί να θεωρηθεί τόσο πραγματικός όσο και φανταστικός και είναι το μοναδικό κοινό στοιχείο των συνόλων R και I.

Τα σύνολα R και I είναι γνήσια υποσύνολα του C και το μοναδικό κοινό τους στοιχείο είναι ο αριθμός 0, δηλαδή . Όλα τα στοιχεία του C που δεν ανήκουν στο , δηλαδή αυτά που ανήκουν στο "συμπλήρωμά" του που συμβολίζεται με , έχουν τόσο πραγματικό όσο και φανταστικό μέρος διάφορο του 0. Τα στοιχεία που ανήκουν στο R έχουν φανταστικό μέρος 0 και τα στοχεία που ανήκουν στο I έχουν πραγματικό μέρος 0.

Αποδεικνύεται ότι κάθε πολυωνυμική εξίσωση ν βαθμού στο σύνολο C των μιγαδικών αριθμών έχει ακριβώς ν μιγαδικές ρίζες (συνεπώς το πολύ ν πραγματικές ρίζες αν όλες αυτές είναι πραγματικοί αριθμοί). Το θεώρημα αυτό λέγεται "θεμελιώδες θεώρημα της άλγεβρας". Η έννοια της ρίζας υφίσταται και γενικεύεται στο σύνολο C των μιγαδικών αριθμών αλλά δεν χρησιμοποιούνται τα σύμβολα της τετραγωνικής, κυβικής κλπ. ρίζας.

Γενικά
Κάθε μιγαδικός αριθμός έχει ακριβώς ν ρίζες ν-στού βαθμού οι οποίες είναι οι μιγαδικές λύσεις της εξίσωσης (όπου ν θετικός ακέραιος)

Γενικά η άλγεβρα των πραγματικών επεκτείνεται στο σύνολο C και ορίζονται τριγωνομετρικοί αριθμοί μιγαδικού, δύναμη μιγαδικού με εκθέτη μιγαδικό, λογάριθμος μιγαδικού με βάση μιγαδικό κλπ. Τα έχω αναλύσει σε άλλο thread αν θες να ρίξεις μια ματιά.

Οι μιγαδικοί αριθμοί έχουν μεγάλη εφαρμογή στη φυσική ως μαθηματικά εργαλεία καθώς μας βολεύουν ώστε να καταλήξουμε γρηγορότερα σε ορισμένα συμπεράσματα στις περισσότερες περιπτώσεις. Γενικά έχουν εφαρμογή σε εφαρμοσμένες επιστήμες (π.χ. μηχανική, ηλεκτρομαγνητισμός, ηλεκτρονική κλπ.)

σευχαριστω πολυ!!στους πραγματικους ισχυει οτι καθε εξισωση νιοστου βαθμου εχει και ν ριζες?οχι ε?εχει το πολυ ν ριζες..σωστα?ενω οι μιγαδικες εχουν ν ριζες..
παραθετω κατι που βρηκα για τους μιγαδικους..αν μπορει να προσθεσει και κανεις αλλος κατι καλως!
peri migadikvn istoria.pdf

Αρχική Δημοσίευση από _ann_:

σευχαριστω πολυ!!στους πραγματικους ισχυει οτι καθε εξισωση νιοστου βαθμου εχει και ν ριζες?οχι ε?εχει το πολυ ν ριζες..σωστα?ενω οι μιγαδικες εχουν ν ριζες.

Click για ανάπτυξη...

Κάθε πολυωνυμική εξίσωση ν βαθμού με συντελεστές πραγματικούς αριθμούς έχει το πολύ ν πραγματικές ρίζες (μπορεί να μην έχει καμία, μπορεί να έχει 1, 2,..., ή και ν ακόμη πραγματικές ρίζες)

Κάθε πολυωνυμική εξίσωση ν βαθμού (με συντελεστές μιγαδικούς αριθμούς χωρίς να είναι απαραίτητα πραγματικοί) έχει ακριβώς ν μιγαδικές ρίζες.

(Υ.Γ: Χαίρομαι που σου άρεσε η Ρόδος. Είναι όντως πολύ όμορφο νησί.)