Σπαζοκεφαλιά στα Μαθηματικά

rolingstones · 11-06-09

Αρχική Δημοσίευση από geoste:
Χαλάρωσε roling. Η άσκηση απευθύνεται σε μαθητές λυκείου. Θέλω να δω ποιος δεν θα ζητήσει διευκρίνιση για την παραγωγισιμότητα αφού στο λύκειο μαθαίνουν ότι για να είναι κυρτή, πρέπει να είναι παραγωγίσιμη. Κι εγώ στο πανεπιστήμιο τον ορισμό του λυκείου έμαθα αλλά ξέρω ότι ο ορισμός είναι άλλος και δεν είναι απαραίτητα παραγωγίσιμη η f για να είναι κυρτή (ή κοίλη).

σοβαρα δεν εμαθες τον αλλο ορισμο επειδη δε τον βρισκω στο ιντερνετ τον αλλο ορισμο τον διατυπωνεις μισο λεπτο

Civilara · 11-06-09

Θα λέμε ότι η συνάρτηση f είναι κυρτή (αντίστοιχα κοίλη) στο διάστημα Δ, όταν για κάθε x,y στο διάστημα Δ και λ ανήκει [0,1] ισχύει:

f((1-λ)x+λy)<=(1-λ)f(x)+λf(y) [αντίστοιχα f((1-λ)x+λy)>=(1-λ)f(x)+λf(y)]

Σε άλλα συγγράμματα έχω δει να αναφέρεται ότι:

Θα λέμε ότι η συνάρτηση f είναι κυρτή (αντίστοιχα κοίλη) στο διάστημα Δ, όταν για κάθε x,y στο διάστημα Δ με x διάφορο y και λ ανήκει [0,1] ισχύει:

f((1-λ)x+λy)<(1-λ)f(x)+λf(y) [αντίστοιχα f((1-λ)x+λy)>(1-λ)f(x)+λf(y)]

rolingstones · 11-06-09

ενταξει ειναι σιγουρα δυσκολο να το θυμασαι αυτο οποτε υπαρχει η υπεραπλουστευση με την παραγωγισιμοτητα:iagree:

Civilara · 11-06-09

Μπορεί όμως σύμφωνα με τον παραπάνω ορισμό να υπάρχει συνάρτηση f η οποία να είναι συνεχής σε διάστημα Δ, να μην είναι παραγωγίσιμη στο Δ και να είναι κυρτή (ή κοίλη). Σε αυτήν την περίπτωση τα σημεία του Δ στα οποία δεν είναι παραγωγίσιμη αποτελούν σύνολο μηδενικού μέτρου όπως συνηθίζεται να λέγεται στα μαθηματικά, δηλαδή είναι μεμονωμένα σημεία και συνεπώς πεπερασμένα σε αριθμό και δεν σχηματίζουν διάστημα.

Undead · 14-06-09

3)αν επιλέξουμε $a<b$ ώστε $f(b)>f(a)$ τοτε απο

ΘΜΤ έχουμε

$\exists \xi$ ώστε
$f^{\prime}(\xi)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}>0$

οπότε από την παραπάνω ανισότητα

$f(x)>f(\xi)+f^{\prime}(\xi)(x-\xi)$

παιρνωντας όρια έχουμε

$\lim_{x \to +\infty}f(x)=+\infty$ άρα

$f(x)>0$ σε περιοχή $(\delta,+\infty)$

Civilara · 14-06-09

Αρχική Δημοσίευση από giannis:
3)αν επιλέξουμε $a<b$ ώστε $f(b)>f(a)$ τοτε απο

ΘΜΤ έχουμε

$exists xi$ ώστε
$f^{prime}(xi)=frac{f(b)-f(a)}{b-a}>0$

οπότε από την παραπάνω ανισότητα

$f(x)>f(xi)+f^{prime}(xi)(x-xi)$

παιρνωντας όρια έχουμε

$lim_{x to +infty}f(x)=+infty$ άρα

$f(x)>0$ σε περιοχή $(delta,+infty)$

Δεν είναι απόλυτα σωστό φίλε μου το σκεπτικό σου γιατί αναφέρεσαι σε συγκεκριμένη περίπτωση και όχι σε κάθε κυρτή και παραγωγίσιμη στο R συνάρτηση.

Για παράδειγμα η συνάρτηση $f(x)={e}^{-x}$ είναι παραγωγίσιμη, γνησίως φθίνουσα και κυρτή στο R. Ως γνησίως φθίνουσα ισχύει για κάθε a,b στο R με a<b => f(b)<f(a), δηλαδή δεν υπάρχουν a,b με a<b τέτοια ώστε f(b)>f(a).

Σπαζοκεφαλιά στα Μαθηματικά

rolingstones

Πολύ δραστήριο μέλος

Civilara

Περιβόητο μέλος

rolingstones

Πολύ δραστήριο μέλος

Civilara

Περιβόητο μέλος

Undead

Εκκολαπτόμενο μέλος

Civilara

Περιβόητο μέλος

Χρήστες Βρείτε παρόμοια

Λοιπές Σελίδες