Συλλογή ασκήσεων και τεστ στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

eyb0ss

Δραστήριο μέλος

Ο eyb0ss αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Είναι Φοιτητής και μας γράφει απο Αθήνα (Αττική). Έχει γράψει 742 μηνύματα.
Μήπως δίνει πχ το ή κάποια άλλη τιμή της ;
Fixed. Συγνώμη αν ταλαιπώρησα κανέναν.
Για να το ρωτάς αυτό θα το έχεις σχεδόν λύσει. Πόση ώρα σου πήρε;
 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 9 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

rebel

Πολύ δραστήριο μέλος

Ο Κώστας αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Μας γράφει απο Ηράκλειο (Αττική). Έχει γράψει 1,025 μηνύματα.
Δεν ξέρω κανένα τέταρτο ίσως μέχρι να σιγουρευτώ για την παράγουσα στο α. Με το β δεν ασχολήθηκα ακόμα. Ας προσπαθήσουν και οι μικρότεροι. Και μετά άμα είναι θα βάλω μία υπαρξιακή, ζόρικη κατά την γνώμη μου.
 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 9 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

Filippos14

Εκκολαπτόμενο μέλος

Ο Filippos14 αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Είναι 27 ετών και μας γράφει απο Αθήνα (Αττική). Έχει γράψει 331 μηνύματα.
Το πρώτο βγαίνει αν πάρεις ολοκλήρωμα 2 φορές(αφού πρώτα /χ.) και έτσι "χάνει" το ενδιαφέρον της.Μήπως θέλει λύση μόνο με συνέπειες ΘΜΤ?
Το βιβλίο(η το σχολικό η το βοήθημα που είχα παλιά) είχε αυτόν τον τύπο

Με διπλή εφαρμογή του έχουμε την f.
 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 9 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

Τελευταία επεξεργασία:

eyb0ss

Δραστήριο μέλος

Ο eyb0ss αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Είναι Φοιτητής και μας γράφει απο Αθήνα (Αττική). Έχει γράψει 742 μηνύματα.
Το πρώτο βγαίνει αν πάρεις ολοκλήρωμα 2 φορές(αφού πρώτα /χ.) και έτσι "χάνει" το ενδιαφέρον της.Μήπως θέλει λύση μόνο με συνέπειες ΘΜΤ?
Το βιβλίο(η το σχολικό η το βοήθημα που είχα παλιά) είχε αυτόν τον τύπο

Με διπλή εφαρμογή του έχουμε την f.
Το κακό σε αυτήν την προσέγγιση είναι ότι μπλέκεται η αντιπαράγωγος της η οποία δεν είναι στοιχειώδης. Η άσκηση δεν χρειάζεται ολοκληρώματα, αόριστα και μη. (Αν και τεχνικά η συνέπεια του ΘΜΤ προκύπτει από ολοκλήρωση). Ή αυτό ή ήταν πολύ γενική η πρότασή σου και δεν την κατάλαβα. Καλό θα ήταν να μην χρησιμοποιηθούν θεωρήματα εκτός ύλης (όχι ότι ο τύπος ήταν εκτός).

Ξαναβάζω την άσκηση επειδή είχα την ατυχία να ξεμείνει στην προηγούμενη σελίδα:
Η είναι δυο φορές παραγωγίσιμη στο με , και για κάθε ισχύει .

α)Να βρεθεί ο τύπος της
β)Να βρεθούν οι ασύμπτωτες της και να υπολογιστεί το όριο
 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 9 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

Filippos14

Εκκολαπτόμενο μέλος

Ο Filippos14 αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Είναι 27 ετών και μας γράφει απο Αθήνα (Αττική). Έχει γράψει 331 μηνύματα.
Το κακό σε αυτήν την προσέγγιση είναι ότι μπλέκεται η αντιπαράγωγος της η οποία δεν είναι στοιχειώδης. Η άσκηση δεν χρειάζεται ολοκληρώματα, αόριστα και μη. (Αν και τεχνικά η συνέπεια του ΘΜΤ προκύπτει από ολοκλήρωση). Ή αυτό ή ήταν πολύ γενική η πρότασή σου και δεν την κατάλαβα. Καλό θα ήταν να μην χρησιμοποιηθούν θεωρήματα εκτός ύλης (όχι ότι ο τύπος ήταν εκτός).

Ξαναβάζω την άσκηση επειδή είχα την ατυχία να ξεμείνει στην προηγούμενη σελίδα:
Η είναι δυο φορές παραγωγίσιμη στο με , και για κάθε ισχύει .

α)Να βρεθεί ο τύπος της
β)Να βρεθούν οι ασύμπτωτες της και να υπολογιστεί το όριο
Τα ολοκληρώματα που εμφανίζονται είναι της μορφής e^(1/x)/P(x)(αφού διαιρέσεις πρώτα με χ^4) τα οποία υπολογίζονται με τις γνωστές μεθόδους της γ λυκείου και βρίσκεις την f.
 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 9 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

eyb0ss

Δραστήριο μέλος

Ο eyb0ss αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Είναι Φοιτητής και μας γράφει απο Αθήνα (Αττική). Έχει γράψει 742 μηνύματα.
Τα ολοκληρώματα που εμφανίζονται είναι της μορφής e^(1/x)/P(x)(αφού διαιρέσεις πρώτα με χ^4) τα οποία υπολογίζονται με τις γνωστές μεθόδους της γ λυκείου και βρίσκεις την f.
Οκ τότε, απλά είπες ότι διαιρούσες με πριν, γι'αυτό.
Βέβαια θέλει προσοχή διότι έχουμε δυο διαστήματα οπότε εφαρμόζουμε ελαφρώς διαφορετικά τη συνέπεια ΘΜΤ.
 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 9 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

rebel

Πολύ δραστήριο μέλος

Ο Κώστας αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Μας γράφει απο Ηράκλειο (Αττική). Έχει γράψει 1,025 μηνύματα.
Έστω συνάρτηση συνεχής στο και παραγωγίσιμη στο με .Δείξτε ότι υπάρχουν διαφορετικά μεταξύ τους, ώστε .

Υπόδειξη:
Αρκεί να δείξετε ότι υπάρχει με και με . Βέβαια δεν έχουμε τελειώσει: πρέπει να εξασφαλίσουμε ότι .
 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 9 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

Επεξεργάστηκε από συντονιστή:

xristospr

Νεοφερμένος

Ο xristospr αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Έχει γράψει 18 μηνύματα.
επεξεργασμένο-δημοσιευμένο στο Συλλογή ασκήσεων και τεστ στα Μαθηματικά Προσανατολισμού
 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 5 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

Τελευταία επεξεργασία:

Agnwsth

Δραστήριο μέλος

Η Agnwsth αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένη. Είναι 23 ετών και Φοιτήτρια. Έχει γράψει 486 μηνύματα.
Έστω συνεχής f:R->R με f (R)=R. Η f γνησίως αύξουσα στο R και ισχύει : f(f (x))=x , για κάθε πραγματικό χ.

Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f(x)=x έχει μια τουλάχιστον λύση στο R.

Μια άσκηση που μου άρεσε , και σκέφτηκα να την μοιραστώ.
 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 5 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

Jim_Pap

Εκκολαπτόμενο μέλος

Ο Δημήτρης αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Είναι 22 ετών και Φοιτητής. Έχει γράψει 148 μηνύματα.
Έστω συνεχής f:R->R με f (R)=R. Η f γνησίως αύξουσα στο R και ισχύει : f(f (x))=x , για κάθε πραγματικό χ.

Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f(x)=x έχει μια τουλάχιστον λύση στο R.

Μια άσκηση που μου άρεσε , και σκέφτηκα να την μοιραστώ.
Μπορεις να γραψεις αν μπορεις την λυση;
Εγω σκεφτηκα να αντικαταστησουμε το x κατω και αφου αυξουσα ειναι και 1-1 και συνεχιζουμε...
 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 5 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

Agnwsth

Δραστήριο μέλος

Η Agnwsth αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένη. Είναι 23 ετών και Φοιτήτρια. Έχει γράψει 486 μηνύματα.
Έστω h (x) =f (x)-x, x πραγματικός.
Η h συνεχής ως πράξεις συνεχών.
Έστω ότι h (x)><0 για κάθε πραγματικό χ.
Τότε ,θα διατηρεί πρόσημο στο R.
Έστω ότι h (x) >0 για κάθε πραγματικό χ.
Τότε f(x)>x ή f (x)>f (f (x)) ή x>f (x) ( η f γνησίως αύξουσα.) Άτοπο.
Έστω ότι h (x) <0 για κάθε πραγματικό χ.
Τότε f(x)<x ή f (x)<f (f (x)) ή x <f (x) ( η f γνησίως αύξουσα.) Άτοπο. Άρα η h δεν διατηρεί πρόσημο στο R, και αφού είναι συνεχής,θα έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο R. Άρα και η εξίσωση f (x)=x θα έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο R.


Ελπίζω να είναι κατανοητή έτσι όπως την έγραψα. :)
 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 5 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

Samael

Τιμώμενο Μέλος

Ο Samael αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Είναι Φοιτητής του τμήματος Ηλεκτρολόγων & Ηλεκτρονικών Μηχανικών ΠΑΔΑ και μας γράφει απο Πειραιάς (Αττική). Έχει γράψει 10,062 μηνύματα.
Έστω h (x) =f (x)-x, x πραγματικός.
Η h συνεχής ως πράξεις συνεχών.
Έστω ότι h (x)><0 για κάθε πραγματικό χ.
Τότε ,θα διατηρεί πρόσημο στο R.
Έστω ότι h (x) >0 για κάθε πραγματικό χ.
Τότε f(x)>x ή f (x)>f (f (x)) ή x>f (x) ( η f γνησίως αύξουσα.) Άτοπο.
Έστω ότι h (x) <0 για κάθε πραγματικό χ.
Τότε f(x)<x ή f (x)<f (f (x)) ή x <f (x) ( η f γνησίως αύξουσα.) Άτοπο. Άρα η h δεν διατηρεί πρόσημο στο R, και αφού είναι συνεχής,θα έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο R. Άρα και η εξίσωση f (x)=x θα έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο R.


Ελπίζω να είναι κατανοητή έτσι όπως την έγραψα. :)

Αναρωτιεμαι εαν θα ηταν μια επισης αποδεκτη λυση η εξης :

Ισχυει οτι :

f(f(1))=1
f(f(-1))=-1

Εστω :

f(1)=ρ1
f(-1)=ρ2 .

Επειδη : f(R)=R και η f ειναι γνησιως αυξουσα,θα υπαρχουν
x1,x2 E R τετοια ωστε x1=ρ1 και x2=ρ2.

Αρα υπαρχουν x1 και x2 Ε Df=R τετοια ωστε :

f(x1) = 1
f(x2) = -1

Επειδη
1.H f ειναι συνεχης στο πεδιο ορισμου της και
2.f(x1)f(x2)<0

Απο το θεωρημα του Bolzano υπαρχει τουλαχιστον ενα x1<xo<x2 τετοιο ωστε f(xo) = 0 . Αρα η f εχει τουλαχιστον μια ριζα στο πεδιο ορισμου της.

ΥΓ. Οπως ειναι φανερο η συναρτηση της οποιας η αντιστροφη ισουται με την ιδια δεν ειναι αλλη απο την x(με αυτο το πεδιο ορισμου τουλαχιστον).Οποτε μπορουμε να παρουμε οποιες τιμες θελουμε αρκει να ειναι μια θετικη και μια αρνητικη για να μας βγει το Bolzano.
 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 5 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

Agnwsth

Δραστήριο μέλος

Η Agnwsth αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένη. Είναι 23 ετών και Φοιτήτρια. Έχει γράψει 486 μηνύματα.
Σάμαελ, εμένα σωστή μου φαίνεται. Λύστε την ίδια άσκηση χωρίς να γνωρίζετε για την μονοτονία :happy:
 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 5 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

Agnwsth

Δραστήριο μέλος

Η Agnwsth αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένη. Είναι 23 ετών και Φοιτήτρια. Έχει γράψει 486 μηνύματα.
Και μία λύση χωρίς την μονοτονία.

Έστω ότι f(x)<>x, για κάθε πραγματικό χ.
Έστω h(x) = f (x)-x, χ πραγματικός.
Αφού f(R)=R, ισχύει ότι για κάθε χεR, το f(x)εR.
Έστω χ1εR. Τότε f (x1)εR.
Η h συνεχής ως πράξεις συνεχών.
h (x1)=f(x1)-x1
h (f (x1))=f (f (x1))-f(x1)=x1-f (x1)=-(f(x1)-x1)
Άρα, h (x1)*h (f (x1))<0. Από θεώρημα Bolzano, η h (x)=0 θα έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο R. Άρα και η f (x)=x θα έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο R.

:)
 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 5 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

Agnwsth

Δραστήριο μέλος

Η Agnwsth αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένη. Είναι 23 ετών και Φοιτήτρια. Έχει γράψει 486 μηνύματα.
Να βρείτε το σύνολο τιμών της f (x)=3x+ημχ
 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 5 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

Agnwsth

Δραστήριο μέλος

Η Agnwsth αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένη. Είναι 23 ετών και Φοιτήτρια. Έχει γράψει 486 μηνύματα.
Αν [f(x)]^2 + [g (x)]^2 <=2xf (x)-2g(x)-1 για κάθε πραγματικό χ, να βρείτε τα όρια των f(x) , g(x) καθώς το x τείνει στο 0.
 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 5 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

Agnwsth

Δραστήριο μέλος

Η Agnwsth αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένη. Είναι 23 ετών και Φοιτήτρια. Έχει γράψει 486 μηνύματα.
Έστω f:R->R και (x^2-2x+1)f(x)<=e^x-3 για κάθε πραγματικό χ. Να βρείτε το όριο της f(x) καθώς το χ τείνει στο 1.
 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 5 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

Agnwsth

Δραστήριο μέλος

Η Agnwsth αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένη. Είναι 23 ετών και Φοιτήτρια. Έχει γράψει 486 μηνύματα.
Καλησπέρα και καλό Σ/Κ. Ανεβάζω μερικές ασκήσεις που μου άρεσαν/δυσκόλεψαν/δεν τις είχα ξαναδεί. (Η άσκηση 6 στο κεφάλαιο των συναρτήσεων) . Have fun. :happy:




 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 5 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

Agnwsth

Δραστήριο μέλος

Η Agnwsth αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένη. Είναι 23 ετών και Φοιτήτρια. Έχει γράψει 486 μηνύματα.
Καλησπέρα. Κάποιες ασκήσεις που είδα πρώτη φορά /με δυσκόλεψαν / είχαν κάποιο ενδιαφέρον. Have fun. :D

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 5 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

Επεξεργάστηκε από συντονιστή:

Agnwsth

Δραστήριο μέλος

Η Agnwsth αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένη. Είναι 23 ετών και Φοιτήτρια. Έχει γράψει 486 μηνύματα.
Έστω f:R->R , παραγωγίσιμη , γνησίως άυξουσα και κυρτή στο R. Να βρεθεί το όριο το lim f(x)
x->+oo
 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 5 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

Τελευταία επεξεργασία:

Χρήστες Βρείτε παρόμοια

Top