Συλλογή Ασκήσεων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

Status
Το θέμα δεν είναι ανοιχτό για νέες απαντήσεις.

mostel

Πολύ δραστήριο μέλος

Ο Στέλιος αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Είναι 34 ετών, Φοιτητής και μας γράφει απο Θεσσαλονίκη (Θεσσαλονίκη). Έχει γράψει 1,203 μηνύματα.
Μιας και δεν υπήρχε αντίστοιχο τόπικ, είπα να το ανοίξω. Ξεκινάμε λοιπόν με ...διανύσματα!

ΑΣΚΗΣΗ 1

Αν ισχύει , να βρεθεί η ελάχιστη και μέγιστη τιμή της παράστασης:

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

Γιώργος

Τιμώμενο Μέλος

Ο Γιώργος αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Είναι Διδακτορικός και μας γράφει απο Ελβετία (Ευρώπη). Έχει γράψει 30,791 μηνύματα.
Μιας και δεν υπήρχε αντίστοιχο τόπικ, είπα να το ανοίξω. Ξεκινάμε λοιπόν με ...διανύσματα!

ΑΣΚΗΣΗ 1

Αν ισχύει , να βρεθεί η ελάχιστη και μέγιστη τιμή της παράστασης:


Λοιπόν, πώς σκεφτόμαστε. Θέλουμε μέγιστη και ελάχιστη τιμή παράστασης, έτσι;

Το σκεπτικό μας: ποια σχέση στη θεωρία των διανυσμάτων μάς βγάζει ανισότητα και μπορεί να μας φανεί χρήσιμη; :hmm:




Θα βασιστούμε πάνω σε μία ιδιότητα των διανυσμάτων:





Καλό φαίνεται για αρχή. Πάμε να το υλοποιήσουμε..

Ξέρουμε ότι ισχύει:

Και η παράστασή μας είναι:



Δεύτερη σκέψη: πώς μπορούμε στην δεύτερη παράσταση (εφόσον εκεί θέλουμε να βγει η ανισότητα) να μπλέξουμε εσωτερικό γινόμενο;
Για δείτε:




Και τι έχουμε από αυτό, βάση της ιδιότητας; Έχουμε:





Οκέι, μπορούμε εύκολα να βρούμε ότι |(6,-8)|=10
Αλλά για το |(x,y)|;

Δείτε:
(από υπόθεση!!!)
Άρα |(x,y)|=5, εφόσον |(x,y)|≥0.


Οπότε:

-50 ≤ Α ≤ 50.

Άρα μέγιστη τιμή το 50 κι ελάχιστη το -50. ;)



~~~~~~

Σημείωση: Κανονικά, αυτό δεν αρκεί. Αν δείξεις ότι για το Α ισχύει -50 ≤ Α ≤ 50 δεν σημαίνει ότι η μέγιστη τιμή θα είναι 50 και η μικρότερη -50.

Γιατί;
Γιατί το ≤, δηλ. το μεγαλύτερο ή ίσο, δεν σημαίνει κατ' ανάγκην ότι κάποια στιγμή θα "πάρει" το "=".
Το μόνο που σου λέει είναι ότι αποκλείεται το Α να πάρει τιμή πάνω από 50 ή κάτω από -50. ;)
Γιατί εφόσον ισχύει -50 ≤ Α ≤ 50 συνεπάγεται κι ότι -70 ≤ Α ≤ 95, αλλά δεν σημαίνει ότι το -70 είναι η ελάχιστη τιμή.


Κανονικά θα πρέπει να βρεις (με το "μάτι" αρκεί) δύο ζευγάρια (x,y) τα οποία να ικανοποιούν την και να δίνουν στο Α την τιμή 50 και -50 αντίστοιχα.

Αν και για Β' Λυκείου αρκεί να σταματήσεις εκεί, κανείς δεν θα στο κόψει. ;)
 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

mostel

Πολύ δραστήριο μέλος

Ο Στέλιος αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Είναι 34 ετών, Φοιτητής και μας γράφει απο Θεσσαλονίκη (Θεσσαλονίκη). Έχει γράψει 1,203 μηνύματα.
Γιώργο, πολύ καλή η παρατήρησή σου. Στην ουσία, η ανισότητα που εφήρμοσες είναι η B-C-S (Cauchy Schwarz). Μη ξεχνάμε ότι η ισότητα ισχύει όταν a=b. Έτσι αρκεί να πάρεις ότι έχουν ίδια det και βρίσκεις τα ζευγάρια.

Άλλος τρόπος είναι η εφαρμογή της γνωστής ανισότητας:


 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

mostel

Πολύ δραστήριο μέλος

Ο Στέλιος αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Είναι 34 ετών, Φοιτητής και μας γράφει απο Θεσσαλονίκη (Θεσσαλονίκη). Έχει γράψει 1,203 μηνύματα.
ΑΣΚΗΣΗ 2

Ελληνική Μαθηματική Εταιρία - 2002-2003 @ Θαλής

Να βρεθεί το διάνυσμα που ικανοποιεί την ισότητα:

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

mostel

Πολύ δραστήριο μέλος

Ο Στέλιος αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Είναι 34 ετών, Φοιτητής και μας γράφει απο Θεσσαλονίκη (Θεσσαλονίκη). Έχει γράψει 1,203 μηνύματα.
Έτσι, για παιγνίδι με τα διανύσματα, μια άσκηση που μου έδωσε χθες ένας χρήστης από εδώ (δε θυμάμαι το nick του, σόρυ). Έχει ενδιαφέρον το ασκησάκι :)

Έστω δύο ευθύγραμμα τμήματα , που τέμνονται κάθετα. Έστω και το σημείο που ισαπέχει από τα . Να αποδείξετε ότι:

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

slalom

Νεοφερμένος

Ο Μάριος αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Είναι 32 ετών και Μαθητής Β' λυκείου. Έχει γράψει 3 μηνύματα.
mostel εγώ στο έδωσα και περιττό να πω πως το έλυσες αμέσως. Αυτή η άσκηση θέλει καλή γνώση της θεωρίας τόσο των διανυσμάτων όσο και της γεωμετρίας. Άντε να δούμε ποιος θα τη λύσει.
 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

exc

Διάσημο μέλος

Ο exc αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Έχει γράψει 2,812 μηνύματα.
Σιγά την άσκηση ρε παιδιά:

(Δεν θα βάλω πουθενά το βελάκι από πάνω, αλλά εννοείται πως μιλώ πάντα για διανύσματα)
όπου N και N' είναι το ίχνος του Ο στην CD και AB αντίστοιχα. Εννοείται ότι το N και το N' είναι τα μέσα των CD και AB αντίστοιχα (από την καθετότητα των AB, CD και την ισότητα )
 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

mostel

Πολύ δραστήριο μέλος

Ο Στέλιος αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Είναι 34 ετών, Φοιτητής και μας γράφει απο Θεσσαλονίκη (Θεσσαλονίκη). Έχει γράψει 1,203 μηνύματα.
Είπε κανείς ότι είναι δύσκολη;;
 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

exc

Διάσημο μέλος

Ο exc αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Έχει γράψει 2,812 μηνύματα.
O slalom είπε:
Αυτή η άσκηση θέλει καλή γνώση της θεωρίας τόσο των διανυσμάτων όσο και της γεωμετρίας
 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

Επεξεργάστηκε από συντονιστή:

mostel

Πολύ δραστήριο μέλος

Ο Στέλιος αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Είναι 34 ετών, Φοιτητής και μας γράφει απο Θεσσαλονίκη (Θεσσαλονίκη). Έχει γράψει 1,203 μηνύματα.
Ναι, είναι αλήθεια αυτό. ΤΟ "σιγά την άσκηση" είναι σχετικό...

Και εμένα μου φαίνεται άσκηση με ανισότητα Holder μέσα piece of cake.. Αλλά ποιος σου είπε ότι για έναν μαθητή λυκείου είναι "σιγά την άσκηση", όταν δεν έχει ασχοληθεί με αυτή?

Γιατί μη νομίζεις ότι ξέρουν πολλοί γεωμετρία από το λύκειο...

:)
 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

exc

Διάσημο μέλος

Ο exc αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Έχει γράψει 2,812 μηνύματα.
Και εμένα μου φαίνεται άσκηση με ανισότητα Holder μέσα piece of cake.. Αλλά ποιος σου είπε ότι για έναν μαθητή λυκείου είναι "σιγά την άσκηση", όταν δεν έχει ασχοληθεί με αυτή?
Τώρα παίρνεις ως περίπτωση κάτι που είναι εκτός ύλης στην β/βάθμια. Μπορεί να μην είναι δύσκολη για κάποιον μαθητή Λυκείου, αλλά απλώς επειδή δεν έχει διδαχτεί και επειδή σχεδόν κανείς δεν κάθεται να ασχοληθεί με μαθηματικά ανώτερου από του Λυκείου επιπέδου, εννοείται πως αγνοεί ακόμη και την ύπαρξη αυτής της ανισότητας...

edit: Φαντάζεσαι να ρωτώ εγώ για το μοντέλο της σταθεράς κατάστασης; Σχεδόν κανείς δεν ξέρει τι είναι ούτε σε τι αναφέρεται, γιατί πολύ απλά ούτε το διδάχτηκε, ούτε το διάβασε ποτέ. Αυτό δε σημαίνει ότι είναι δύσκολο να καταλάβει τι είναι και να μάθει τα χαρακτηριστικά του.
 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

mostel

Πολύ δραστήριο μέλος

Ο Στέλιος αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Είναι 34 ετών, Φοιτητής και μας γράφει απο Θεσσαλονίκη (Θεσσαλονίκη). Έχει γράψει 1,203 μηνύματα.
Τώρα παίρνεις ως περίπτωση κάτι που είναι εκτός ύλης στην β/βάθμια. Μπορεί να μην είναι δύσκολη για κάποιον μαθητή Λυκείου, αλλά απλώς επειδή δεν έχει διδαχτεί και επειδή σχεδόν κανείς δεν κάθεται να ασχοληθεί με μαθηματικά ανώτερου από του Λυκείου επιπέδου, εννοείται πως αγνοεί ακόμη και την ύπαρξη αυτής της ανισότητας...

edit: Φαντάζεσαι να ρωτώ εγώ για το μοντέλο της σταθεράς κατάστασης; Σχεδόν κανείς δεν ξέρει τι είναι ούτε σε τι αναφέρεται, γιατί πολύ απλά ούτε το διδάχτηκε, ούτε το διάβασε ποτέ. Αυτό δε σημαίνει ότι είναι δύσκολο να καταλάβει τι είναι και να μάθει τα χαρακτηριστικά του.

Δεν είπα ότι είναι δύσκολο. Μη παρερμηνεύεις αυτά που έγραψα. Απλώς λέω, για κάποιον που ΔΕΝ ξέρει, του φαίνεται δύσκολο. Έτσι και στην άσκηση με τα διανύσματα.

Στέλιος
 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

bobiras11

Εκκολαπτόμενο μέλος

Ο Βαγγέλης αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Είναι Μεταπτυχιακός φοιτητής και μας γράφει απο Μεγίστη (Καστελόριζο). Έχει γράψει 304 μηνύματα.
Καλά ρε παιδιά κουλάρετε! Έλεος μαλώνετε για το αν ήταν εύκολη ή δύσκολη η άσκηση... Εντάξει.. έκαστος στο είδος του. (και γω στο μπάσκετ:P)
 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

exc

Διάσημο μέλος

Ο exc αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Έχει γράψει 2,812 μηνύματα.
Εγώ δεν μαλώνω με κανέναν.:)
------------------------------------------
Να δώσω και εγώ μία άσκηση:
Σε ένα επίπεδο p, θεωρούμε ένα τρίγωνο ABG με: (ΑΒ)=7, (ΒG)=4 και (ΑG)=5. Ονομάζουμε D το μέσο της πλευράς ΒG.
1/ ΝΔΟ (διανυσματικά) .
2/ Θεωρούμε ένα σημείο H του p και το διάνυσμα: , όπου . Να βρείτε τους αριθμούς k, για τους οποίους το διάνυσμα d είναι ανεξάρτητο του H. Για την τιμή του k που θα βρείτε, νδο: d=2AD.
3/ Να βρείτε το γ.τ. των σημείων Μ του p για τα οποία ισχύει: .
4/ Νδο υπάρχει ένα μοναδικό σημείο K του p, για το οποίο ισχύει: . Μετά νδο το τετράπλευρο ABKG είναι παραλληλόγραμμο.
5/ Να βρείτε το γ.τ. των σημείων N του p, για τα οποία ισχύει:

Όταν ένα ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ είναι μέσα σε παρένθεση, τότε εννοώ το μέτρο του, ενώ όταν δεν είναι εννοώ ότι το ΑΒ είναι διάνυσμα.

Θα αφήσω την άσκηση μέχρι να προθυμοποιηθεί κάποιος να τη λύσει. Αν δεν μπορέσει κανείς μέχρι την Παρασκευή, θα τη δώσω εγώ.
 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

mostel

Πολύ δραστήριο μέλος

Ο Στέλιος αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Είναι 34 ετών, Φοιτητής και μας γράφει απο Θεσσαλονίκη (Θεσσαλονίκη). Έχει γράψει 1,203 μηνύματα.
Δεν έχω χρόνο, οπότε να η λύση μου συνοπτικά:

1) Θεώρημα Διαμέσων.

2)

3) παρατηρούμε ότι
4) Είναι εφαρμογή του σχολικού

5) Παρόμοια με την 3.
 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

exc

Διάσημο μέλος

Ο exc αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Έχει γράψει 2,812 μηνύματα.
mostel, δικό μου το λάθος... στο 1ο ερώτημα έπρεπε να βρούμε τη λύση διανυσματικά...:sorry:
 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

mostel

Πολύ δραστήριο μέλος

Ο Στέλιος αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Είναι 34 ετών, Φοιτητής και μας γράφει απο Θεσσαλονίκη (Θεσσαλονίκη). Έχει γράψει 1,203 μηνύματα.
Ε, θεωρείς κατάλληλες καθέτους και παίρνεις εσωτερικό γιγόμενο. Αλλά, με γεωμετρία βγαίνει πολύ πιο εύκολα.
 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

Undead

Εκκολαπτόμενο μέλος

Ο john αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Είναι 34 ετών και Φοιτητής. Έχει γράψει 124 μηνύματα.
Σε προσανατολισμένο κύκλο με κέντρο το Ο , αρχή το Μ και ακτίναι ρ=1 Θεωρούμε τρία σημεία Α , Β και Γ ώστε



Τότε να δειχθεί ότι το (Α ταυτίζετε με Μ) ή (Β ταυτίζετε με Μ) ή (C ταυτίζεται με Μ)
 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

miv

Επιφανές μέλος

Ο Babis αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Μας γράφει απο Βόρεια Μακεδονία (Ευρώπη). Έχει γράψει 8,275 μηνύματα.
Αποφάσισα να βαλω κάποιες ασκήσεις απο έναν πολύ καλό Μαθηματικό (προσέξτε, το Μ κεφαλαίο γιατί είναι 100% μαθηματικός, οχι απλος καθηγητης) για να ξεφυγουμε λιγο από τη στρωτη και μπακαλίστικη οδό της μεθοδολογίας και του "τύπου" άσκησης. Προς αποφυγή παρεξηγήσεων. Οι ασκήσεις έχουν άγνωστη προέλευση και δεν είναι ασκήσεις του συγκεκριμένου μαθηματικού, απλά αυτός τις βρήκε, όπως λεει.

Έχω αρκετό υλικό και απο προηγούμενα κεφάλαια, αλλά τωρα θα βάλω παραβολή.

1. Α. Δίνεται η παραβολή C1: y^2=8x και το σημείο Μ(8,8).
i) Να βρεις την εξίσωση κύκλου C2 με κέντρο την εστία Ε της C1 και ακτίνα ρ=ΕΜ.
ii) Ποιες είναι οι συντεταγμένες των σημείων τομής του C2 με τον χχ'΄.
iii) Δείξε οτι η ευθεία ΒΜ εφάπτεται της C στο σημείο Μ.

Β. Δίνεται η παραβολή y^2=2px, σημείο αυτης Μ(χ1,y1) και σημείο Α(χ,0). Δείξε οτι το σημείο Β είναι συμμετρικό του Α, όπου Β το σημείο τομής της εφαπτομένης της παραβολής στο σημείο Μ.


2. Δίνεται η παραβολή C: y=1/4x^2, εα, εβ οι εφαπτομένες της C στα σημεία Α(Χα, Yα) και B(Xβ, Yβ). Το σημείο Μ είναι το σημείο τομής των εα, εβ και Ν το μέσον της χορδής ΑΒ. Δείξε:
α) Το Μ έχει συντεταγμένες (Χα+Υβ)/2, ΧαΥβ/4
β) Η χορδή ΑΒ διέρχεται από το σημείο Κ(0,4) αν και μόνο αν το Μ ανήκει στην ευθεία y=-4.
γ) ΜΝ//yy'



3. Δίνεται η παραβολή C: y^2=2x.
Α. Να αποδείξεις οτι δεν υπάρχουν σημεια της παραβολής, στα οποία οι εφαπτόμενες να είναι παράλληλες.
Β. Αν Α(Χα,Υα), Β(Χβ,Υβ) είναι σημεία της C και Μ το σημείο τομής των εφαπτομένων εα, εβ στα σημεία Α, Β αντιστοίχως, δείξτε οτι:
i) Οι συντεταγμένες του Μ είναι ΥαΥβ/2, (Υα+Υβ)/2
ii) Η χορδή ΑΒ διέρχεται από το σημείο Κ(2,0) αν και μόνο αν το Μ ανήκει στην ευθεία χ=-2.
iii) ΜΝ//χχ', όπου Ν το μέσο της χορδής ΑΒ.



4. Δίνεται η παραβολή C:y^2=10x και το σημείο αυτής Μ(α,β), με β διάφορο από το 0. Αν η εφαπτόμενη της παραβολής στο Μ τέμνει τους άξονες στα σημεία Α(Χα,0) και Β(0,Υβ), τότε:
i) Να εκφραστούν οι συντεταγμένες των Α, Β ως συνάρτηση του β.
ii) Να αποδείξετε ότι για κάθε πραγματικό β, εκτός του 0, το μέσον Ν του ΑΒ κινείται σε παραβολή, της οποίας να βρεις τη διευθετούσα.



Το μαυρισμένο αν και μόνο αν είναι βοήθεια που βάζω εγώ που σημαίνει οτι πρέπει να αποδείξεις και ευθύ και αντίστροφο υποχρεωτικά. Για να το κάνεις αυτό υπάρχουν δύο τρόποι. Ή ξεκινάς από το ένα και πας στο άλλο με ισοδυναμίες, τις οποίες όμως πρέπει να ελέγξεις προσεκτικά γιατί μπορεί και να μην ισχύουν. Αυτό ειναι πολύ δύσκολο για ένα μέσο μαθητή. Ο άλλος τρόπος, ο συνήθης είναι να αποδείξεις ξεχωριστά ευθύ κι αντίστροφο. Αυτό ο μαθηματικός μας το τονίζει συνεχώς γιατί οι συμβολισμοί συνεπαγωγής/ισοδυναμίας στα Μαθηματικά δεν μπαίνουν αυθαίρετα και για φιγούρα, αλλιώς υπάρχει ενδεχόμενο μαθηματικού λάθους.
 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

miv

Επιφανές μέλος

Ο Babis αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Μας γράφει απο Βόρεια Μακεδονία (Ευρώπη). Έχει γράψει 8,275 μηνύματα.
Απαντήστε κάποιος! Κωλόσαμε, κωλόσαμε?:P:P

Καλά, ούτε εγώ μπορώ να τις λύσω όλες...
 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

Status
Το θέμα δεν είναι ανοιχτό για νέες απαντήσεις.

Χρήστες Βρείτε παρόμοια

  • Τα παρακάτω 0 μέλη και 1 επισκέπτες διαβάζουν μαζί με εσάς αυτό το θέμα:
    Tα παρακάτω 10 μέλη διάβασαν αυτό το θέμα:
  • Φορτώνει...
Top